平面解析幾何知識點(diǎn)歸納

第第6頁平面解析幾何知識點(diǎn)歸納直線與方程直線的傾斜角規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，它的傾斜角為范圍：直線的傾斜角的取值范圍為[0,)ktan(akRx2x1斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)1

P(x,

)，P(x,

)(x

x)

的直線的斜率公式為k

y2y1 1 1名稱方程名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)kxbk是斜率與x軸不垂直的b是縱截距直線點(diǎn)斜式y(tǒng)y k(xx)0 0(xy是直線上的點(diǎn)0 0兩點(diǎn)式y(tǒng)yy y1 xxx x1(xyxy是直線與兩坐標(biāo)軸均不1 12 22121上的兩個點(diǎn)垂直的直線(xx,yy)1 2 1 2截距式xy1a ba是直線的橫截距不過原點(diǎn)且與兩b是直線的縱截距坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式AxByC0(A2B20)當(dāng)B0截距為CA當(dāng)B0時，A,C,C分別B A B所有直線

2 2 2 1 2 PP122 1直線的斜率、橫截直線的斜率、橫截距，縱截距能力提升f(x)log

(x1且abc0

f(a)

f(b)

f(c)的大小關(guān)系2xyyx22x2(1x，試求兩直線位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系

a b cy3的最大值和最小值x2設(shè)兩直線的方程分別為：

:yk

xb

或l:AxB

yC

0 ；當(dāng)k k 或位置關(guān)系l:ykx位置關(guān)系l:ykxb:yxl:AxByC 0:xy02 2 2 2 2 2 2平行k k，且b bA1A2B1B21212C1C2(AB-AB=0)12 21重合k k，且b bA1A2B1B21212C1C2相交k k1A B112A B2 2垂直kk1 21AA BB 01 21 22 2

x2

l1:A12

x2

y0 1 22AB AB1 2 2

時它們相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組ykx 1 ykx 1

或AxByC 01 1 AxBy1 1 直線間的夾角：

2 2 2 2 2tan

k 2

A

AB①假設(shè)為l到

的角，

1或

1

2 1；1 2 1kk AABB21 1 2 1 2②假設(shè)為l1

和l的夾角，那么 或 ；tantan1kkk k2121tanABABAABB1 22 11 2 1 2③當(dāng)1kk1 2

0AA1 2

BB1

0時，90o；直線l1

到l的角與l2

和l的夾角：2或；2 2距離問題平面上兩點(diǎn)間的距離公式P(x,

),P(x,y

) 那么 PP (x (x x)(y y)2 1 2 1

1 1 1

2 2 2 12點(diǎn)P(x

到直線lAxByC0d

Ax By C0 00 0 A2

B2兩平行線間的距離公式兩條平行線直線l和l1 2

的一般式方程為l1

：AxByCC C C1 2A2B2

0，l：AxByC2

0，那么l與l1 2

的距離為d

：Ax

yC

0，l

：Ax

yC

0有交點(diǎn)，1 1 1 1 2 2 2 2那么過l與

交點(diǎn)的直線系方程為(AxB

y

)＋(

x

y

)0或1 2 1 1 1 2 2 2(AxByC)+(AxBy

)0 (λ2 2 2 1 1 1對稱問題中點(diǎn)坐標(biāo)公式：點(diǎn)A(xy1 1

),B(x,y2

)BH(x,y)的坐標(biāo)公式為x

xx1 22y

yy1 22點(diǎn)P(xy0

)關(guān)于A(a,b)的對稱點(diǎn)為Q(2ax0

,2by0

)，直線關(guān)于點(diǎn)對稱問題可以化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱問題。軸對稱：點(diǎn)P(a,b) 關(guān)于直線AxByc0(B0)的對稱點(diǎn)為P'(m,n)，那么有n-b

A)1ma B AamBbnC0 2 2〔1〕中心對稱：①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱：該點(diǎn)是兩個對稱點(diǎn)的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，點(diǎn)A(ab)關(guān)于C(cd)的對稱點(diǎn)(2ca,2db)②直線關(guān)于點(diǎn)的對稱：再由兩點(diǎn)式求出直線方程；Ⅱ、求出一個對稱點(diǎn)，在利用l1

//l2

由點(diǎn)斜式得出直線方程；Ⅲ、利用點(diǎn)到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與直線l1

