微分中值定理課件

2023/1/21一問題的提出(Introduction)

我們知道，導(dǎo)數(shù)是刻劃函數(shù)在一點處變化率的數(shù)學(xué)模型，它反映的是函數(shù)在一點處的局部變化性態(tài)，但在理論研究和實際應(yīng)用中，常常需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)，那么函數(shù)的整體變化性態(tài)與局部變化性態(tài)有何關(guān)系呢？中值定理正是對這一問題的理論詮釋。中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。中值定理既是利用微分學(xué)知識解決應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)模型，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的一種理論性數(shù)學(xué)模型。2022/12/181一問題的提出(Introduct2023/1/22二微分中值定理(TheMeanValueTheorem)

微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，費馬定理是它的預(yù)備定理，羅爾定理是它的特例，柯西定理是它的推廣。1預(yù)備定理——費馬（Fermat）定理

費馬（Fermat，1601-1665），法國人，與笛卡爾共同創(chuàng)立解析幾何。因提出費馬大、小定理而著于世。2022/12/182二微分中值定理微分中2023/1/23幾何解釋:2022/12/183幾何解釋:2023/1/24證明:2022/12/184證明:2023/1/25幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理(Rolle’sTheorem)2022/12/185幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理2023/1/26證2022/12/186證2023/1/272022/12/1872023/1/28注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,例如,XY-110注2:若羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.2022/12/188注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿2023/1/29例12）唯一性由零點定理即為方程的正實根.矛盾,證：1）存在性2022/12/189例12）唯一性由零點定理即為方程的正實2023/1/2103拉格朗日(Lagrange)中值定理2022/12/18103拉格朗日(Lagrange)中2023/1/211幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證明法2022/12/1811幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證2023/1/212作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.2022/12/1812作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏2023/1/213拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論1拉格朗日中值公式另外的表達方式：2022/12/1813拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推2023/1/214例2證由上式得2022/12/1814例2證由上式得2023/1/2154柯西(Cauchy)中值定理2022/12/18154柯西(Cauchy)中值定理2023/1/216幾何解釋:證作輔助函數(shù)2022/12/1816幾何解釋:證作輔助函數(shù)2023/1/2172022/12/18172023/1/218例42022/12/1818例42023/1/2192022/12/18192023/1/220三小結(jié)與思考判斷題Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1）羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；2）利用中值定理證明等式與不等式.Fermat定理2022/12/1820三小結(jié)與思考判斷題RolleLa2023/1/221思考題1拉格朗日中值定理的條件缺少一個，結(jié)論就可能不成立.22022/12/1821思考題1拉格朗日2023/1/222一問題的提出(Introduction)

我們知道，導(dǎo)數(shù)是刻劃函數(shù)在一點處變化率的數(shù)學(xué)模型，它反映的是函數(shù)在一點處的局部變化性態(tài)，但在理論研究和實際應(yīng)用中，常常需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)，那么函數(shù)的整體變化性態(tài)與局部變化性態(tài)有何關(guān)系呢？中值定理正是對這一問題的理論詮釋。中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。中值定理既是利用微分學(xué)知識解決應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)模型，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的一種理論性數(shù)學(xué)模型。2022/12/181一問題的提出(Introduct2023/1/223二微分中值定理(TheMeanValueTheorem)

微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，費馬定理是它的預(yù)備定理，羅爾定理是它的特例，柯西定理是它的推廣。1預(yù)備定理——費馬（Fermat）定理

費馬（Fermat，1601-1665），法國人，與笛卡爾共同創(chuàng)立解析幾何。因提出費馬大、小定理而著于世。2022/12/182二微分中值定理微分中2023/1/224幾何解釋:2022/12/183幾何解釋:2023/1/225證明:2022/12/184證明:2023/1/226幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理(Rolle’sTheorem)2022/12/185幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理2023/1/227證2022/12/186證2023/1/2282022/12/1872023/1/229注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,例如,XY-110注2:若羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.2022/12/188注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿2023/1/230例12）唯一性由零點定理即為方程的正實根.矛盾,證：1）存在性2022/12/189例12）唯一性由零點定理即為方程的正實2023/1/2313拉格朗日(Lagrange)中值定理2022/12/18103拉格朗日(Lagrange)中2023/1/232幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證明法2022/12/1811幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證2023/1/233作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.2022/12/1812作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏2023/1/234拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論1拉格朗日中值公式另外的表達方式：2022/12/1813拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推2023/1/235例2證由上式得2022/12/1814例2證由上式得2023/1/2364柯西(Cauchy)中值定理2022/12/18154柯西(Cauchy)中值定理2023/1/237幾何解釋:證作輔助函數(shù)2022/12/1816幾何解釋:證作輔助函數(shù)2023/1/2382022/12/18172023/1/239例42022/12/1818例42023/1/2402022/12/18192023/1/241三小結(jié)與思考判斷題Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1）羅爾