解的存在唯一性定理

一階微分方程解的存在性定理的其它證明方法姜旭東摘要本文在文［1］對一階微分方程初值問題解得存在唯一性定理證明的基礎(chǔ)上，應(yīng)用壓縮映像原理，Schauder不動點定理，以及Euler折線法，給出了一階微分方程解得存在唯一性定理的其它幾種證法.關(guān)鍵詞一階微分方程不動點定理解的存在性唯一性1、引言微分方程來源于生活實際，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客觀規(guī)律。在文［1］第二章里，介紹了能用初等解法求解的一階方程的若干類型，但同時指出，大量的一階方程一般是不能用初等解法求解它的通解，而實際問題需要的往往是要求滿足某種初始條件的解.本文在文［1］對一階微分方程初值問題解的存在唯一性定理證明的基礎(chǔ)上，應(yīng)用壓縮映像原理，Schauder不動點定理，以及Euler折線法，給出了一階微分方程解的存在唯一性定理的其它幾種證法.考慮一階微分方程dyTOC\o"1-5"\h\z=/(尤，y)(i.i)dx這里f(x,y)是在矩形區(qū)域R:lx一xl<a,\y-yl<b(1.2)上的連續(xù)函數(shù).函數(shù)f(x,y)在R上滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L>0,使得不等式\o"CurrentDocument"lf(x,y)-f(x,y)l<Lly-yl(1.3)1212對所有(x,y1),(x,y2)gR都成立,L稱為Lipschitz常數(shù)。定理1.1、如果f(x,y)在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足Lipschitz條件，則方程(1.1)存在唯一的解y=中(x)，定義于區(qū)間lx-xl<h上,連續(xù)且滿足初始條件0

中(x0)=*這里h=min(a,幺),M=maxIf(x,y)I.M(x,y)eR文［1］中采用皮卡逐步逼近法來證明這個定理.為了簡單起見，只就區(qū)間X0<x<X0+h來討論，對于X0-h<x<X0的討論完全一樣.分五個命題來證明這個定理：命題1、設(shè)y=中(x)是方程(1.1)定義于區(qū)間x0<x<x0+h上滿足初始條件平(x)=y00的解，則y=中(x)是積分方程(1.4)(1.5)y=y+jxf(x,y)dxx<x<x+h000x0的定義于x0<x<x0+h上的連續(xù)解.反之亦然.(1.4)(1.5)現(xiàn)在取平0(x)=*，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下：%(x)=y0中(x)=y+jxf(&,中(&))d&x<x<x+hn0n-100x0(n=1,2,…)命題2、對于所有的n，(1.5)中甲n(x)在x0<x<x0+h上有定義、且滿足不等式I中(x)-yI<b命題3、函數(shù)序列〃3)｝在x0<x<x0+h上是一致收斂的.命題4、中(x)是積分方程(1.4)的定義于x0<x<x/h上的連續(xù)解.命題5、W(x)是積分方程(1.4)的定義于x0<x<x/h上的一個連續(xù)解，則中(x)=W(x)，x<x<x+h.00綜合命題1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在滿足定理1.1條件下，應(yīng)用應(yīng)用壓縮映像原理，Schauder不動點定理，以及Euler折線法，給出了一階微分方程解得存在唯一性定理的其它幾種證法.2、預(yù)備知識定義2.1、定義在以Vt<P上的實值(m維)向量函數(shù)族F=｛f(t)｝,如果存在數(shù)M>0,使得對任一feF，都有||f(t)||<M，當(dāng)以<t<P時，則稱函數(shù)族F在以<t<P上是一致有界的.定義2.2、定義在以<t<p上的實值(m維)向量函數(shù)族F=｛f(t)｝，如果對于任給的8>0,總存在5>0,使得對任一feF和任意的t,te［a,P］，只要11,-tI<5就有1212Ilf(t1)-f?)||<8則稱函數(shù)族F在以<t<P上是同等連續(xù).定義2.3、設(shè)X是度量空間，M是X中子集，若M是X中緊集，則稱M是X中相對緊集。定義2.4、設(shè)X和Y是賦范線性空間，T是X到Y(jié)的線性算子，如果對X的任何有界子集M，TM都是Y中相對緊集，則稱T為全連續(xù)算子，亦稱緊算子。容易看出，T為全連續(xù)算子的充要條件是：設(shè)｛七｝是X中的有界點列，則｛Txn｝必有收斂子列。定義2.5、設(shè)X是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個數(shù)以,0<a<1，使得對所有的x,yeX，成立d(Tx,Ty)<ad(x,y),則稱T是壓縮映射。引理2.6、完備度量空間X的子空間M是完備空間的充要條件是M為X中的閉子空間。引理2.7、C［a,b］是完備的度量空間，其中C［a,b］表示區(qū)間［a,b］上連續(xù)函數(shù)全體。定理2.8、(壓縮映像原理)設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個不動點(就是說，方程Tx=x有且只有一個解)。定理2.9、(Banach壓縮映象原理)設(shè)D是Banach空間X的一個非空閉子集，T是D到其自身內(nèi)的映象，對任意的x,yeD,有IITx—Ty11<以IIx—yII,0<以<1，則必存在唯一的x*eD使得Tx*=x*，即T在D內(nèi)有唯一不動點x*.定理2.10、(Ascoli-Arzela定理)設(shè)F=｛f(t)｝是定義在以<t<P上的一致有界且同等連續(xù)的實值向量函數(shù)族，則從F中必可選取一個在以<t<P上一致收斂的函數(shù)列｛f〃(t)｝(n=1,2,)。定理2.11、(Schauder不動點定理)設(shè)K是Banach空間X的一個有界凸閉集，而T是K到其自身的任一全連續(xù)映射，則T在K內(nèi)至少有一個不動點。3、主要證明方法考慮方程組dx=f(t,x)(3.1)dt