2x3y60關(guān)于點(diǎn)對稱的直線

的方程。2①點(diǎn)關(guān)于直線對稱：用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。如：求點(diǎn)A(3,5)關(guān)于直線l:3x4y40對稱的坐標(biāo)。②直線關(guān)于直線對稱：〔設(shè)a,b關(guān)于l對稱〕Ⅰ、假設(shè)ab相交，那么a到l的角等于b到l的角；假設(shè)a//l，那么b//l，且ab與l的距離相等。Ⅱ、求出a上兩個點(diǎn)A,B關(guān)于l的對稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。Ⅲ、設(shè)P(x,y)為所求直線直線上的任意一點(diǎn)，那么P關(guān)于l的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)適合a的方程。如：求直線a2xy40關(guān)于l3x4y10對稱的直線b的方程。能力提升P(2,1)到直線mxy30(mR)的最大距離為yxy0上各找一點(diǎn)MN，使AMN的周長最短，并求出周長。線性規(guī)劃問題：〔1〕設(shè)點(diǎn)P(xy0 0

)和直線l:AxByC0，①假設(shè)點(diǎn)P在直線l上，那么Ax0

By0

C0P在直線l的上方，那么B(Ax0

By0

C)0；③假設(shè)點(diǎn)P在直線l的下方，那么B(Ax0〔2〕二元一次不等式表示平面區(qū)域：

By0

C)0；對于任意的二元一次不等式AxByC0(0)，①當(dāng)B0時，那么AxByC0表示直線l:AxByC0上方的區(qū)域；AxByC0表示直線l:AxByC0下方的區(qū)域；②當(dāng)B0時，那么AxByC0表示直線l:AxByC0下方的區(qū)域；AxByC0表示直線l:AxByC0上方的區(qū)域；(0,0AxByC0或0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域?！?〕線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：①當(dāng)B0時，將直線AxBy0向上平移，那么zAxBy的值越來越大；直線AxBy0向下平移，那么zAxBy的值越來越??；②當(dāng)B0時，將直線AxBy0向上平移，那么zAxBy的值越來越??；yC(4,OA(1,B(5,xAxBy0zAxBy的值越來越大；如：在如下圖的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)〔陰影局部且包括周zxyC(4,OA(1,B(5,x么a為 ；〔1〕設(shè)點(diǎn)P(xy0 0

)和直線l:AxByC0，①假設(shè)點(diǎn)P在直線l上，那么Ax0

By0

C0P在直線l的上方，那么B(Ax0

By0

C)0；③假設(shè)點(diǎn)P在直線l的下方，那么B(Ax0〔2〕二元一次不等式表示平面區(qū)域：

By0

C)0；對于任意的二元一次不等式AxByC0(0)，①當(dāng)B0時，那么AxByC0表示直線l:AxByC0上方的區(qū)域；AxByC0表示直線l:AxByC0下方的區(qū)域；②當(dāng)B0時，那么AxByC0表示直線l:AxByC0下方的區(qū)域；AxByC0表示直線l:AxByC0上方的區(qū)域；(0,0AxByC0或0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域?！?〕線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：①當(dāng)B0時，將直線AxBy0向上平移，那么zAxBy的值越來越大；直線AxBy0向下平移，那么zAxBy的值越來越??；②當(dāng)B0時，將直線AxBy0向上平移，那么zAxBy的值越來越??；直線AxBy0向下平移，那么zAxBy的值越來越大；如：在如下圖的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)〔陰影局部且包括周yzxay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，那

C(4,么a為 ；

O A(1,

B(5,x圓與方程(xa2yb2r2圓心C(ab，半徑r特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2y2r2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r：點(diǎn)在圓上 d=r；(2)點(diǎn)在圓外 d＞r；(3)點(diǎn)在圓內(nèi) d＜r．2.給定點(diǎn)M(x,y)及圓C:(xa)2(yb)2r2.0 0①M(fèi)在圓C內(nèi)(xa)2(yb)2r2 ②M在圓C上a)2(yb)2r20 0 0 0M在圓C外(xa)2yb)2r20 0圓的一般方程：x2y2DxEyF0 .當(dāng)D2E24F0時，方程表示一個圓，其中圓心CD,E，半徑r

D2E24F.當(dāng)D2E24F0時，方程表示一個點(diǎn)D,E.

2 2 2 2 2當(dāng)D2E24F01Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：B0AC0且D2E24AF0.圓的直徑系方程：AB是圓的直徑AxByC0與圓(xa)2yb)2r2的位置關(guān)系第7頁AaBbAaBbCA2B2〔1〕dr相離0；(2)dr相切0；〔3〕dr相交0兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O，Or1 2 1

OO d。2 1 2〔1〕drr1 2

條公切線2〕drr1 2

外切3條公切線；〔3r1

rdrr2 1

相交條公切線4〕dr1

r 內(nèi)切條公切線；2〔5〕0dr1

r 內(nèi)含無公切線；2外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)圓的切線方程：(1垂直〔斜率互為負(fù)倒數(shù)〕圓x2y2r2的斜率為k的切線方程是ykx 1k2r過圓x2y2DxEyF0上一點(diǎn)P(x

,y)的切線方程為：x

x

xxyD

yyE

F0.0 0