陜西省榆林市2020～2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文【含答案】

陜西省榆林市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文滿分150分，時間120分鐘.一?選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.A【分析】由交集定義計算．【詳解】根據(jù)集合交集中元素的特征，可得，故選：A.本題考查集合的交集運算，屬于簡單題．2.已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則（）A. B. C. D.C【分析】利用等比中項的性質(zhì)結(jié)合數(shù)列是正項數(shù)列可求得的值.【詳解】已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，由等比中項的性質(zhì)可得。因此，.故選：C.3.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，，則的值為（）.A. B. C. D.B【分析】根據(jù)正弦定理建立方程可得選項.【詳解】由正弦定理得，解得，故選：B.本題考查運用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.4.已知向量，不共線，，，若，則（）A.-12 B.-9 C.-6 D.-3D【分析】根據(jù)，由，利用待定系數(shù)法求解.詳解】已知向量，不共線，且，，因為，所以，則，所以，解得，故選：D本題主要考查平面向量共線的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，則（）A. B. C. D.D【分析】直接利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】因為，所以，故選：D6.過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，如果，則()A.9 B.6 C.7 D.8D【分析】根據(jù)拋物線的方程，算出焦點為，準(zhǔn)線方程為，利用拋物線的定義求得弦長，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的方程為，可得，所以拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以，又因為過拋物線的焦點，且，所以，故選D.本題主要考查了拋物線的定義的應(yīng)用，以及拋物線的焦點弦問題，其中解答中熟記拋物線的定義，合理利用焦點弦的性質(zhì)求解是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件B【分析】先解不等式，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】解不等式得；由能推出，由不能推出；所以“”是“”的必要不充分條件.故選B8.已知變量x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A B.1 C.2 D.3D【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可求出.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，將化為，觀察圖形可得，當(dāng)直線過點時，取得最大值為3.故選：D.9.已知函數(shù)，若對任意，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.C【分析】由題可得在上單調(diào)遞增，討論和兩種情況可求出.【詳解】對任意，且，都有，在上單調(diào)遞增，的對稱軸為，當(dāng)時，開口向下，在單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時，開口向上，要在單調(diào)遞增，則，解得，綜上，.故選：C.本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是判斷出在上單調(diào)遞增.10.一個圓柱的底面直徑與高都等于一個球的直徑，則圓柱的全面積與球的表面積之比為（）A. B. C. D.B【分析】設(shè)球的半徑為,分別求出球和圓柱的表面積即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為,則該圓柱的底面半徑為，高為所以圓柱的表面積為：,球的表面積為：則圓柱的全面積與球的表面積之比為故答案選B本題主要考查了圓柱和球的表面積，屬于基礎(chǔ)題.11.已知命題，，命題，，則下列命題是真命題的是（）A. B. C. D.B【分析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)，先判定命題都為假命題，再利用復(fù)合命題的真假判定方法，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】例如：當(dāng)時，，所以命題“”假命題，由，所以，所以命題“，”為假命題，則和都為真命題，所以為假命題，為真命題，為假命題，為假命題.故選：B.12.已知是一個等差數(shù)列的前項和，對于函數(shù)，若數(shù)列的前項和為，則的值為（）A. B. C. D.D【分析】首先根據(jù)題意求出，再利用裂項求和法即可求解.【詳解】是一個等差數(shù)列的前項和，則，解得，所以，所以，所以的前項和為，則.故選：D本題考查了等差數(shù)列的前和公式的性質(zhì)、裂項求和法，考查了計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二?填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.若，則__________．【分析】【詳解】14.曲線在點處的切線方程為______.【分析】求出曲線在處的導(dǎo)數(shù)值即切線斜率，即可得出方程.【詳解】，，在點處的切線的斜率，則切線方程為，即.故答案為15.為了凈化水質(zhì)，向一游泳池加入某種藥品，加藥后，池水中該藥品的濃度(單位：)隨時間(單位：)的變化關(guān)系為，則池水中藥品的濃度最大可達(dá)到________.4【分析】，然后利用對勾函數(shù)的知識可得答案.【詳解】因為，所以當(dāng)時故416.已知雙曲線的右焦點為F，O為坐標(biāo)原點，以F為圓心，為半徑的圓與x軸交于O，A兩點，與雙曲線C的一條漸近線交于O，B兩點.