其中teR,xeRn,f:G—Rn+1,G是Rn+1中的某一區(qū)域。若給定一點(t,&)eG，這里t是一實常數(shù)，&是一實的n維常向量，求一個向量函數(shù)中(t)，它在含t的某一區(qū)間△上可微，并滿足條件：⑴中(t)=&；(t，中(t))eG,teA;甲'(t)=f(t，甲(t)),teA這一問題稱為方程組(3.1)的初值問題，并記為dx一—=f(t,x),x(t)=&dt若存在滿足上述條件的函數(shù)中(t)，則稱中(t)為方程(3.1)滿足初始條件中(t)=&或過點(t,&)的一個解。Picard逐次逼近法(壓縮映像原理)定理3.1若函數(shù)f(t,x)是空間Rn+1中區(qū)域，R:11-t|<a,llx—&ll<b上連續(xù)，設(shè)llf(t,x)ll<M,(t,x)eR，f(t,x)在R上關(guān)于x上滿足Lipschitz條件，及存在常數(shù)L使對任意(t,x),(t,x)eR，有l(wèi)lf(t,x)一f(t,x)ll<Lllx一xll(3.2)則方程組(3.1)在區(qū)間J=[t-P,t+P]上有唯一的滿足初始條件x(t)=&的連續(xù)解，其中Pvmin{a,H~,；},II?II為歐氏范數(shù).ML證明：設(shè)C[T—P,t+P]表示區(qū)間J=[t-P,t+P]上連續(xù)函數(shù)全體按距離d(x,y)=maxllx(t)-y(t)ll所成的度量空間，由引理2.7知C[t-p,T+p]是完備的度量空間，又teJ令C表示C[t-P,t+P]中滿足條件(3.3)llx(t)-&ll<Mp,teJ的連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間，不難看出C是閉子空間，由引理2.6可得，C是完備度量空間，令:(3.3)(3.4)(Tx)(t)=&+jtf(t,x(t))dtT則T是C到C的映射。事實上，Mpvb，所以如果xeC，那么當(dāng)te[t一p,T+p]時，(t,x(t))eR，又因為f(t,x(t))是R上的連續(xù)函數(shù)，所以(3.4)式右端積分有意義，又對一切teJ成立：(3.4)ll(Tx)(t)-&ll=llJtf(t,x(t))dtll<M11-tl<MPvb所以，當(dāng)xeC時，TxeC。TF面指出T是壓縮映射，事實上，由Lipschitz條件，對C所以，當(dāng)xeC時，TxeC。II(Tx)(t)—(TX)(t)11=11j'[f(t,X)—f(t,X)]dtll<lt—t|Lmaxllx(t)—x(t)II<Lpd(x,x)Tt^j令a=LP，則0<a<1，且d(Tx,Tx)=maxll(Tx)(t)—(Tx)(t)ll<ad(x,x)teJ所以T是C上的壓縮映射。由定理2.8.存在唯一的xeC，使Tx=x，即x(t)=E+j*f(t,x(t))dttTOC\o"1-5"\h\z且x(t)=E，兩邊對t求導(dǎo)，即得嘩)=f(t,x(t))，這說明x(t)是方程d=f(t,x)滿足初值條件dtdtx(t)=E的解，那么，dx即方程矛=f(t,x)在~(t)=E+jtf(t,x(t))dt

