數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識第一頁，共五十六頁，2022年，8月28日第二章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識第一節(jié)統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)知識第二節(jié)微積分知識第三節(jié)線性代數(shù)知識第二頁，共五十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)統(tǒng)計學(xué)基本知識一、算術(shù)平均算術(shù)平均（arithmeticmean）就是我們?nèi)粘Ｉ钪惺褂玫钠胀ǖ钠骄鶖?shù)，其定義如下式：第三頁，共五十六頁，2022年，8月28日二、加權(quán)算術(shù)平均加權(quán)平均（weightedarithmeticmean）是將各數(shù)據(jù)先乘以反映其重要性的權(quán)數(shù)（w），再求平均的方法。其定義如下式：第四頁，共五十六頁，2022年，8月28日三、變化率變化率的定義如下式：第五頁，共五十六頁，2022年，8月28日四、幾何平均幾何平均（geometricmean）是n個數(shù)據(jù)連乘積的n次方根，其定義如下式：

第六頁，共五十六頁，2022年，8月28日五、移動平均所謂移動平均（moving

average），就是對時間序列數(shù)據(jù)的前后數(shù)據(jù)求平均，將不必要的變動（

循環(huán)變動、季節(jié)變動和不規(guī)則變動）平滑（smoothing），也即剔除這些變動，從而發(fā)現(xiàn)長期變化方向的一種方法。第七頁，共五十六頁，2022年，8月28日通常，移動平均大多用簡單的奇數(shù)項來計算，下面是3項移動平均和5項移動平均的定義。3項移動平均：

第八頁，共五十六頁，2022年，8月28日5項移動平均：

第九頁，共五十六頁，2022年，8月28日EXCEL演示?三項移動平均五項移動平均第十頁，共五十六頁，2022年，8月28日六、方差與標準差為了了解數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)，有必要考察數(shù)據(jù)的集中趨勢和分散的程度。對于集中的趨勢，我們從前面學(xué)習(xí)過的算術(shù)平均中已經(jīng)大體有所了解，而對于分散的程度，通過對方差（variance）與標準差（standarddeviation），以及下一節(jié)將要介紹的變動系數(shù)的計算，能夠得到很多信息。第十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日方差的計算方法是，先將每個數(shù)據(jù)與算術(shù)平均數(shù)之差（即離差）的平方相加求和，再除于樣本數(shù)減一(樣本，總體不減）。而標準差是方差的正的平方根。由于方差是通過平方計算的，它與原數(shù)據(jù)的次數(shù)有所不同，而標準差由于是方差的平方根，因而又與原數(shù)據(jù)的次數(shù)相同。因此，標準差與原數(shù)據(jù)的單位相同，而方差則不附加單位。

第十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日方差S2的定義分別如下式（樣本）：

第十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日標準差S的的定義分別如下式：第十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日七、變動系數(shù)變動系數(shù)（coefficientofvariation）又稱變異系數(shù)，它用標準差S除于算術(shù)平均數(shù)的商來表示。變動系數(shù)CV的定義如下式：

第十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日八、標準化變量標準差變量（standardizedvariable）,又稱基準化變量，它是用來測量某個數(shù)據(jù)的數(shù)值與算術(shù)平均數(shù)的偏離程度，是標準差s的多少倍。借此可以看出該數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)所處的位置。標準化變量z的定義如下式：第十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日九、相關(guān)系數(shù)

所謂相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）是用來測量諸如收入與消費、氣溫和啤酒的消費量、匯率與牛肉的進口價格等兩個變量X、Y之間的相互關(guān)系的大小和方向（正或負）的系數(shù)。通過計算相關(guān)系數(shù)，可以知道X與Y之間具有多大程度的線性（linear）關(guān)系。相關(guān)系數(shù)R的定義如下式：第十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日第十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日相關(guān)系數(shù)的R的取值范圍為，R的取值具有以下的不同含義：

（1）R=1完全正相關(guān)（perfectpositivecorrelation）（2）R>0正相關(guān)（positivecorrelation）（3）R=0不相關(guān)（nocorrelation）（4）R<0負相關(guān)（negativecorrelation）（5）R=-1完全負相關(guān)（perfectnegativecorrelation）為什么會有上述結(jié)果？請結(jié)合公式思考。第十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日十、概率分布隨機變量在各個可能值上出現(xiàn)的概率的大小的情況，叫概率分布。概率分布可用概率函數(shù)描述。離散性隨機變量X的可能取值為xi，P為概率，則概率函數(shù)為P（X=xi）i=1,2,3,…n概率函數(shù)滿足P（X=xi）≥0；第二十頁，共五十六頁，2022年，8月28日十一、概率分布連續(xù)性的隨機變量概率函數(shù)第二十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日十二、總體與樣本數(shù)理統(tǒng)計中把所研究對象的全部單位所組成的集合，叫做總體。從總體中抽出的部分單位所組成的集合，叫做樣本。單個對象叫個體。第二十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日十三、正態(tài)分布當連續(xù)的隨機變量的概率密度函數(shù)形式為時，稱X的分布為正態(tài)分布,記為X～，密度函數(shù)中和是X的數(shù)學(xué)期望和方差。第二十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日十三、正態(tài)分布（總體分布）當和時，稱X服從標準正態(tài)分布，記為X～。對于非標準正態(tài)分布的X，總可以作如下變換，，使Z服從標準正態(tài)分布。第二十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日第二十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日正態(tài)分布為何重要？身高？體重？財富？空調(diào)運行時間？…………第二十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日十四、抽樣分布

