無(wú)窮級(jí)數(shù)課件

第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1第八章1

公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無(wú)窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí),引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開(kāi)始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開(kāi)始的時(shí)候,阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來(lái)越近,但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒(méi)有任何毛病.那么,問(wèn)題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜2公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具.

一、級(jí)數(shù)的基本概念

計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積3第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)1、級(jí)數(shù)的定義:—(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列級(jí)數(shù)的部分和41、級(jí)數(shù)的定義:—(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列級(jí)數(shù)的2、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:52、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:5解收斂發(fā)散例1討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))

的收斂性.

6解收斂發(fā)散例1討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性.6

發(fā)散發(fā)散綜上所述,7發(fā)散發(fā)散綜上所述,7

公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無(wú)窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí),引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開(kāi)始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開(kāi)始的時(shí)候,阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來(lái)越近,但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒(méi)有任何毛病.那么,問(wèn)題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜8公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno如果我們從級(jí)數(shù)的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題,齊諾的這個(gè)悖論就會(huì)不攻自破.

9如果我們從級(jí)數(shù)的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題,齊諾的這個(gè)悖論就1010解例2討論無(wú)窮級(jí)數(shù)

的收斂性.

11解例2討論無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性.11解例3所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

12解例3所以級(jí)數(shù)發(fā)散.12級(jí)數(shù)收斂的必要條件證明定理13級(jí)數(shù)收斂的必要條件證明定理13說(shuō)明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散。14說(shuō)明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散；級(jí)數(shù)發(fā)散；2、必要條件不充分：再舉一個(gè)重要例子：

但級(jí)數(shù)發(fā)散。

調(diào)和級(jí)數(shù)

152、必要條件不充分：再舉一個(gè)重要例子：但級(jí)數(shù)發(fā)散。調(diào)和級(jí)討論于是矛盾，調(diào)和級(jí)數(shù)

16討論于是矛盾，調(diào)和級(jí)數(shù)16二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)也收斂,且有由級(jí)數(shù)收斂的定義，以及極限的性質(zhì)，不難證明。思考：可逆嗎？性質(zhì)1性質(zhì)217二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)也收斂,且有由級(jí)數(shù)收斂的定義，以及極限說(shuō)明：證矛盾.18說(shuō)明：證矛盾.18去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng),不會(huì)影響它的斂散性(但收斂級(jí)數(shù)的和可能要改變).

性質(zhì)3性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂,且其和不變.證因?yàn)椴糠趾蛿?shù)列只相差一個(gè)常數(shù)。例如，19去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng),不會(huì)影響它的斂散性(但收斂級(jí)性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂,且其和不變.續(xù)證注收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.推論如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.

例如例如，則級(jí)數(shù)

且和不變.20性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂,且其和不變.續(xù)證注收斂級(jí)例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：

因?yàn)槎际諗?，故原?jí)數(shù)收斂，解且和為21例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：因?yàn)槎际諗浚试?jí)數(shù)收斂，解且和例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：

收斂；發(fā)散。22例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：收斂；發(fā)散。22練習(xí)：P126習(xí)題8.1(A)3.4.(2)(4)(6)(8)23練習(xí)：P126習(xí)題8.1(A)23第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

1、定義：這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件：定理一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題24第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1、定義：這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)證明比較審斂法定理(1)25證明比較審斂法定理(1)25(2)是(1)的等價(jià)命題.

注：定理的條件可放寬為：

證明比較審斂法定理26(2)是(1)的等價(jià)命題.注：定理的條件可放寬為：證明比解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.

27解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.27解例228解例228所以于是29所以于是29重要參考級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù),p-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).比較：30重要參考級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù),p-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).比較：30解例3例4解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。31解例3例4解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。31,設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果,當(dāng)時(shí);則(1)兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;比較判別法的極限形式：32,設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果,當(dāng)時(shí);則證明由比較判別法,可知兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性.33證明由比較判別法,可知兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性.33證明由比較判別法可知,

(注意：不可逆)；

由(2)即得結(jié)論.