dx即方程矛=f(t,x)在~~~因而xeC，且x是T的不動點，由定理2.8中不動點的唯一性必'有x=x，區(qū)間J=[t—p,T+p]上有唯一的滿足初值條件x(t)=^的連續(xù)函數(shù)解。說明1：定理3.1與定理1.1相比較，定理3.1中解的存在區(qū)間J=[T—p,T+p],.rb1、一，^,、,一中，pVmm{a,,}p受Lipschitz條件L的限制，下面給出定理3.1的改進，使得方程組(3.1)MLb在區(qū)間J=[T—p,T+p]，其中pVmin{a,}不受Lipschitz條件L的限制.M定理3.2若函數(shù)f(t,x)是空間Rn+1中區(qū)域，R:11—Tl<a,lx—El<b上連續(xù)，設(shè)lf(t,x)l<M,(t,x)eR，f(t,x)在R上關(guān)于x上滿足Lipschitz條件，及存在常數(shù)L使對任意(t,x),(t,x)eR，有l(wèi)f(t,x)一f(t,x)l<Llx一xl則方程組(3.1)在區(qū)間J=[T—p,T+p]上有唯一的滿足初始條件x(T)=E的連續(xù)解，其中bPVmin{a,——}。M證明：設(shè)C[T—p,T+P]表示區(qū)間J=[T—P,T+P]上連續(xù)函數(shù)全體所構(gòu)成空間，如果對任意的x(t)eC[T—p,T+p]，定義它的范數(shù)為llx(t)ll=max{lx(t)le—kt;te[t—P,T+P]},其中k>L為常數(shù).不難驗證C[T—p,T+p]為Banach空間，又令C表示C[T—p,T+p]中滿足條

Ix(t)一&!<b,teJ的連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間.令：(Tx)(t)=&+f(s,x(sS)ds任取xe。，由于I(Tx)(t)-&I=Ij‘f(s,x(s))dsI<MP<b,te[t-P具+0]T則T是C到C的映射。卜面指出T是壓縮映射，事實上，由Lipschitz條件，對C中任意兩點x和x，有I(Tx)(t)-(Tx)(t)I=Ij]f(t,x)-f(t,x)]dtI<LftIx(s)-x(s)Ie-kseksds<TOC\o"1-5"\h\zTTL，、_/、，、即：從而—max{Ix(t)一x(t)Ie一kt}ektkteJ\o"CurrentDocument"，、E，、，，L,,，、-,、，、即：從而ITx(t)一Tx(t)Ie-kt<—max{Ix(t)一x(t)Ie-kt}

kteJII(Tx)(t)-(Tx)(t)II<LIIx一xII,0<L<1.

kk則0<a<1，且II(Tx)(t)-(Tx)(t)II<aIIx一xII所以T是C上的壓縮映射。由定理2.8.存在唯一的xeC，使Tx=x，即x(t)=&+jtf(t,x(t))dtT且x(T)=&，兩邊對t求導(dǎo)，即得嘩)=f(t,x(t))，這說明x(t)是方程d=f(t,x)滿足初值條件dtdtx(T)=&的解，那么，dx即方程矛=f(t,x)在x(t)=&+j*f(t,x(tdx即方程矛=f(t,x)在~~~因而xeC，且x是T的不動點，由定理2.9中不動點的唯一性必'有x=x，區(qū)間J=[t-p,T+p]上有唯一的滿足初值條件x(T)=&的連續(xù)函數(shù)解。