1、分布2、t分布3、F分布第二十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日1、分布統(tǒng)計量定義為

Xi符從正態(tài)分布。

xi服從標準正態(tài)分布，

服從自由度為n的卡方分布，卡方分布其實就是殘差平方和。Xi服從正態(tài)分布第二十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日分布的密度函數(shù)為：其數(shù)學(xué)期望其方差為，第二十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日N=4N=15第三十頁，共五十六頁，2022年，8月28日如果隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1）；隨機變量Y服從自由度為n、方差為2n的分布。并且X和Y相互獨立，則統(tǒng)計量：服從t分布（注：可以將分子理解為符合標準正態(tài)分布的參數(shù)，分母看作其標準差。2、t分布第三十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日t分布的密度函數(shù)為其數(shù)學(xué)期望E（t）=0，方差t分布的特點是：左右對稱；當n很大時，非常接近正態(tài)分布。第三十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日對于從標準正態(tài)分布中的總體中抽的容量為n的簡單隨機樣本，其樣本均值與樣本標準差S構(gòu)成如下統(tǒng)計量。服從自由度為n-1的t分布，記為t～t(n-1)。注意：這里的分母是子樣標準差除以自由度，實際上是子樣均值的標準差！只有這樣才與分子保持一致性。分子被平均了，分母當然也要平均！t分布在小樣本（n<30）統(tǒng)計推斷中占有重要的地位。第三十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日T分布圖形：正態(tài)分布相當于標準差為1的t分布。而t分布的標準差多小于1。因而出現(xiàn)這種尾部肥大的現(xiàn)象。正態(tài)分布T分布第三十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日如果隨機變量Xi(i=1,2,3,…n),Yi(i=1,2,3,…n)是相互獨立的，而且服從相同的正態(tài)分布。令3、F分布第三十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日則統(tǒng)計量服從第一自由度、第二自由度的F分布。記為F～F(,)3、F分布注：F分布在方差分析中有著重要的作用。例如判斷兩個正態(tài)分布總體的方差是否有顯著差異，需要利用F分布。其分子與分母其實是兩個方差，在進行回歸檢驗時正是利用F函數(shù)這個特點。第三十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日F分布圖形第三十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日比較：正態(tài)分布T分布F分布卡方分布第三十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日本班同學(xué)的身高平均是2.5米，如何證明該假設(shè)是錯的？大概率與小概率事件試驗：直接進行試驗，發(fā)生的應(yīng)該是大概率事件；若小概率事件發(fā)生，假設(shè)出現(xiàn)錯誤。判斷：對假設(shè)進行肯定或否定。第三十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日假設(shè)（假說）檢驗：原假設(shè)：即擬否定假設(shè)，用H0表示；備擇假設(shè)：擬證實假設(shè)，用H1表示。擬證本班同學(xué)平均身高2.5米.H0：M=2.5H1：M≠2.5驗證：直接找一個學(xué)生，測量其身高；判斷：假設(shè),該生在1.9與3.1之間的概率是95%;在此之外的概率為5%。若在上述范圍內(nèi),無法推翻假設(shè),相反可推翻.第四十頁，共五十六頁，2022年，8月28日例1：正態(tài)分布檢驗設(shè)甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同類型產(chǎn)品，其產(chǎn)品重量分別服從方差為70克（）與90克（）的正態(tài)分布。從甲機床中隨機地取出35件，其平均重量是137克，獨立地從乙機床隨機取出45件，其平均重量130克，問在顯著性為0.02時，兩臺機床的產(chǎn)品就重量而言有無顯著差異？第四十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：理論：第四十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日第四十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日例2：比較兩種安眠藥A、B的療效，以10個患者為實驗對象，數(shù)據(jù)如下：問：在顯著性水平為0.02時，兩種藥的療效是否相同？（t分布）第四十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：由于患者相同，可以建立z變量，然后假設(shè)z的均值是0，對其進行t雙尾檢驗第四十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日第四十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日例3（卡方分布）：設(shè)已知維尼綸纖度在正常生產(chǎn)條件下服從正態(tài)分布N（1.405,0.002304)。在生產(chǎn)某段時間，抽取了5根纖維，測得其纖度為1.32,1.55,1.36,1.4,1.44.問該段時間纖維精度是否正常？（顯著性水平是0.1，雙側(cè)檢驗，即左0.05,右0.05，陰影部分是0.95）解：第四十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日9.4913.5第四十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日例4（F）：甲乙兩臺機床加工同一種軸。從這兩臺機床加工的軸中隨機抽取若干根，沒得直徑（單位為毫米）為：假定各臺機床加工軸的直徑分別服從正態(tài)分布，試比較甲乙兩臺機床加工的精度有無顯著差異。顯著性取0.05,單側(cè)檢驗。第四十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：第五十頁，共五十六頁，2022年，8月28日F分布圖形第五十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日思考題：試驗發(fā)現(xiàn)喂食轉(zhuǎn)基因大豆的10只小老鼠兩年后有7只患癌癥死亡。有人說該結(jié)果不可信，因為10只樣本太小，不具有代表性。你如何看待該結(jié)論？第五十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)微積分基礎(chǔ)知識速度與經(jīng)濟學(xué)：理解導(dǎo)數(shù)的實踐意義；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)主要計算公式；微分與積分：了解微分與積分的概念，復(fù)習(xí)微分與積分主要公式，重點是復(fù)合函數(shù)的微分。第五十三頁，共五十六頁，2022