幾何變換思想

幾何變換思想變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有寬泛性的見(jiàn)解，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換、幾何中有圖形的變換。在初等幾何中，圖形變換是一種重要的思想方法，它以運(yùn)動(dòng)變化的見(jiàn)解來(lái)辦理孤立靜止的幾何問(wèn)題，經(jīng)常在解決問(wèn)題的過(guò)程中能夠收到意想不到的收效。初等幾何變換的見(jiàn)解。初等幾何變換是關(guān)于平面圖形在同一個(gè)平面內(nèi)的變換，在中小學(xué)教材中出現(xiàn)的相似變換、合同變換等都屬于初等幾何變換。合同變換實(shí)質(zhì)上就是相似比為1的相似變換，是特別的相似變換。合同變換也叫保距變換，分為平移、旋轉(zhuǎn)和反射(軸對(duì)稱(chēng))變換等。平移變換。將平面上任一點(diǎn)P變換到P',使得：(1)射線PP的方向必然；(2)線段PP的長(zhǎng)度必然，則稱(chēng)這種變換為平移變換。也就是說(shuō)一個(gè)圖形與經(jīng)過(guò)平移變換后的圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線互相平行且相等。平移變換有以下一些性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，所以面積和周長(zhǎng)不變。②在平移變換下兩點(diǎn)之間的方向保持不變。如任意兩點(diǎn)

A和

B,變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

A'

和

E',

則有

AE//A'E'

。③在平移變換下兩點(diǎn)之間的距離保持不變。如任意兩點(diǎn)

A和

B,變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

A'

和

E',

則有

AE=A'E'

。在解初等幾何問(wèn)題時(shí)

,常利用平移變換使分其他條件集中在一起

,擁有更緊

湊的地址關(guān)系或變換成更簡(jiǎn)單的基本圖形。(2)旋轉(zhuǎn)變換。在同一平面內(nèi)，使原點(diǎn)0變換到它自己，其他任何點(diǎn)X變換到X',使得：(1)0X'=0X⑵/XOX=9(定角)；則稱(chēng)這樣的變換為旋轉(zhuǎn)變換。0稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)中心，定角9為旋轉(zhuǎn)角。當(dāng)9>0時(shí)，為逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；當(dāng)9<0時(shí)，為順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。當(dāng)9等于平角時(shí),旋轉(zhuǎn)變換就是中心對(duì)稱(chēng)。平時(shí)地說(shuō)就是一個(gè)圖形圍繞一個(gè)定點(diǎn)在不變形的情況下轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的運(yùn)動(dòng)，就是旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)變換下，圖形的方向可能有變化。旋轉(zhuǎn)變換有以下一些性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，所以面積和周長(zhǎng)不變。②在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B,變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'和E',則有直線AE和直線A'E'所成的角等于0。③在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B,變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'和E',則有AE=A'E'。在解決幾何問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保持，但經(jīng)過(guò)改變其地址，組合成新的圖形，便于計(jì)算和證明。(3)反射變換。在同一平面內(nèi)，若存有一條定直線

L,

使關(guān)于平面上的任一點(diǎn)

P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)