注1:定理3.1與定理3.2指出，從一個在J中的連續(xù)函數(shù)中03)出發(fā)按中(t)=&0中(t)=&+\tf(s,中(s))dsT<t<T+Pnn-1x0去計算，我們得到逐次逼近序列，并且這個序列按范數(shù)在J中收斂于初值問題的解x(t)這樣就得到求近似解的方法.例1方程牛=X2+y2定義在矩形區(qū)域R:-1<x<1,-1<y<1,確定經(jīng)過點(0,0)dx的解的存在區(qū)間，并在此區(qū)間上求第三次近似解.解：滿足解的存在唯一性定理的條件M=maxx2+y2=2,h=min(a,——)=min(1,_)=(x,y)eRM211:-,Lipschitz吊數(shù)取為L=2，因為M=maxx2+y2=2,h=min(a,——)=min(1,_)=(x,y)eRM211:-,Lipschitz吊數(shù)取為L=2，因為1003X6X3X7平(x)=JX[X2+甲2(x)]dx=JX[X2+3—]dx=—+63牝(x)=Jx[x卬；(x)]dx=Jx[x2+三+28T+3^9]dx=三+祟+崇+忐注2使Lipschitz條件存在的一個充分條件是f對y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).例2牛=|y|r為中心在原點的矩形域，f(x,y)=|y|在y=0(x軸上)無導(dǎo)數(shù)，但dxIf(x,y)—f(x,y)|<I|y|-|y||<|y—y|,故f(x,y)在R上關(guān)于y滿足利普希茲條件。121212注3定理3.1,定理3.2中的兩個條件是保證初值問題存在唯一的充分條件，而非必要條件。例3當(dāng)連續(xù)條件不滿足時，解也可能存在唯一y=axy豐axf(x,y)在以原點為中心的矩形域中不連續(xù)，但解存在唯一

當(dāng)y=ax——=ay=ax1dx當(dāng)y^ax空=0y=c、dx例4當(dāng)Lipschitz條件不滿足時，dy[yln|y|y豐0—=f(x,y)=*dx(0y=0解也可能存在唯一=y1lnly」-0l=llnlyjll七-01f(x,y)在(x,0)的任何鄰域內(nèi)不滿足Lipschitz條件，但解存在唯一\f(x,y1)-f(x,0)|=y—0,|園七||—8不可能有界岑=ym|y|dx=y1lnly」-0l=llnlyjll七-01岑=ym|y|dxdy

yIny線性方程d=p(x)y+Q(x),當(dāng)P(x),Q(x)在區(qū)間［以,p］上連續(xù)，則由任一初值dxx0G［以,P］所確定的解在整個區(qū)間［以,P］上都存在.推論1y=+ec2exy=0(x0,y0)證明：右端函數(shù)p(x)y+Q(x)在帶狀區(qū)域R:［以,p］x(-8,+8)上連續(xù)，則右端函數(shù)p(x)y+Q(x)在區(qū)域R:［a,p］x［y-線性方程d=p(x)y+Q(x),當(dāng)P(x),Q(x)在區(qū)間［以,p］上連續(xù)，則由任一初值dxx0G［以,P］所確定的解在整個區(qū)間［以,P］上都存在.推論1從而右端函數(shù)p(x)y+Q(x)滿足定理3.2中條件，故線性方程華=p(x)y+Q(x)對任一初值dx(x,y)xg［以,p］在Ix—xl<h上有唯一解.,由任意xe［a,p］,則由任一初值00000(%,y°)x0日以,p］所確定的解在整個區(qū)間［以,p］上都存在.推論2一階隱方程F(x,y,y')=0,y(x)=y,y'(x)=y'，如果在點(x,y,y')的某一鄰域中,0000000F(x,y,y')對所有的變元(x0,y0,y：)連續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；F(x,y,yr)=0000c)/(、吁y0)豐08y，則上述初值問題在x0的某一鄰域存在證明：根據(jù)條件a),b)c),由數(shù)學(xué)分析(華東師大第三版)下冊定理18?3F(x,y,y')=0所確定的隱函數(shù)y'=f(x,y)在(x,y)鄰域內(nèi)存在且連續(xù)，且f=一芻。00dyFf由條件a)，華在(x,y)的鄰域內(nèi)連續(xù)，在以(x,y)為中心的某一閉矩形區(qū)域D中有界，所以8y0000/(尤,V)在D中關(guān)于J滿足Lipschitz條件.,,空=f(x,y)故由F(x,y,y)=0所確定的隱函數(shù)y=f(x,y)滿足定理3.2的條件，所以\dx存在唯一y(x)=y、00解.注：隱式微分方程存在唯一性定理也可應(yīng)用壓縮映射原理證明，見文[17].說明2：證明微分方程解的存在性過程，就是在不斷的尋求定理條件減弱的前提下來證明解的存在性。下面在右端函數(shù)不要求滿足Lipschitz條件下，給出微分方程解的存在性的另外兩種證明方法，但是不能證明解的唯一性。Schauder不動點方法定理3.3(Peano)若函數(shù)f(t,x)是空間Rn+i中區(qū)域，R:11-Tl<a,\\x一&ll<b上連續(xù)，因而存在數(shù)M>0，使得llf(t,x)\\<M,(t,x)eR，則方程組(3.1)至少在區(qū)間….rb、A:lt-tl<h=min{a,——}M上存在一個滿足初始條件中(T)=&的解中(t)。證明：考慮定義在A上的一切連續(xù)函數(shù)所構(gòu)成的空間X，若在X中定義模為llx(t)ll=maxlx(t)l,x(t)eX;teA則容易驗證X是一Banach空間。考慮空間X的一個子集合K={x(t):x(t)eX,llx(t)一&ll<Mh}和K上的一個積分算子T:(Tx)(t)=E+j*f(s,x(s))ds,x(t)eKT顯然，為證明定理，只要證明算子T在K上有一個不動點就夠了，為此首先證明K是一凸閉集。任取v個x.(t)eK(i=1,2,???,v)，那么只要力.>0,寸人.=1,就有i=1||&.x.(t)Y11=11工人(x(t)Y)1工頃=Mhi=1.=1.=1即x(t)eK，因此K是凸的。...=1又設(shè){x(t)}uK(.=1,2,…)且x(t)Tx(t)eX；則由IIx(t)一&ll<Mh，則IIx(t)一&ll<Mh,得..0.0x0(t)eK，因此K是一閉集。根據(jù)h的定義，易知算子T在K上有定義，并由對任意的x(t)eK有II(Tx)(t)一&ll=lljtf(s,x(s))dsll<Mh,teA,

