線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)課件

線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第六節(jié)二、二階線性微分方程解的性質(zhì)三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

第十二章

線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第六節(jié)二、二階線性微分方程解的性質(zhì)三、二、二階線性微分方程解的性質(zhì)二階線性微分方程解的性質(zhì)二、二階線性微分方程解的性質(zhì)二階線性微分方程解的性質(zhì)證00性質(zhì)2證00性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4(非齊次線性方程解的疊加原理)注

性質(zhì)1~性質(zhì)4可推廣到n階線性微分方程的情形.性質(zhì)3性質(zhì)4(非齊次線性方程解的疊加原理)注性質(zhì)1例2的解，解例2的解，解問題1三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)回顧：問題1三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)回顧：問題2答:不一定.的解，例如：是某二階齊次線性方程的解,也是齊次線性方程的解并不是通解.但是則為解決通解的判別問題,還需引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.問題2答:不一定.的解，例如：是某二階齊次線性方程的解,也是定義12.1是定義在區(qū)間I上的n個函數(shù),使得則稱這n個函數(shù)在I

上線性相關(guān)；否則稱為線性無關(guān).若存在不全為0的常數(shù)定義12.1是定義在區(qū)間I上的n個函數(shù),使得則稱這n例3下列各函數(shù)組在給定區(qū)間上是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？線性無關(guān)解例3下列各函數(shù)組在給定區(qū)間上是線性相關(guān)線性無關(guān)解故該函數(shù)組在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);解故該函數(shù)組在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);解特別地,對于兩個函數(shù)的情形：定理例如：特別地,對于兩個函數(shù)的情形：定理例如：注可以證明：注可以證明：1.齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)推論n個線性無關(guān)的特解，則此方程的通解為方程：如果y1(x)與y2(x)是方程(6.1)的兩個線性無關(guān)的特解,那么就是方程(6.1)的通解.1.齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)推論n個線性無關(guān)的特解，則此方程驗證：例5驗證：例5定理12.2(二階非齊次線性方程(6.2)的解的結(jié)構(gòu))2.非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理12.2(二階非齊次線性方程(6.2)的解的結(jié)構(gòu))2.證

由性質(zhì)3,可知是非齊次線性方程(6.2)的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù)，因而也含有兩個獨立任意常數(shù)，因而它是(6.2)的通解.證由性質(zhì)3,可知是非齊次線性方程(6.2)的解,又Y例6例6例7解(1)由性質(zhì)3，知(2)例7解(1)由性質(zhì)3，知(2)齊次線性方程(2)的通解為：由定理12.2，知原方程(1)的通解為：齊次線性方程(2)的通解為：由定理12.2，知原方程(1)的求二階非齊次線性微分方程(6.2)的通解的關(guān)鍵：注1°確定與其相對應(yīng)的二階齊次線性方程(6.1)的兩個線性無關(guān)的解;2°求(6.2)的一個特解.求二階非齊次線性微分方程(6.2)的通解注1°確定與其相對內(nèi)容小結(jié)解的疊加原理函數(shù)組線性相關(guān)與線性無關(guān)1、二階線性微分方程解的性質(zhì)2、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)內(nèi)容小結(jié)解的疊加原理函數(shù)組線性相關(guān)與線性無關(guān)1、二階線性微分思考題思考題思考題解答代入原方程，得思考題解答代入原方程，得線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)課件線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第六節(jié)二、二階線性微分方程解的性質(zhì)三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

第十二章

線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第六節(jié)二、二階線性微分方程解的性質(zhì)三、二、二階線性微分方程解的性質(zhì)二階線性微分方程解的性質(zhì)二、二階線性微分方程解的性質(zhì)二階線性微分方程解的性質(zhì)證00性質(zhì)2證00性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4(非齊次線性方程解的疊加原理)注

性質(zhì)1~性質(zhì)4可推廣到n階線性微分方程的情形.性質(zhì)3性質(zhì)4(非齊次線性方程解的疊加原理)注性質(zhì)1例2的解，解例2的解，解問題1三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)回顧：問題1三、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)回顧：問題2答:不一定.的解，例如：是某二階齊次線性方程的解,也是齊次線性方程的解并不是通解.但是則為解決通解的判別問題,還需引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.問題2答:不一定.的解，例如：是某二階齊次線性方程的解,也是定義12.1是定義在區(qū)間I上的n個函數(shù),使得則稱這n個函數(shù)在I

上線性相關(guān)；否則稱為線性無關(guān).若存在不全為0的常數(shù)定義12.1是定義在區(qū)間I上的n個函數(shù),使得則稱這n例3下列各函數(shù)組在給定區(qū)間上是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？線性無關(guān)解例3下列各函數(shù)組在給定區(qū)間上是線性相關(guān)線性無關(guān)解故該函數(shù)組在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);解故該函數(shù)組在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);解特別地,對于兩個函數(shù)的情形：定理例如：特別地,對于兩個函數(shù)的情形：定理例如：注可以證明：注可以證明：1.齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)推論n個線性無關(guān)的特解，則此方程的通解為方程：如果y1(x)與y2(x)是方程(6.1)的兩個線性無關(guān)的特解,那么就是方程(6.1)的通解.1.齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)推論n個線性無關(guān)的特解，則此方程驗證：例5驗證：例5定理12.2(二階非齊次線性方程(6.2)的解的結(jié)構(gòu))2.非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理12.2(二階非齊次線性方程(6.2)的解的結(jié)構(gòu))2.證

由性質(zhì)3,可知是非齊次線性方程(6.2)的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù)，因而也含有兩個獨立任意常數(shù)，因而它是(6.2)的通解.證由性質(zhì)3,可知是非齊次線性方程(6.2)的解,又Y例6例6例7解(1)由性質(zhì)3，知(2)例7解(1)由性質(zhì)3，知(2)齊次線性方程(2)的通解為：由定理12.2，知原方程(1)的通解為：齊次線性方程(2)的通解為：由定理12.2，知原方程(1)的求二階非齊次線性微分方程(6.2)的通解的關(guān)鍵：注1°確定與其相對應(yīng)的二階齊次線性方程(6.1)的兩個線性無關(guān)的解;2°求(6.2)的一個特解.求二階非齊次線性微分方程(6.2)的通