34證明由比較判別法可知,(注意：不可逆)；由(2)即得結(jié)論例5例6例7例8所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。收斂發(fā)散收斂35例5例6例7例8所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。收斂發(fā)散收斂35常用等價(jià)無(wú)窮?。?6常用等價(jià)無(wú)窮小：36例9解例10收斂。解37例9解例10收斂。解37例1138例1138例12解39例12解39證例13由基本不等式40證例13由基本不等式40比值判別法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)

證略.41比值判別法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)證例14例15收斂.解收斂.解42例14例15收斂.解收斂.解42例16解所以用比值法無(wú)法判斷.用比較法,收斂.43例16解所以用比值法無(wú)法判斷.用比較法,收斂.43解例17收斂.44解例17收斂.44例18解45例18解45根值判別法(柯西Cauchy判別法)：

證略.46根值判別法(柯西Cauchy判別法)：證略.46例19解所以級(jí)數(shù)收斂.

例20解所以級(jí)數(shù)收斂.

47例19解所以級(jí)數(shù)收斂.例20解所以級(jí)數(shù)收斂.47例21收斂.解48例21收斂.解48練習(xí)：P137習(xí)題8.22.(1)(3)(4)(5)(7)(8)3.(2)(4)(5)49練習(xí)：P137習(xí)題8.249二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件稱萊布尼茨型級(jí)數(shù)

50二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).證另一方面,

51證另一方面,51定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件，而非必要條件.

52定理(萊布尼茨判別法)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件注意：萊布尼茲例22解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù),

由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂。一般地，稱為交錯(cuò)

p—級(jí)數(shù).所以級(jí)數(shù)收斂。53例22解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù),由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂。一般地，解所以級(jí)數(shù)收斂.例2354解所以級(jí)數(shù)收斂.例2354三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂定義：正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).55三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂定義：正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的證明定理：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知,

56證明定理：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知,56上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)說(shuō)明：這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是

如上例；

57上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)說(shuō)明：這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是例24例25的絕對(duì)收斂,條件收斂或發(fā)散性.判定解故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

判定的絕對(duì)收斂,條件收斂或發(fā)散性.解絕對(duì)收斂.

58例24例25的絕對(duì)收斂,條件收斂或發(fā)散性.判定解故原級(jí)數(shù)絕例26解59例26解59例27解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂;60例27解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂;60由萊布尼茨定理,此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．61由萊布尼茨定理,此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．61例28解所以級(jí)數(shù)發(fā)散；故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；62例28解所以級(jí)數(shù)發(fā)散；故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；62小結(jié)正

項(xiàng)

級(jí)

數(shù)任

意

項(xiàng)

級(jí)

數(shù)判別法4.充要條件5.比較法6.比值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);1.2.7.根值法63小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判4.充要條件5.比較法練習(xí)：P137習(xí)題8.24.(2)(3)(4)5.(2)(3)

8.9*.10*.12*.64練習(xí)：P137習(xí)題8.264第四節(jié)冪級(jí)數(shù)

1、定義：一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念65第四節(jié)冪級(jí)數(shù)1、定義：一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念652、收斂點(diǎn)與收斂域：3、和函數(shù)：662、收斂點(diǎn)與收斂域：3、和函數(shù)：66解由達(dá)朗貝爾判別法，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例167解由達(dá)朗貝爾判別法，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例167原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;解例168原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;解例168二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1、冪級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)稱為關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)。69二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1、冪級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)稱為關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)。2、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域702、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域70證O定理(阿貝爾Abel定理)

71證O定理(阿貝爾Abel定理)71由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,

證72由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,證72由(1)結(jié)論,幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾.73由(1)結(jié)論,幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾.此時(shí)正數(shù)

R

稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?74此時(shí)正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收定理簡(jiǎn)單地講，就是75定理簡(jiǎn)單地講，就是75證76證76證畢.77證畢.77求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例1解發(fā)散；收斂。78求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.例1解發(fā)散；收斂。78一般，求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例179一般，求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.例179例2解例3解80例2解例3解80例4解收斂半徑為

收斂；發(fā)散.81例4解收斂半徑為收斂；發(fā)散.81發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].例5解82發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].例5解82缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；例6解直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法，83缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；例6解直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法，83級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；84級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；84練習(xí)：P154習(xí)題8.41.(1)(2)(4)(6)(8)

5.

85練習(xí)：P154習(xí)題8.4853、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)且收斂半徑仍為R.

