2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列5數(shù)列求和練習(xí)含解析

數(shù)列求和考試要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法．知識(shí)梳理1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sna＋a

＝na

n2＝ 1 n ＋2n 2 1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：na 1S－aqa

1－qnn 1

n＝1

，q≠1.1－q

1－q分組求和法與并項(xiàng)求和法若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成法，分別求和后相加減．形如an錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．4．裂項(xiàng)相消法(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．(2)常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧1 1 1①nn＋1

.＋11 11 1②nn＋2＝n－n＋2.2③ 1 1 1－1.＝2n－12④ 1 ＝1思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)

a－a若數(shù){a為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和S＝1 n＋1.(√)n當(dāng)

1 1＝

1－1.(√)

n 1－q2－12－1＋求S＝＋2＋33nna即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得．n1 n n

(×)(4)求數(shù) ＋2的前

項(xiàng)和可用分組轉(zhuǎn)化法求和．(√)2n 教材改編題1．?dāng)?shù){a}的通項(xiàng)公式是a則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和( )n nA．－200 B．－100C．200 D．100答案D解析S＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.100

d1 a

＋…＋aa＋a＋…＋

等于( )＝＋n 2 1 3 99＝＋

2 4 100A．50 B．75C．100 D．125答案B解析a＋a＋…＋a2 4 100＝(a1 3 99＝(a＋a＋…＋a)＋50d1 3 99＝50＋25＝75.3．在數(shù){a中，a＝ 1

，若{}的前項(xiàng)和為，則項(xiàng)數(shù)＝.a n 2022 n ，若{}的前項(xiàng)和為，則項(xiàng)數(shù)＝.n n nn 2023答案2022＝－解析a＝ 1 1 1，＝－n nnS 111 1 1∴＝1－＋－＋…＋－n 223 1 n 2022

n＋1＝1－n ＝n ＝ ，＋1 ＋12023∴n＝2022.2題型一分組求和與并項(xiàng)求和1(2022·aa

成等比數(shù)列．n 6an設(shè)b＝2b2n項(xiàng)和T.

1 2 4n n n 2n解(1)∵{ana＝6a，a，a成等比數(shù)列．6 1 2 461a＝a＋5＝6，61∴ ad＝aa3d，1 1 1d≠0，a1a}的通項(xiàng)公式an n(2)由(1)知，bb2n項(xiàng)和為T，n n 2n則T＝(2＋2222＋－4－…)．2n記21＋222，＝－＋23＋，21－22n則1－2 ＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.b2n項(xiàng)和T＝＋＝2＋＋－2.n 2n延伸探究在本例(2b}的前n項(xiàng)和T?n n(2bnn為偶數(shù)時(shí)，2－2n＋1 n nT(2＋2＋…2＋123＋－…(－1＋]＝

＋＝2n＋1＋

－2；nn為奇數(shù)時(shí)，

1－2 2 2T(2＋2＋…2＋123＋－…(－2＋(1)]nn－1＝2n＋1－2＋2－nn5＝2n＋1－－.22 n2＋1＋

－2，n為偶數(shù)，所以T＝ 2n n52＋1－

－，n為奇數(shù).223教師備選(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)已知公比大于1a}滿足a＋a＝20，a＝8.求{an

n 2 4 3記b為{a](Nb100項(xiàng)和S.n m 100解(1a1a，公比為n 1a＋a3＝2，依題意1 11a2＝，1a＝32，1 a＝，解 1

(舍)或12＝2

＝，所以{a}的通項(xiàng)公式為a＝2N*.n(2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32，26＝64，27＝128，所以b1

(0,1b＝0；1b，b(0,2]，(0,3]，2 3b＝b＝1，21；2 3b，b，b，b對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為4 5 6 7(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，b＝b＝b＝b＝2222；4 5 6 7b，b，…，b(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，則b＝b

＝3，8 9 15 8 9 15即有23個(gè)3；b，b，…，b

對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，16 17 31則b＝b＝…＝b＝4，即有24個(gè)4；16 17 31b，b，…，b對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，32 33 63則b＝b＝…＝b＝5，即有25個(gè)5；32 33 63b，b，…，b(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，64 65 100b＝b＝…＝b＝6，376.64 65 100S＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.100思維升華(1c}的通項(xiàng)公式為c＝a±ba}為等差或等比數(shù)列，可采用nc}的前n項(xiàng)和．n

n n n n na，為奇數(shù)，(2)若數(shù){c的通項(xiàng)公式為c＝n 其中數(shù){a}，{b是等比數(shù)列或等差數(shù)nn n b，為偶數(shù)， n nnc}的前n項(xiàng)和．n41(2022·a}的前n項(xiàng)和為S，a＝9，S＝25.na}的通項(xiàng)公式及S；