P',其連線

PP的中垂線都是

L,

則稱(chēng)這種變換為反射變換，也就是常說(shuō)的軸

對(duì)稱(chēng)，定直線

L

稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)軸，也叫反射軸。軸對(duì)稱(chēng)有以下性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，所以面積和周長(zhǎng)不變。②在反射變換下，任意兩點(diǎn)A和B,變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'和E',則有直線AE和直線A'E'所成的角的均分線為L(zhǎng)。③兩點(diǎn)之間的距離保持不變，任意兩點(diǎn)A和B,變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'和E',則有AE=A'E'。若是一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，若是它能夠與另一圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)。軸對(duì)稱(chēng)變換和軸對(duì)稱(chēng)圖形是兩個(gè)不相同的見(jiàn)解，前者是指圖形之間的關(guān)系或折疊運(yùn)動(dòng)，后者是指一個(gè)圖形。中小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多圖形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，利用這些圖形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，能夠協(xié)助我們解決一些計(jì)算和證明的幾何問(wèn)題。相似變換。在同一平面內(nèi)，圖形中的任意兩點(diǎn)A、B,變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'、B',也就是任一線段AB變換成AB',總有B'=K?AB（K>0,且為常數(shù)）,則稱(chēng)為相似變換。平時(shí)地說(shuō)就是一個(gè)圖形依照必然比率放大或減小，圖形的形狀不變。其中的K稱(chēng)為相似比或相似系數(shù)，當(dāng)K=1時(shí)，即為合同變換。相似變換有以下一些性質(zhì)：①兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)的比等于相似比。②兩個(gè)圖形的面積的比等于相似比的平方。③兩條直線的夾角保持不變。生活中的很多現(xiàn)象都浸透著相似變換的思想，如物體和圖形在光輝下的投影、照片和圖片的放大或減小、零件的圖紙等等，所以利用相似變換能夠解決生活中的一些幾何問(wèn)題。幾何變換思想的重要意義。課程改革以來(lái)，幾何的授課已經(jīng)由傳統(tǒng)的側(cè)重圖形的性質(zhì)，周長(zhǎng)、面積和體積等的計(jì)算、演繹推理水平轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)空間見(jiàn)解、計(jì)算水平、推理水平及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)水平并重的全面的、友善的發(fā)展。其中推理不僅僅重視演繹推理，還特別重申合情推理。也就是說(shuō)，新課程的理念在幾何的育人功能方面?zhèn)戎乜臻g見(jiàn)解、創(chuàng)新精神、研究水平、推理水平、計(jì)算水平、幾何模型等全面、友善的發(fā)展。而圖形變換作為幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容和思想方法之一，在幾何的育人功能方面發(fā)揮著特別重要的作用。圖形變換本源于生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)的這些運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，所以認(rèn)識(shí)圖形的變換，有利于我們理解生活中豐富多彩的生活空間和形成初步的空間見(jiàn)解。利用圖形變換設(shè)計(jì)美麗的圖案，有利于感覺(jué)、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造生活的美，有利于理解圖形之間的關(guān)系和發(fā)展空間見(jiàn)解。利用圖形變換把靜止的幾何問(wèn)題經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)變換，找到更加簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題的方法。幾何變換思想的詳盡應(yīng)用。圖形變換作為空間與圖形領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，在圖形的性質(zhì)的理解、面積公式的推導(dǎo)、面積的計(jì)算、圖形的設(shè)計(jì)和欣賞、幾何的推理證明等方面都有重要的應(yīng)用。小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何變換思想的應(yīng)用以下表。思想方法知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例軸對(duì)稱(chēng)畫(huà)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱(chēng)圖形理解軸對(duì)稱(chēng)圖形，畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形平移變換理解平移，把簡(jiǎn)單圖形判斷生活中物體的運(yùn)動(dòng)哪些是平移現(xiàn)象平移畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形旋轉(zhuǎn)變換感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象判斷生活中物體的運(yùn)動(dòng)哪些是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象把簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90°畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形合同變換圖形的性質(zhì)、面積的計(jì)平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式的推導(dǎo)等都算

浸透了幾何變換思想圖案的欣賞和設(shè)計(jì)

判斷一些圖案是由一些基本圖形經(jīng)過(guò)什么變換獲取的；

利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)等變換，設(shè)計(jì)美麗的圖案相似變換把簡(jiǎn)單圖形放大或縮畫(huà)出長(zhǎng)方形、正方形、三角形等簡(jiǎn)單的圖形依照必然的小比率放大或減小后的圖形幾何變換思想的授課。課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于圖形變換的授課要求。課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于圖形變換的內(nèi)容和目標(biāo)分為以下幾個(gè)層次:學(xué)段內(nèi)容和目標(biāo)第一學(xué)段結(jié)合生活實(shí)例，感知平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象。在方格紙上畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形理解軸對(duì)稱(chēng)圖形，在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形第二學(xué)段理解圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，領(lǐng)悟圖形的相似

