數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

§1實(shí)數(shù)§2數(shù)集確界原理§3函數(shù)的概念§4復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

§1實(shí)數(shù)§2數(shù)集確界原理11.1實(shí)數(shù)一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二.絕對(duì)值與不等式1.1實(shí)數(shù)一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二.絕對(duì)值與不等式2

若規(guī)定：

則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無(wú)限循環(huán)小數(shù).實(shí)數(shù)對(duì)正整數(shù)對(duì)負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,先將-y表示成無(wú)限小數(shù)，再在無(wú)限小數(shù)前加負(fù)號(hào)．如:-8=-7.999一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：1.回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義.若規(guī)定：則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成3說(shuō)明:

對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱(chēng)x=y與x<y(y>x)2.兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系

說(shuō)明:

.自然規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱(chēng)而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱(chēng)若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)LLLLLLL

1)定義1

說(shuō)明:對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y4定義2設(shè)

為實(shí)數(shù)x的n位不足近似，而有理數(shù)

稱(chēng)為x的n位過(guò)剩近似，n=0,1,2,….為非負(fù)實(shí)數(shù).稱(chēng)有理數(shù)2)通過(guò)有限小數(shù)比較大小的等價(jià)條件定義2設(shè)為實(shí)數(shù)x的n位不足近似，而有理數(shù)稱(chēng)為x的5

對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)其n位不足近似和n位過(guò)剩近似分別規(guī)定為和

注意：對(duì)任何實(shí)數(shù)x,有,對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)其n位不足近似和n位過(guò)剩近似分別規(guī)定為和注意：對(duì)6命題1

設(shè)實(shí)數(shù)的性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)集R對(duì)加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運(yùn)算是封閉的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實(shí)數(shù).

2.實(shí)數(shù)集是有序的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b必滿(mǎn)足下述三個(gè)關(guān)系之一:a<b,a=b,a>b.為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則命題1設(shè)實(shí)數(shù)的性質(zhì)1.實(shí)數(shù)集R對(duì)加,減,73.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c.5.實(shí)數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù),且既有有理數(shù),也有無(wú)理數(shù).6.實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.即任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn),反之,數(shù)軸上的每一點(diǎn)也都唯一的代表一個(gè)實(shí)數(shù)..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

>

>

>

?

使得

則存在正整數(shù)

若

即對(duì)任何

實(shí)數(shù)具有阿基米德性

3.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c8例1證明例2證明.::,yrxr，yx<<滿(mǎn)足存在有理數(shù)證明為實(shí)數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于.,:,,babaRba￡+<?則有若對(duì)任何正數(shù)證明設(shè)ee..,,..bababababa,￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeee例1證明例2證明.:9a0-a二.絕對(duì)值與不等式從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距離：

絕對(duì)值定義：a0-a二.絕對(duì)值與不等式從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距10絕對(duì)值的一些主要性質(zhì)絕對(duì)值的一些主要性質(zhì)11性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由此可推出性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由此可推出12幾個(gè)重要不等式:⑵均值不等式:(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)幾個(gè)重要不等式:⑵均值不等式:(算術(shù)平均值)(幾何平均值13有平均值不等式:等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.⑶Bernoulli不等式:有平均值不等式:等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)14⑷利用二項(xiàng)展開(kāi)式得到的不等式:由二項(xiàng)展開(kāi)式⑷利用二項(xiàng)展開(kāi)式得到的不等式:由二項(xiàng)展開(kāi)式15TheClassisover.Goodbye!TheClassisover.Goodbye!16§2數(shù)集·確界原理?！?數(shù)集·確界原理17數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)18

無(wú)限區(qū)間

無(wú)限區(qū)間19xx20（見(jiàn)下頁(yè)示圖）（見(jiàn)下頁(yè)示圖）21數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)22數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)23MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界24數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)25確確26數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)272、3、上2、3、上28§1.3函數(shù)概念映射函數(shù)的概念幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例函數(shù)的性質(zhì)§1.3函數(shù)概念映射29一、映射定義1：設(shè)X與Y是兩個(gè)非空集合，若對(duì)X中的每一個(gè)元素x，均可找到Y(jié)中唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)這個(gè)對(duì)應(yīng)是集合X到集合