T從而有II(Tx)(t)-&ll<Mh(3.5)故T(K)uK，這說明T是K到它自身的一個算子。最后證明T在K上是全連續(xù)的。為此，設(shè)x*(t),x.(t)eK,(.=1,2,…),且x.(t)Tx*(t)；于是對于任給的￡>0，必存在N，使得.>N,teA時有，Ix(t)-x*(t)l<llx(t)-x*(t)ll<￡，因此x(t)...在A上一致收斂于x*(t)，從而由(Tx^)(t)=&+jtf(s,x^(s))ds,令.T3得(Tx)(t)T6+jtf(s,x(s))ds=(Tx*)(t)這說明T在K上是連續(xù)的。進而，由于對任一x(t)ek和任意的t1,t2eA,有II(Tx)(t)-(Tx)(t)ll=llj12f(s,x(s))dsll<M11-1I,t1所以T(K)作為定義在A上的函數(shù)族是同等連續(xù)的，此外，由(3.5)式看出這個函數(shù)族在A上是一致有界的，故由Ascoli-Arzela定理便知T(K)是相對緊的。這樣由Shauder不動點定理，必存在一個中(t)eK，使珂(t)=中(t)即：平(t)=6+jtf(s,甲(s))ds,teAT定理得證。Euler折線法定理3.4(Peano)若函數(shù)f(t,x)是空間R*中區(qū)域，R:11-t|<a,llx—&ll<b上連續(xù)，因而存在數(shù)M>0，使得llf(t,x)ll<M,(t,x)eR，則方程組(3.1)至少在區(qū)間….rb、A:lt-tl<h=min{a,——}M上存在一個滿足初始條件中(t)=&的解中(t)下面介紹Euler折線法，這個方法基于如下幾何考慮。對于n=1的情形，我們考慮方程(3.1)在區(qū)域G上所確定的方向場，過點(t,&)eG向右作斜率為f(t,&)的直線段；在這直線段上再取G內(nèi)的另一點(t,x)，過點(t,x)向右作斜率為1111f(t,x)的直線段；然后，在這直線段上再取G內(nèi)的另一點(t,x)，過點(t,x)再向右作一斜率為112222f(t2,x2)的直線段；這樣繼續(xù)下去，我們就可以作出一條右行折線，同樣，可以過點(T,&)eG向左方作出類似的折線，這樣的折線稱為方程(3.1)過點(T,&)eG的Euler折線從直觀上看，Euler折線在某種意義下是方程(3.1)的一條近似積分曲線，而且當(dāng)每相鄰兩點t,t之間的距離越小時就越近似。因此，當(dāng)每相鄰兩點t,t之間距離越趨向于零時，Euler折線kk+1kk+1就越趨向所求積分曲線?；谶@一幾何設(shè)想，要證明定理需選出一族刻畫Euler折線的近似解，并從其中抽出一個一致收斂的子列，使它的極限函數(shù)就是定理所求的解。證明：分三步來做：(一)對任給的￡>0，必存在方程(3.1)的一個￡逼近解，即存在滿足下列條件的函數(shù)也(t):(t，中￡(t))eR，當(dāng)teA時；也(t)在A上連續(xù)，并在A上除有限個點外，也(t)處處具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而在這有限個點處，也(t)的左右導(dǎo)數(shù)都存在；ll甲；(t)-f(t,咒(t))ll<￡，當(dāng)teA時；但在導(dǎo)數(shù)不存在的點處，昨(t)應(yīng)理解為也(t)的左導(dǎo)數(shù)或右導(dǎo)數(shù)。事實上只要在A的右半?yún)^(qū)間上A+:T<t<t+h上找到￡逼近解就夠了；左半?yún)^(qū)間的討論類似。因為f(t,x)在R上連續(xù)，從而一致連續(xù)；故對任給的￡>0，必存在5>0使￡llf(t,x)-f(—,x)ll<￡(3.6)當(dāng)(t,x)eR，(—,x)eR，11-11<5,llx一xll<5時。將區(qū)間用lT個分點加以分割:c=t<c=t<t<t<…<t+h,使max11-1l<min{8，工}i<k<ik現(xiàn)在做函數(shù)也(t):也(7)M甲(t)=甲(t)+f(t，甲(t))(t-t)88k—1k—18k—1k—1下證：甲(t)在區(qū)間△+上有定義并且是方程(3.1)的一個一個8逼近解。8t—1<t<[,k=1,2,???,l（3.7）（3.8）根據(jù)（3.8）也（t）顯然在t<t<t1上有定義且滿足（3.9）ll甲(t)—&ll<llf(t,&)ll(t—t)<Mh<b8設(shè)也（t）在t<t<七（k>1）上有定義且滿足（3.9）于是它在七<t<tk+1上有定義且滿足（3.9）ll甲(t)—&ll=ll甲(t)一甲(t)+乙甲(t)一甲(t)ll888k8i8i—1i=1<ll甲(t)一甲(t)ll+2ll甲(t)一甲(t)ll88k8i8i—1i=1<llf(t,甲(t))ll(t—t)+2llf(t，甲(t))ll(t—t)<M(t—t)<Mh<bk8kki—18i—1ii—1i=1由此可見，覽（t）在整個△+上有定義且滿足（3.9），從而滿足作為8逼近解得條件（1），再根據(jù)也（t）的定義，顯然還滿足作為8逼近解得條件（2）此外又根據(jù)中8（t）的定義（3.8）：當(dāng)t,~e△+時有l(wèi)l%（t）—^8（~）ll<M11—~l，于是若「<t<tk（k=1,2,???l）,則由（3.7）得出llq(t)—q(t)ll<M11—tl<M11—tl<5TOC\o"1-5"\h\z88k—1k—1kk—18從而由式（3.8）（3。（3.6）得到：當(dāng)tk—1<t<tk（k=1,2,“）,時有l(wèi)lq'(t)—f(t,q(t))ll=llf(t,q(t))—f(t,q(t))ll<888k—18k—18又llq'(t)—f(t,q(t))ll=llf(t,q(t))—f(t,q(t))ll<88ll8ll—18l—1l8l