]確定軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖

形在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形平移或旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形按必然比率放大或減小后的圖形判斷一些圖案是由一些基本圖形經(jīng)過(guò)什么變換獲取的，利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)等變換，設(shè)計(jì)圖案⑵授課中需要注意的問(wèn)題圖形變換在大綱時(shí)代的小學(xué)幾何中只學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱(chēng)，而且不是幾何中的主要內(nèi)容。課程標(biāo)準(zhǔn)與大綱對(duì)照，在第一、二學(xué)段的空間與圖形領(lǐng)域的圖形變換方面，新增加了平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換。這些內(nèi)容誠(chéng)然難度不大，但是對(duì)見(jiàn)解的正確性和授課要求比較難掌握，給一些教師的備課和授課帶來(lái)必然迷惑。下面談一談如何掌握相關(guān)的見(jiàn)解和授課要求。第一，對(duì)一些見(jiàn)解的正確掌握。平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)變換與生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象不是一個(gè)見(jiàn)解。數(shù)學(xué)本源于生活，但不等于生活，是生活現(xiàn)象的抽象和概括。生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象經(jīng)常是物體的運(yùn)動(dòng)，如推拉窗、傳達(dá)帶、電梯、鐘擺、旋轉(zhuǎn)門(mén)等物體的運(yùn)動(dòng)，都能夠稱(chēng)之為平移現(xiàn)象或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。而中小學(xué)中的幾何變換都是指平面圖形在同一個(gè)平面的變換，也就是說(shuō)原圖形和變換后的圖形都是平面圖形，而且都在同一個(gè)平面內(nèi)。幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)自于生活中物體的平移現(xiàn)象、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象和軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，若是把生活中這些物體畫(huà)成平面圖形，而且在同一平面上運(yùn)動(dòng)，便能夠說(shuō)成是幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)變換了。一個(gè)變換是不是合同變換或相似變換，要依照見(jiàn)解實(shí)行判斷。如課程標(biāo)準(zhǔn)要求小學(xué)階段的平移限于水平方向和豎直方向，實(shí)質(zhì)上平移也能夠沿斜線方向平移，只要滿(mǎn)足平移的兩個(gè)條件。如頂峰索道、滑雪等都能夠看作平移現(xiàn)象，畫(huà)成平面圖形就是平移變換。再如旋轉(zhuǎn)，象旋轉(zhuǎn)門(mén)、螺旋槳、水龍優(yōu)等都能夠看作旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，但是要注意它的嚴(yán)實(shí)性：一是旋轉(zhuǎn)中心必定固定，二是物體不能夠變形，三是旋轉(zhuǎn)的角度可大可小，能夠是1度，也能夠是300度。這樣的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)畫(huà)成平面圖形在同一平面的運(yùn)動(dòng)才是旋轉(zhuǎn)變換。其他，幾何意義上的變換都是從圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)及其連線的幾何性質(zhì)實(shí)行描述的，與圖形的顏色等沒(méi)關(guān)。案例1：一輛汽車(chē)在筆直平坦的道路上行駛，這輛汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)是平移嗎？若是這輛汽車(chē)急剎車(chē)，輪胎抱死在道路上滑行是平移嗎？解析：嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，物體的平移應(yīng)該保證物體不變形而且物體上的點(diǎn)在物體上的地址是固定的，輪胎在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)就不是平移了，輪胎抱死滑行就是平移。所以，前者不是平移，后者是平移。案例2：一架直升飛機(jī)在按必然速度翱翔時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)嗎？它停在陸地上時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)嗎？解析：直升飛機(jī)在按必然速度翱翔時(shí)螺旋槳在轉(zhuǎn)動(dòng)，但是它的旋轉(zhuǎn)中心素來(lái)在搬動(dòng)，沒(méi)有固定，所以不能夠看作幾何意義上的旋轉(zhuǎn)，只能說(shuō)它是生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。當(dāng)它停在陸地上時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)便能夠看作旋轉(zhuǎn)了。案例3：下面的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？田田田遙⑴圖⑵解析：一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩邊的部分能夠完好重合，這樣的圖形才是軸對(duì)稱(chēng)圖形，而光有四周或輪廓重合是不夠的。圖（1）從三角形的極點(diǎn)向底邊作一條垂線，垂線兩邊的輪廓能夠重合，但是小方格沒(méi)有對(duì)應(yīng)的重合的部分，所以，它不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。圖⑵是軸對(duì)稱(chēng)圖形。第二，注妄圖形變換與其他幾何知識(shí)的聯(lián)系。小學(xué)幾何中的很多平面圖形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，如長(zhǎng)方形、正方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形、菱形、圓等。一方面要在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)增強(qiáng)對(duì)這些圖形的對(duì)稱(chēng)軸和軸對(duì)稱(chēng)的相關(guān)性質(zhì)的理解；另一方面要在學(xué)習(xí)這些圖形的見(jiàn)解和性質(zhì)時(shí)進(jìn)一步領(lǐng)悟它們的軸對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)。在推導(dǎo)平行四邊形、三角形和梯形的面積公式時(shí)，包括在計(jì)算組合圖形的面積時(shí)，都用到了變換思想。如三角形面積公式的推導(dǎo)，是把任意兩個(gè)完好相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，再利用三角形和平行四邊形的關(guān)系，求出三角形的面積公式。這實(shí)際上是把任意一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180度，再沿著一條邊平移，就組合成了一個(gè)平行四邊形。也就是說(shuō)，把任意一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移變換，就變換成了平行四邊形。梯形面積公式的推導(dǎo)也是利用了這個(gè)原理。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽利用出入相補(bǔ)原理求三角形和梯形的面積，實(shí)質(zhì)上也用到了旋轉(zhuǎn)變換。案例4:小明家的院子里有一塊長(zhǎng)30米、寬20米的長(zhǎng)方形菜地，地里有兩條互相垂直而且寬都是1米的小路。這塊地實(shí)質(zhì)種菜的面積是多少？解析：此題關(guān)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，其實(shí)不是難題，能夠有多種方法。這里能夠應(yīng)用平移原理，把小路向底邊和右邊平移。這時(shí)實(shí)質(zhì)種菜的面積就轉(zhuǎn)變?yōu)榍箝L(zhǎng)29米、寬19米的長(zhǎng)方形的面積，用長(zhǎng)乘寬即可求出頭積。案例5:以下列圖，三個(gè)同心圓的最大的圓的兩條直徑互相垂直，最大的