863、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)且收斂半徑仍為R.86且收斂半徑仍為R.

(2)逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)后,端點(diǎn)處的收斂性可能發(fā)生如下變化：逐項(xiàng)積分后，原來(lái)發(fā)散的端點(diǎn)可能變收斂；逐項(xiàng)求導(dǎo)后，原來(lái)收斂的端點(diǎn)可能變發(fā)散。87且收斂半徑仍為R.(2)逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)后,端點(diǎn)處的收斂性例1逐項(xiàng)求導(dǎo),

再逐項(xiàng)求導(dǎo),

88例1逐項(xiàng)求導(dǎo),再逐項(xiàng)求導(dǎo),88例1逐項(xiàng)積分,

89例1逐項(xiàng)積分,89換元，再逐項(xiàng)積分，例190換元，再逐項(xiàng)積分，例190例2解91例2解911、解逐項(xiàng)求導(dǎo),

所以例3求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)：921、解逐項(xiàng)求導(dǎo),所以例3求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)：2、解收斂半徑932、解收斂半徑933、解943、解944、解所以從而954、解所以從而954、解964、解965、解975、解97解6、98解6、98例4解所以由例3.4知，99例4解所以由例3.4知，99例5解積分得所以？100例5解積分得所以？100練習(xí)：P155習(xí)題8.42.(2)(4)(6) 9*.11*.(2)(4)101練習(xí)：P155習(xí)題8.4101三、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)上節(jié)例題問(wèn)題:2.如果能展開(kāi),是什么?3.展開(kāi)式是否唯一?1.f(x)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?與求和函數(shù)的相反問(wèn)題：求冪級(jí)數(shù),在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)—函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。102三、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)上節(jié)例題問(wèn)題:2.如果能展開(kāi),1、泰勒

Taylor

公式1031、泰勒Taylor公式103上述公式稱為n階麥克勞林(Maclaurin)公式。104上述公式稱為n階麥克勞林(Maclaurin)公式。1042、泰勒級(jí)數(shù)上式兩端逐項(xiàng)求導(dǎo)，得1052、泰勒級(jí)數(shù)上式兩端逐項(xiàng)求導(dǎo)，得105且展開(kāi)式是唯一的.

106且展開(kāi)式是唯一的.106定義的泰勒級(jí)數(shù)。

的麥克勞林級(jí)數(shù)。107定義的泰勒級(jí)數(shù)。的麥克勞林級(jí)數(shù)。107證由泰勒公式直接獲證。108證由泰勒公式直接獲證。1083、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)(1)直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟：先討論展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù).

2、寫(xiě)出冪級(jí)數(shù)，并求其收斂域

D.

如果是,則

f(x)在

D上可展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)

1093、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)(1)直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟：先討論展例1解110例1解110111111112112例2解113例2解113114114例3收斂域?yàn)椋?

α

不為正整數(shù))特別，115例3收斂域?yàn)椋?α不為正整數(shù))特別，115

根據(jù)展開(kāi)式的唯一性,利用已知展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開(kāi)式.兩邊求導(dǎo),得(2)間接法例4116根據(jù)展開(kāi)式的唯一性,利用已知展開(kāi)式,通過(guò)變量代例5解117例5解117例6解118例6解118例7解所以

119例7解所以119所以例8解法1注意120所以例8解法1注意120解法2例8121解法2例8121常用的函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式122常用的函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式122(α不為正整數(shù))123(α不為正整數(shù))123例9解124例9解124例10解125例10解125例11解由冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性，

因此，126例11解由冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性，因此，126以上討論的均為麥克勞林級(jí)數(shù)，下面討論一下一般的泰勒級(jí)數(shù)：其收斂域?yàn)镈，