n 5 5n n設(shè)b＝(－1)nSb}的前n項(xiàng)和T.n n n n解(1a}的公差為nS＝5a＝25a＝a5 3 3 1a＝9＝a5 1＝1，1

n所以a＝2－，S＝ ＝.n n 2(2)(1b＝－1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nT＝(b＋b)＋(b＋b)＋(b＋b)＋…＋(b＋b)n 1 2 3 4 5 6 n＝－2＋2)＋－3＋42＋(－2＋)＋…－－1)2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n－(n－1)][n＋(n－1)]nn＝1＋2＋3＋…＋＝ 2 .nn－1n

nT＝T

＋－1)·＝

2＝－ .n n－1 2 2＝－1.n 2題型二錯(cuò)位相減法求和na2(10)(2021·a1bb＝a，3a

n成等差數(shù)列．

n n 31 2 3求{ab}的通項(xiàng)公式；[切入點(diǎn)：設(shè)基本量n nS 1記S和Tab}的前nT<b＝]n n n n

n2

35教師備選(2020·a1

a

的等差中項(xiàng)．n求{an

1 2 3若a＝1nan項(xiàng)和．1 n解(1)設(shè){a}的公比為n∵aa，a的等差中項(xiàng)，1 2 3∴2a＝aa＝aaa≠0，1 2 3 1 1 1∴2－＝，∵q≠1，∴q＝－2.(2)設(shè){na}的前n項(xiàng)和為S，n na＝1，a＝(－2)n－1，1 nS＝1×1＋2×(2＋3×(2)＋…－2)－，①n－S＝1×(2＋2×(2)2＋3×(2＋…(－1)·(2＋(－2，②n3S＝12＋(－222－1(－2nn1－－2n

1－1＋3n

－2n＝1－－2

3 ，6S1－1＋3nS∴＝

－2n∈N*.n 9思維升華(1aa·b}的前n項(xiàng)和時(shí)，n n n n常采用錯(cuò)位相減法．(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地n n寫出“S－qS”的表達(dá)式．n n②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q1，如果，應(yīng)用公式S＝na.n 19跟蹤訓(xùn)練2(2021·a}的前n項(xiàng)和為Sa＝－4S3S－9(N*)．nan

n 1 4

n＋1 nb3b－4a＝0Nb}的前n項(xiàng)和為T.若Tλb，對(duì)任意n n n n n n nN*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．解(14S＝3S－9，n所以當(dāng)4S＝3S－9，n a 34a＝3a

n＋1＝.n＋1當(dāng)＝1＝4n S 當(dāng)＝1＝4

n a 4n－＋＝－－9，9a27－＋＝－－9，2a 27

4 4解得＝－，2 16a3 9 3所以2＝aa4193

n 4 43n＋1所以a＝－－1＝－ .n 44 4n(2)3b＝0，n n3所以b＝(－4).n 43

3

3

3所以T＝－3×－2－13＋0－4)，①33333333333333T＝－32－23－14＋05＋…－5)＋－4)n4n 4 4 4 4且

＋1，②1 3

3

3

3①－②得T＝－3×2＋3－4)＋14n 44 4 4 9 3 9114－ ＝－＋ －－4)4 31－4

173＝－＋1，3所以T＝4＋1.n 因?yàn)門≤λb對(duì)任意N恒成立，n n

3

＋1 4

4(－4n λ－3n 12

，此時(shí)λ≤1；當(dāng)<4時(shí)，≤n ＝－3－n－4－4當(dāng)n＝4時(shí)，－12≤0恒成立，n λ－3n 12

，此時(shí)λ≥－3.當(dāng)>4時(shí)，≥n ＝－3－n－4－4所以－3≤λ≤1.

題型三裂項(xiàng)相消法求和3(2022·aa＝4，且a滿足關(guān)系n 1 n式：a＋a＝＋2aa，N.n n＋1nan若b＝1b}的前n項(xiàng)和S.n a－1 n n解(1)因?yàn)閍＋a＝4＋2a

a，N，n＋1 na＋a－2aa＝4，

n＋1nn n＋1n即(a－a)2＝4，n＋1 n又{an所以a－a＝2，n＋1 n又a＝2，1所以{a2，2n所以a＝2＋21)，所以a＝42.n n(2)b＝1＝1＝ 1n a－142－1 21 2＋1n＝ 1－1，22n－12n＋1＝所以S＝b＋bb＝

1－＋n 1 2

n 2 35211 1352

1－12－＋…＋

2n－12n＋18＝1－1＝n.2 教師備選a}的前n項(xiàng)和為S2S＝3a－1.n n n n求{an若b＝ 3n

，求的前n

3 3T＜.n a＋1 a＋1 n

n 8 n 4n n＋1(1)2S＝3a－1，n n2S＝2a＝3a－1，1 1 1a＝1.1當(dāng)n≥2時(shí)，2S＝3a

－1，n－1則2S－2S＝2a＝3a－3a，n a

n n n－1整理得an＝3，n－1a1a＝1×3n－1＝3n－1.n n(2)證明由(1)得b＝ 3nn 3n－1＋1 3 1 1＝× － ，23－1＋13＋所以＝×T3所以＝×