圓的半徑是

2cm

求陰影部分的面積。解析：此題從表面上看，陰影部分比較分別，沒(méi)有充分的數(shù)據(jù)計(jì)算每部分陰徑互相垂直能夠得出每個(gè)圓都被平均分成了

影的面積。依照兩條直4份，每一份旋轉(zhuǎn)90度都能夠與相鄰的部分重合。所以，能夠把最外圈陰影部分的四分之一大圓繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，把中間陰影部分的四分之一圓繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，使陰影經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)集中在右上角四分之一大圓里。陰影的面積為：■XnX22=n(cm2)。以上解題思路告訴我們，在計(jì)算一個(gè)圖形特別是組合圖形的面積時(shí)，利用變換原理能夠使原有的圖形獲取新的組合圖形，轉(zhuǎn)變?yōu)橐子谟?jì)算面積的圖形，從而簡(jiǎn)化計(jì)算的步驟。第三，對(duì)授課要求和解題方法的正確掌握。如前所述，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)圖形變換的內(nèi)容和授課要求有比較清楚的描述，特別是要掌握好兩個(gè)學(xué)段的內(nèi)容、授課要求和解題方法。第一像直觀判斷題，比方，一個(gè)平面內(nèi)有若干圖形，要判斷哪些圖形經(jīng)過(guò)平移能夠互相重合，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)很難用任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等來(lái)判斷，只能經(jīng)過(guò)直觀感覺(jué)判斷，也就是說(shuō)直觀感覺(jué)原圖形在沒(méi)有任何轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，經(jīng)過(guò)水平、豎直也許沿斜線滑動(dòng)能夠與另一個(gè)圖形重合，就是平移。同一平面內(nèi)的任何兩個(gè)圖形，若是經(jīng)過(guò)平移后能夠重合，那么最多只要要經(jīng)過(guò)兩次水平也許豎直方向的平移便能夠重合，借助方格紙能夠協(xié)助我們理解其中的道理。如在方格紙上原圖形中的點(diǎn)A(2,3)，經(jīng)過(guò)平移后它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A(8,10)。那么原圖形能夠經(jīng)過(guò)先向右平移6格，再向上平移7格；也許先向上平移7格，再向右平移6格，得到平移后的圖形。其次像作圖題，比方，畫(huà)出一個(gè)圖形沿著一個(gè)方向平移幾格后的圖形，應(yīng)讓學(xué)生明確，一個(gè)圖形沿著一個(gè)方向平移幾格，那么這個(gè)圖形上的任何一個(gè)點(diǎn)和線段都沿著相同的方向平移幾格?？芍攸c(diǎn)掌握以下幾個(gè)步驟：找出圖形的重點(diǎn)的幾個(gè)點(diǎn)；明確平移的方向和距離；畫(huà)出平移后重點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；按照原圖形的序次連結(jié)各個(gè)點(diǎn)。再如，畫(huà)出一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)90度后的圖形，應(yīng)讓學(xué)