一般利用麥克勞林級(jí)數(shù)間接展開(kāi)。127以上討論的均為麥克勞林級(jí)數(shù)，下面討論一下一般的泰勒級(jí)例12解128例12解128例13解而129例13解而129解例13130解例13130例14解131例14解131例15解132例15解132練習(xí)：P155習(xí)題8.43.(1)(3)(5)(7)4.8.12.(3)(4)133練習(xí)：P155習(xí)題8.4133習(xí)題課134習(xí)題課134例1綜合例題判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：135例1綜合例題判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：135解根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂．?136解根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂．?136解由比較審斂法知原級(jí)數(shù)收斂.收斂137解由比較審斂法知原級(jí)數(shù)收斂.收斂137收斂，是萊布尼茨型級(jí)數(shù)。（條件收斂）138收斂，是萊布尼茨型級(jí)數(shù)。（條件收斂）138解例2下列各選項(xiàng)正確的是（）.正項(xiàng)？139解例2下列各選項(xiàng)正確的是（）.正項(xiàng)？139解例3選(C).140解例3選(C).140解例4141解例4141例5解兩邊逐項(xiàng)積分142例5解兩邊逐項(xiàng)積分142兩邊逐項(xiàng)積分143兩邊逐項(xiàng)積分143例5解144例5解144例6解逐項(xiàng)求導(dǎo),

145例6解逐項(xiàng)求導(dǎo),145146146例7解147例7解147例8解148例8解148練習(xí)：P158復(fù)習(xí)題八三、綜合練習(xí)題1.2.3.4.5.6.7.149練習(xí)：P158復(fù)習(xí)題八149150150測(cè)驗(yàn)題BB151測(cè)驗(yàn)題BB151CC152CC152DC153DC153BA154BA154155155156156測(cè)驗(yàn)題答案157測(cè)驗(yàn)題答案157二、2、解158二、2、解158七、159七、159八、對(duì)上式兩邊積分得160八、對(duì)上式兩邊積分得160九、161九、161第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)

162第八章1

公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無(wú)窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí),引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開(kāi)始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開(kāi)始的時(shí)候,阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來(lái)越近,但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒(méi)有任何毛病.那么,問(wèn)題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜163公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具.

一、級(jí)數(shù)的基本概念

計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積164第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)1、級(jí)數(shù)的定義:—(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列級(jí)數(shù)的部分和1651、級(jí)數(shù)的定義:—(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列級(jí)數(shù)的2、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:1662、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:5解收斂發(fā)散例1討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))

的收斂性.

167解收斂發(fā)散例1討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性.6

發(fā)散發(fā)散綜上所述,168發(fā)散發(fā)散綜上所述,7

公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無(wú)窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí),引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場(chǎng)賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開(kāi)始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開(kāi)始的時(shí)候,阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來(lái)越近,但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒(méi)有任何毛病.那么,問(wèn)題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜169公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno如果我們從級(jí)數(shù)的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題,齊諾的這個(gè)悖論就會(huì)不攻自破.

170如果我們從級(jí)數(shù)的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題,齊諾的這個(gè)悖論就17110解例2討論無(wú)窮級(jí)數(shù)

的收斂性.

172解例2討論無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性.11解例3所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

173解例3所以級(jí)數(shù)發(fā)散.12級(jí)數(shù)收斂的必要條件證明定理174級(jí)數(shù)收斂的必要條件證明定理13說(shuō)明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散；

級(jí)數(shù)發(fā)散。175說(shuō)明：1、如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散；級(jí)數(shù)發(fā)散；2、必要條件不充分：再舉一個(gè)重要例子：

但級(jí)數(shù)發(fā)散。

調(diào)和級(jí)數(shù)

1762、必要條件不充分：再舉一個(gè)重要例子：但級(jí)數(shù)發(fā)散。調(diào)和級(jí)討論于是矛盾，調(diào)和級(jí)數(shù)

177討論于是矛盾，調(diào)和級(jí)數(shù)16二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)也收斂,且有由級(jí)數(shù)收斂的定義，以及極限的性質(zhì)，不難證明。思考：可逆嗎？性質(zhì)1性質(zhì)2178二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)也收斂,且有由級(jí)數(shù)收斂的定義，以及極限說(shuō)明：證矛盾.179說(shuō)明：證矛盾.18去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng),不會(huì)影響它的斂散性(但收斂級(jí)數(shù)的和可能要改變).

性質(zhì)3性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂,且其和不變.證因?yàn)椴糠趾蛿?shù)列只相差一個(gè)常數(shù)。例如，180去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng),不會(huì)影響它的斂散性(但收斂級(jí)性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂,且其和不變.續(xù)證注收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.推論如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.