1－1

1

1

1

1

－1＋＋＋…＋，n 230＋11＋ 31132＋ 3＋13＋ 3－113＋＋＋＋…＋，3＝×－＝－即T31 1 3 2，＝×－＝－n

223＋ 43＋13<，n4又因?yàn)門n

為遞增數(shù)列，

333≥T＝－＝，n 13T 3

488所以≤<.8 n4思維升華利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)．＝a}是等差數(shù)列，則1＝

11－1，n aa

a1＝11－1

nn＋1

n n＋1aa a.nn＋2 n n＋2跟蹤訓(xùn)練3(2022·a}滿足a＝4，且當(dāng)時(shí)，(n 1 n9＝n－1

a是等差數(shù)列；nb

b n S記＝n

2 n

}的前n

項(xiàng)和.nn n－1將上式兩邊都除以n(n－1)，aa得n＝

n－1 ，n a即n－

an－1＝2，nn－1a a所以數(shù)列n是以1＝4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．n 1a解由(1

n＝4＋2(n－1)＝2n＋2，nanb2＋111－ 1 ，＝＝a所以＝an 2n

42 ＋1S11－1

1－1＋

1－

所以＝ ＋ …＋ n

22

22

32

2

n＋1

＝1－ 1 ＝

22n. ＋1

42課時(shí)精練1．a(chǎn)S為其前n項(xiàng)和，且a＝5，S＝49.n n 3 7an若b＝2bn項(xiàng)和為T，且T≥1000，求n的取值范圍．n n n n n解(1＝7a＝49，7 4a＝7，4故公差－a＝7－5＝2，4 3a＝an 3(2)由(1b22－＋2－1，n10T2＋123＋＋…2－1＋2－1n＝123＋…2－1(13＋…－1)21－22n＋1

n＝1－4＋ 222n＋1 2＝3＋－.易知Tn

3單調(diào)遞增，T＝707<1000，T＝2766>15 6故T≥1000，解得≥6N*.n2．(2020·a}滿足a＝3，a

＝3an 1計(jì)算a，aa

n＋1 n2 3 n}的前n項(xiàng)和S.n n解(1)由題意可得a＝3a－4＝9－4＝5，2 1a＝3a－8＝15－8＝7，3 2aa3an n n(2)由(1nS＝3×2＋5×＋7×＋…(－1)·－(＋1)·，①n2S＝3×＋5×3＋7×＋…(－1)·＋(2＋1)·，②nS6＋2×(＋32＋1)·1n22×1－2n－1＝＋2× 1－2 (2＋1)·＋1＝(2)·＋－，即S(2－1)·＋＋2.n3．(2022·a＝2，a

＝a求{an

n 1 n＋1 n(2)若b＝loga，T＝1＋1＋…＋1，求T.n 2n n bbbb bb n12 23 nn＋1解(1)由已知得a－a＝2n，n＋1 na＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)n 1 2 1 3 2 n n－1＝2＋2＋22＋…＋2n－121－2n－1＝2＋ 1－2 ＝2n.a＝2，也滿足上式，故a1 n由(1＝logan 2n1 1 1 1bb＝n，＋1nn＋111T＝1＋1＋…＋1n bbbb bb12 23 nn＋1

1

1

12＝1－2

＋

－＋…＋n－n＋123123＝1－

n n＝ ，故T＝ .n 4．(2022·濟(jì)寧模擬)已知數(shù)列{a}是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足a

2a

＝16.nan

3 1 2 4若b＝(－1)nlogab}的前n項(xiàng)和T.n 22n＋1 n n解(1a}的公比為na2a

的等差中項(xiàng)，3 1 2所以a＝a＋a，即2a＝2a3a，3 1 2 1 1 1因?yàn)閍≠0，所以2－－＝，1q q 1解得＝2

＝－，2a}是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以n所以a＝a·－＝2.n 4(2)方法一(分奇偶、并項(xiàng)求和)由(1)可知，a

＝22n＋1，2n＋1b＝(－1)n·logan 22n＋1＝－1·log2＋1(－1·(＋1，2n為偶數(shù)，T＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1)nn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]＝2×2n為奇數(shù)，當(dāng)T＝T＋b＝n－1－(2n＋1)＝－n－2，n n－1 nT＝－31綜上得

，為偶數(shù)，T＝n －－，為奇數(shù)(或T＝(＋1)－1)－，N*n方法二(錯(cuò)位相減法)由(1)可知，a

＝22n＋1，2n＋112所以b＝－1)·loga＝(1·l