這說明也(t)滿足作為8逼近解的條件(3)，因此，也(t)是方程(3.1)在△+上的8逼近解。設(shè)8m(m=1,2,…)是任意趨向于零的正數(shù)序列。根據(jù)(一)，對每一個8m>0，都對應(yīng)方程(3.1)的一個8m逼近解x=氣(t),它在△+上有定義，氣(1)=&，并滿足；當(dāng)t,~eA+時：II中(t)一中(~)ll<M11-~1(3.10)…一~特別在(3.10)中令t=1，則得，II甲(t)ll<ll&II+Mh當(dāng)teA+時，這說明｛甲m(t)｝在A+上是一致有界的，又由(3.10)，顯然｛甲m(t)｝在A+上是同等連續(xù)，根據(jù)Ascoli-Arzela定理，在｛甲(t)｝必存在一個子序列抑(t)｝，它在△+上一致收斂于某一函數(shù)中(t)，k由于中(t)eC(A+)(k=1,2，…)因此甲(t)eC(A+)mk下面證明：中(t),teA+就是方程(3.1)滿足初始條件中(1)=&的一個解。事實上，因中(t)是方程(3.1)的8逼近解，故(3.11)Pm'(t)=f(t，甲山(t))+Am(t)，當(dāng)teA+時，(3.11)其中A(t)其中A(t)滿足mIIA(t)ll<8當(dāng)teA+時，(3.12)對(3.11)兩端積分并氣(1)=&，便得平(t)=&+jtf(s,甲(s))ds+jtA(s)ds,teA+m1m1m特別(3.13)平(t)=6+jtf(s,甲(s))ds+jtA(s)ds,teA+(3.13)mk1mk1mk由(3.12)知limjtA(s)ds=0,teA+kT81mk又因為f(t,X)在R上一致連續(xù)以及甲(t)T甲(t)在A+上一致的成立，故在A+上一致的有mkf(t&(t))Tf(t&(t)),當(dāng)kT3時mk從而可以在積分號下取極限，即有l(wèi)imjtf(s,甲(s))ds=jtf(s&(s))ds,teA+mkT31mk1這樣，在(3.13)兩端令kT3，得