例如例如，則級(jí)數(shù)

且和不變.181性質(zhì)4收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂,且其和不變.續(xù)證注收斂級(jí)例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：

因?yàn)槎际諗?，故原?jí)數(shù)收斂，解且和為182例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：因?yàn)槎际諗?，故原?jí)數(shù)收斂，解且和例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：

收斂；發(fā)散。183例4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：收斂；發(fā)散。22練習(xí)：P126習(xí)題8.1(A)3.4.(2)(4)(6)(8)184練習(xí)：P126習(xí)題8.1(A)23第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

1、定義：這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件：定理一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題185第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1、定義：這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)證明比較審斂法定理(1)186證明比較審斂法定理(1)25(2)是(1)的等價(jià)命題.

注：定理的條件可放寬為：

證明比較審斂法定理187(2)是(1)的等價(jià)命題.注：定理的條件可放寬為：證明比解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.

188解例1所以原級(jí)數(shù)收斂.27解例2189解例228所以于是190所以于是29重要參考級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù),p-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).比較：191重要參考級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù),p-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).比較：30解例3例4解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。192解例3例4解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)收斂。31,設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果,當(dāng)時(shí);則(1)兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;比較判別法的極限形式：193,設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果,當(dāng)時(shí);則證明由比較判別法,可知兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性.194證明由比較判別法,可知兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性.33證明由比較判別法可知,

(注意：不可逆)；

由(2)即得結(jié)論.

195證明由比較判別法可知,(注意：不可逆)；由(2)即得結(jié)論例5例6例7例8所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。收斂發(fā)散收斂196例5例6例7例8所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。收斂發(fā)散收斂35常用等價(jià)無(wú)窮?。?97常用等價(jià)無(wú)窮小：36例9解例10收斂。解198例9解例10收斂。解37例11199例1138例12解200例12解39證例13由基本不等式201證例13由基本不等式40比值判別法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)

證略.202比值判別法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)證例14例15收斂.解收斂.解203例14例15收斂.解收斂.解42例16解所以用比值法無(wú)法判斷.用比較法,收斂.204例16解所以用比值法無(wú)法判斷.用比較法,收斂.43解例17收斂.205解例17收斂.44例18解206例18解45根值判別法(柯西Cauchy判別法)：

證略.207根值判別法(柯西Cauchy判別法)：證略.46例19解所以級(jí)數(shù)收斂.

例20解所以級(jí)數(shù)收斂.

208例19解所以級(jí)數(shù)收斂.例20解所以級(jí)數(shù)收斂.47例21收斂.解209例21收斂.解48練習(xí)：P137習(xí)題8.22.(1)(3)(4)(5)(7)(8)3.(2)(4)(5)210練習(xí)：P137習(xí)題8.249二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件稱萊布尼茨型級(jí)數(shù)

211二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).證另一方面,

212證另一方面,51定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件，而非必要條件.

213定理(萊布尼茨判別法)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件注意：萊布尼茲例22解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù),

由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂。一般地，稱為交錯(cuò)

p—級(jí)數(shù).所以級(jí)數(shù)收斂。214例22解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù),由萊布尼茨定理知，級(jí)數(shù)收斂。一般地，解所以級(jí)數(shù)收斂.例23215解所以級(jí)數(shù)收斂.例2354三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂定義：正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).216三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂定義：正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的證明定理：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知,

217證明定理：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知,56上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)說(shuō)明：這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是

如上例；

218上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)說(shuō)明：這是因?yàn)樗鼈兊囊罁?jù)是例24例25的絕對(duì)收斂,條件收斂或發(fā)散性.判定解故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

判定的絕對(duì)收斂,條件收斂或發(fā)散性.解絕對(duì)收斂.