若，則雙曲線C的一條漸近線方程為______.(或)【分析】，可得，即，化簡可得，即得漸近線方程.【詳解】由題可知，OA為圓F的直徑，B為圓上一點，，，，，不妨設(shè)B在漸近線上，則在直角三角形中，，即，即，解得，即，故雙曲線C的一條漸近線方程為(或).故(或).本題考查雙曲線漸近線的求解，解題的關(guān)鍵是得出，建立關(guān)于的齊次方程可求出.三?解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟)17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，.（1）求的值；（2）求的面積.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解；（2）求解得，代入面積公式求解.【詳解】（1）∵，，，∴.（2）∵，，∴，∴.18.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求；（2）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項和.（1）；（2）證明見解析；.【分析】（1）利用等差數(shù)列的求和公式和基本量運算得到；（2）利用定理證明數(shù)列是等比數(shù)列，公式法求和即可．【詳解】（1）由題可知是等差數(shù)列.由，，聯(lián)立解得，，所以；（2）由，，得數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列.數(shù)列的前項和.本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題．19.如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，側(cè)面，是等邊三角形，，E是線段的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐體積.（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由題可得，，即可證明；（2）由可求.【詳解】解：（1）證明：∵側(cè)面，平面，∴，∵是等邊三角形，E是線段的中點，∴，又，平面，平面，∴平面.（2）∵側(cè)面，∴是三棱錐高，∵是等邊三角形，，∴，∴.20.為了更好地刺激經(jīng)濟復(fù)蘇，增加就業(yè)崗位，多地政府出臺支持“地攤經(jīng)濟”的舉措.某市城管委對所在城市約個流動商販進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、果蔬、玩具、飾品等，各類商販所占比例如圖.（1）該市城管委為了更好地服務(wù)百姓，打算從流動商販經(jīng)營點中隨機抽取個進(jìn)行政策問詢.如果按照分層抽樣的方法隨機抽取，請問應(yīng)抽取小吃類、果蔬類商販各多少家？（2）為了更好地了解商販的收入情況，工作人員還對某果蔬經(jīng)營點最近天的日收入（單位：元）進(jìn)行了統(tǒng)計，所得頻率分布直方圖如圖.若從該果蔬經(jīng)營點的日收入超過元的天數(shù)中機抽取兩天，求這兩天的日收入至少有一天超過元的概率.（1）應(yīng)抽取小吃類商販（家），果蔬類商販（家）；（2）.【分析】（1）求出小吃類、果蔬類商販的占比，再乘以可得結(jié)果；（2）計算可知該果蔬經(jīng)營點的日收入超過元的天數(shù)為天，其中超過元的有天，記為、，其余天為、、、，列舉出所有的基本事件，并確定事件“兩天的日收入至少有一天超過元”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】（1）由題意知，小吃類商販所占比例為，按照分層抽樣的方法隨機抽取，應(yīng)抽取小吃類商販：（家），果蔬類商販：（家）.（2）該果蔬經(jīng)營點的日收入超過元的天數(shù)為天，其中超過元的有天，記日收入超過元的天為、，其余天為、、、，隨機抽取兩天的所有可能情況有：、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中至少有一天超過元的所有可能情況有：、、、，、、、、，共種.所以，這兩天的日收入至少有一天超過的概率為.方法點睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）樹狀圖法；（2）列舉法；（3）列表法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.21.已知橢圓的離心率為，焦距為．斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，．（1）求橢圓的方程（2）若，求的最大值.(1)(2)當(dāng)直線過原點時最大，為【分析】（1）由橢圓離心率為，焦距為列方程組求解即可．（2）設(shè)直線方程為：，由直線與橢圓有兩個不同的交點，得到的范圍，聯(lián)立直線與橢圓方程，整理，表示出，，從而表示出，轉(zhuǎn)化成函數(shù)最大值問題求解．【詳解】（1）由題可得：，解得：，所以橢圓的方程為：．（2）設(shè)直線方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程得：，整理得：，所以，直線與橢圓有兩個不同的交點，，則：，解得：．所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．所以的最大值為.本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，還考查了韋達(dá)定理、弦長公式及直線與橢圓相交知識，考查了轉(zhuǎn)化思想及計算能力，屬于基礎(chǔ)題．22.已知函數(shù)，常數(shù)a大于零.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在零點，求證（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，可得單調(diào)遞增，，即可得出的正負(fù)，判斷出單調(diào)區(qū)間；（2）可得，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出的值域即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，則，令，顯然單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：