平(t)=^+11f(s,甲(s))ds,tG△+T因為中（t）在△+上是連續(xù)函數(shù)，以及右端函數(shù)，從而中（t）在△+上連續(xù)可微，于是（3.14）兩氣=叫）則有（3.8）得到端對t求導(dǎo)數(shù)，即得方程（3.1）的解，并且滿足初始條件中（T）=氣=叫）則有（3.8）得到注：上述定理證明蘊含著對方程（3.1）近似求解的一種途徑。如命近似求解的計算程序:x=&0k=1,2,x=x+f(t,x)(t-1)kk-1k-1k-1kk-1本文給出證明微分方程初值問題解的存在唯一性的幾種方法中，全部要求右端函數(shù)f（t,x）連續(xù)。1998年，吳從炘、李寶麟教授在不連續(xù)系統(tǒng)有界變差解一文中，應(yīng)用比黎曼積分和勒貝格積分更廣泛的Henstock-kurweil積分證明了右端函數(shù)f（t,x）不連續(xù)時，其初值問題存在唯一的連續(xù)有界變差解，可見微分方程解的存在性證明，就是尋求不斷減弱條件來證明解的存在性。致謝衷心地感謝我的論文指導(dǎo)老師原文志教授悉心的指導(dǎo)和不倦的教誨，在本文寫作過程中，原老師提出了許多寶貴的意見和建議。在這里同時感謝數(shù)學(xué)系的許多老師在我四年的求學(xué)生涯中他們在生活上學(xué)習(xí)上給了我極大的幫助和支持。他們嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和對科學(xué)知識的探求精神深深地感染了我，令我終身受益。感謝我的同學(xué)們對我生活和學(xué)習(xí)地幫助。誠摯地感謝各位評委在百忙之中抽出寶貴時間來參加我的論文答辯會。參考文獻【1】王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程.第二版.北京.高等教育出版社，1983：65?79【2】程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ).第二版.北京.高等教育出版社，2003：179?214【3】尤秉禮.常微分方程補充教程..北京.人民教育出版社，1982：1?96［4］JACKK.HALE［美］，侯定丕譯.常微分方程.北京.人民教育出版社，1980:15?36【5】M.羅梭［法］，葉彥謙譯.常微分方程.上海.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981：34-41［6］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）.第三版.北京.高等教育出版社，1999［7］郭大鈞.非線性泛函分析.第二版.濟南.山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001:1-156【8】夏道行，嚴紹宗.實變函數(shù)與應(yīng)用泛函分析基礎(chǔ).上海.上海科技出版社，198