人教版八上134-最短路徑問(wèn)題課件

13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題八年級(jí)上冊(cè)陳巷中學(xué)王洪波13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題八年級(jí)上冊(cè)陳巷中學(xué)王．∟已知直線l和直線l外一點(diǎn)P，在點(diǎn)P與直線l連接的線段中，哪一條最短？

垂線段最短1.點(diǎn)與直線之間的距離Pl．∟已知直線l和直線l外一點(diǎn)P，在點(diǎn)P與直線l連接的線段中2.兩平行線之間這是兩根互相平行的水管，由于工程需要，現(xiàn)在要用一根水管把它們接通。這是設(shè)計(jì)草圖，你認(rèn)為選用哪根水管最節(jié)省材料，為什么？2.兩平行線之間這是兩根互相平行的水管，由于工程需要，現(xiàn)在要3.兩點(diǎn)之間如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點(diǎn)之間,線段最短①②③3.兩點(diǎn)之間如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選4.兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

P

兩點(diǎn)之間,線段最短．連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P，就是所求。4.兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？P所以泵站建在點(diǎn)P可使輸氣管線最短應(yīng)用如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵問(wèn)題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？ABL5.兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將軍飲馬問(wèn)題”．你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ABL精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與BC的和最?。糠治觯篈BLlABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，A（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（2）我們能否把A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？

（3）利用什么知識(shí)可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：lABClABC（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？分析：lABCl

思考

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C

作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B/.

②

連接AB/,交直線l于點(diǎn)P.

點(diǎn)P的位置即為所求.思考B·lA·B′C作法：②連接AB/,交直線l于

思考

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

三角形任意兩邊之和大于第三邊思考你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·

問(wèn)題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．練習(xí)問(wèn)題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.BCDE分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小

6.一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部BCDE分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″；如圖：牧馬人某一天要從A低出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。AB7.兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部如圖：牧馬人某一天要從A低出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河ABA/B/PQ最短路線：APQBlMNABA/B/PQ最短路線：APQBlMN如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA8.兩點(diǎn)在兩平行線外部（造橋選址問(wèn)題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造分析：lABCaBAbMNA'如左圖，如果將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移到點(diǎn)A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N(xiāo)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A′N(xiāo)+NB最小？分析：lABCaBAbMNA'如左圖，如果將作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，

2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M,

則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。A·BMNECD作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，A·BM如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A,B,要在河邊建一自來(lái)水廠向村莊A與村莊B供水。(1)若要使廠部到A,B村莊的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？（2）若要使廠部到A,B村的水管最省料，應(yīng)建在什么地方？··A村B村當(dāng)堂檢測(cè)如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A,B,要在河邊建一自··A村B村當(dāng)堂課堂小結(jié)AB線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短.最短路徑問(wèn)題垂線段性質(zhì)：垂線段最短.BAl課堂小結(jié)AB線段公理：最短垂線段性質(zhì)：BAl如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)兩座橋：DD′，EE′（橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？

能力提升如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到達(dá)B處

你也許很喜歡臺(tái)球，在玩臺(tái)球過(guò)程中也用到數(shù)學(xué)知識(shí).如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形的球桌臺(tái)面，有兩個(gè)球分別位于P、Q兩點(diǎn)上，先找出P點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′Q交BC于M點(diǎn)，則P處的球經(jīng)BC反彈后，會(huì)擊中Q處的球.請(qǐng)回答：如果使P球先碰撞臺(tái)邊BC反彈碰撞臺(tái)邊AD后，再擊中Q球，該如何撞擊呢?（畫(huà)出圖形）作業(yè)ACDBPQ你也許很喜歡臺(tái)球，在玩臺(tái)球過(guò)程中也用到數(shù)學(xué)知·A村·B村·A村·B村人教版八上134-最短路徑問(wèn)題課件13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題八年級(jí)上冊(cè)陳巷中學(xué)王洪波13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題八年級(jí)上冊(cè)陳巷中學(xué)王．∟已知直線l和直線l外一點(diǎn)P，在點(diǎn)P與直線l連接的線段中，哪一條最短？

垂線段最短1.點(diǎn)與直線之間的距離Pl．∟已知直線l和直線l外一點(diǎn)P，在點(diǎn)P與直線l連接的線段中2.兩平行線之間這是兩根互相平行的水管，由于工程需要，現(xiàn)在要用一根水管把它們接通。這是設(shè)計(jì)草圖，你認(rèn)為選用哪根水管最節(jié)省材料，為什么？2.兩平行線之間這是兩根互相平行的水管，由于工程需要，現(xiàn)在要3.兩點(diǎn)之間如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點(diǎn)之間,線段最短①②③3.兩點(diǎn)之間如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選4.兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

P

兩點(diǎn)之間,線段最短．連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P，就是所求。4.兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？P所以泵站建在點(diǎn)P可使輸氣管線最短應(yīng)用如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵問(wèn)題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？ABL5.兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將軍飲馬問(wèn)題”．你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ABL精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與BC的和最??？分析：ABLlABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，A（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（2）我們能否把A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？

（3）利用什么知識(shí)可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：lABClABC（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？分析：lABCl

思考

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C

作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B/.

②

連接AB/,交直線l于點(diǎn)P.

點(diǎn)P的位置即為所求.思考B·lA·B′C作法：②連接AB/,交直線l于

思考

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

三角形任意兩邊之和大于第三邊思考你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·

問(wèn)題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．練習(xí)問(wèn)題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.BCDE分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小

6.一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部BCDE分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″；如圖：牧馬人某一天要從A低出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。AB7.兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部如圖：牧馬人某一天要從A低出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河ABA/B/PQ最短路線：APQBlMNABA/B/PQ最短路線：APQBlMN如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA8.兩點(diǎn)在兩平行線外部（造橋選址問(wèn)題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造分析：lABCaBAbMNA'如左圖，如果將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移到點(diǎn)A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N(xiāo)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A′N(xiāo)+NB最小？分析：lABCaBAbMNA'如左圖，如果將作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，

2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M,

則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。A·