219例24例25的絕對(duì)收斂,條件收斂或發(fā)散性.判定解故原級(jí)數(shù)絕例26解220例26解59例27解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂;221例27解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂;60由萊布尼茨定理,此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．222由萊布尼茨定理,此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．61例28解所以級(jí)數(shù)發(fā)散；故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；223例28解所以級(jí)數(shù)發(fā)散；故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；62小結(jié)正

項(xiàng)

級(jí)

數(shù)任

意

項(xiàng)

級(jí)

數(shù)判別法4.充要條件5.比較法6.比值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);1.2.7.根值法224小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判4.充要條件5.比較法練習(xí)：P137習(xí)題8.24.(2)(3)(4)5.(2)(3)

8.9*.10*.12*.225練習(xí)：P137習(xí)題8.264第四節(jié)冪級(jí)數(shù)

1、定義：一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念226第四節(jié)冪級(jí)數(shù)1、定義：一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念652、收斂點(diǎn)與收斂域：3、和函數(shù)：2272、收斂點(diǎn)與收斂域：3、和函數(shù)：66解由達(dá)朗貝爾判別法，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例1228解由達(dá)朗貝爾判別法，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例167原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;解例1229原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;解例168二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1、冪級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)稱為關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)。230二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1、冪級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)稱為關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)。2、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域2312、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域70證O定理(阿貝爾Abel定理)

232證O定理(阿貝爾Abel定理)71由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,

證233由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,證72由(1)結(jié)論,幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾.234由(1)結(jié)論,幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾.此時(shí)正數(shù)

R

稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?235此時(shí)正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收定理簡(jiǎn)單地講，就是236定理簡(jiǎn)單地講，就是75證237證76證畢.238證畢.77求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例1解發(fā)散；收斂。239求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.例1解發(fā)散；收斂。78一般，求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例1240一般，求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.例179例2解例3解241例2解例3解80例4解收斂半徑為

收斂；發(fā)散.242例4解收斂半徑為收斂；發(fā)散.81發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].例5解243發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].例5解82缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；例6解直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法，244缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；例6解直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法，83級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；245級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；84練習(xí)：P154習(xí)題8.41.(1)(2)(4)(6)(8)

5.

246練習(xí)：P154習(xí)題8.4853、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)且收斂半徑仍為R.

2473、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)且收斂半徑仍為R.86且收斂半徑仍為R.

(2)逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)后,端點(diǎn)處的收斂性可能發(fā)生如下變化：逐項(xiàng)積分后，原來(lái)發(fā)散的端點(diǎn)可能變收斂；逐項(xiàng)求導(dǎo)后，原來(lái)收斂的端點(diǎn)可能變發(fā)散。248且收斂半徑仍為R.(2)逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)后,端點(diǎn)處的收斂性例1逐項(xiàng)求導(dǎo),

再逐項(xiàng)求導(dǎo),

249例1逐項(xiàng)求導(dǎo),再逐項(xiàng)求導(dǎo),88例1逐項(xiàng)積分,

250例1逐項(xiàng)積分,89換元，再逐項(xiàng)積分，例1251換元，再逐項(xiàng)積分，例190例2解252例2解911、解逐項(xiàng)求導(dǎo),

所以例3求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)：2531、解逐項(xiàng)求導(dǎo),所以例3求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)：2、解收斂半徑2542、解收斂半徑933、解2553、解944、解所以從而2564、解所以從而954、解2574、解965、解2585、解97解6、259解6、98例4解所以由例3.4知，260例4解所以由例3.4知，99例5解積分得所以？261例5解積分得所以？100練習(xí)：P155習(xí)題8.42.(2)(4)(6) 9*.11*.(2)(4)262練習(xí)：P155習(xí)題8.4101三、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)上節(jié)例題問(wèn)題:2.如果能展開(kāi),是什么?3.展開(kāi)式是否唯一?1.f(x)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?與求和函數(shù)的相反問(wèn)題：求冪級(jí)數(shù),在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)—函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。263三、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)上節(jié)例題問(wèn)題:2.如果能展開(kāi),1、泰勒

Taylor

公式2641、泰勒Taylor公式103上述公式稱為n階麥克勞林(Maclaurin)公式。265上述公式稱為n階麥克勞林(Maclaurin)公式。1042、泰勒級(jí)數(shù)上式兩端逐項(xiàng)求導(dǎo)，得2662、泰勒級(jí)數(shù)上式兩端逐項(xiàng)求導(dǎo)，得105且展開(kāi)式是唯一的.

267且展開(kāi)式是唯一的.106定義的泰勒級(jí)數(shù)。

的麥克勞林級(jí)數(shù)。268定義的泰勒級(jí)數(shù)。的麥克勞林級(jí)數(shù)。107證由泰勒公式直接獲證。269證由泰勒公式直接獲證