Y的一個(gè)映射，記為f，或者更詳細(xì)地寫(xiě)將x的對(duì)應(yīng)元y記作1.映射的概念一、映射定義1：設(shè)X與Y是兩個(gè)非空集合，若對(duì)X中的每30并稱(chēng)y為映射f下x的像，而x稱(chēng)為映射f下y的原像(或稱(chēng)為逆像).集合X稱(chēng)為映射f的定義域，記作，而X的所有元素的像f(x)的集合稱(chēng)為映射f的值域，記為并稱(chēng)y為映射f下x的像，而x稱(chēng)為映射f下31概括起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)映射必須具備下列三個(gè)基本要素：有唯一確定的y=f(x)與之對(duì)應(yīng).需要指出的是：（1）映射要求元素的像必須是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.概括起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)映射必須具備下列三個(gè)基本要32定義2：設(shè)f是集合X到集合Y的一個(gè)映射，若f的逆像也是唯一的，即對(duì)X中的任意兩個(gè)不同元素x1≠x2，它們的像y1與y2也滿(mǎn)足y1≠y2，則稱(chēng)f為單射；如果映射f滿(mǎn)足Rf=Y，則稱(chēng)f為滿(mǎn)射；如果映射f既是單射，又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)f為雙射（又稱(chēng)一一對(duì)應(yīng)）.2一一對(duì)應(yīng)定義2：設(shè)f是集合X到集合Y的一個(gè)映射，若f的333.逆映射逆映射：如果映射f既是單射，又是滿(mǎn)射，則

逆映射，3.逆映射逆映射：如果映射344.復(fù)合映射：那就可以構(gòu)造出一個(gè)和新的對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)合映射.4.復(fù)合映射：那就可以構(gòu)造出一個(gè)和新的對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)合映射.35

二函數(shù)概念

函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象,可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的.因此我們對(duì)函數(shù)的概念以及常見(jiàn)的一些函數(shù)應(yīng)有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí).

二函數(shù)概念36例圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正n邊形Or)例圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正n邊形Or)37因變量自變量D稱(chēng)為定義域，記作Df，即Df=

D

.函數(shù)值的全體構(gòu)成的數(shù)集稱(chēng)為值域，記為：因變量自變量D稱(chēng)為定義域，記作Df，即Df=D.38對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量因變量約定:39定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)．定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總40表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標(biāo)平面上的

函數(shù)的表示法表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、41單值函數(shù)與多值函數(shù)

在函數(shù)的定義中,對(duì)每個(gè)xD,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱(chēng)為單值函數(shù).如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則,按這個(gè)法則,對(duì)每個(gè)xD,總有確定的y值與之對(duì)應(yīng),但這個(gè)y不總是唯一的,我們稱(chēng)這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù).例如,由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù):下頁(yè)此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個(gè)單值分支單值函數(shù)與多值函數(shù)例如,由42此函數(shù)稱(chēng)為絕對(duì)值函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

=[0,+).

(2)

(1)常值函數(shù)y=c.其定義域?yàn)镈=(-,

+),其值域?yàn)镽f

={c}.下頁(yè)三幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例此函數(shù)稱(chēng)為絕對(duì)值函數(shù),(243(3)符號(hào)函數(shù)

其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

={-1,0,1}.(3)符號(hào)函數(shù)44(4)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)階梯曲線(xiàn)其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)?/p>

=Z.

(4)取整函數(shù)y=[x]階梯曲線(xiàn)45（5）“非負(fù)小數(shù)部分”函數(shù)它的定義域是（5）“非負(fù)小數(shù)部分”函數(shù)它的定義域是46有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(6)狄利克雷函數(shù)其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)?{0,1}.有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(6)狄利克雷函數(shù)其定義域?yàn)?7(7)取最值函數(shù)yxoxo(7)取最值函數(shù)yxoxo48在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱(chēng)為分段函數(shù).分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),49例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫(xiě)出電壓U與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號(hào)的電壓例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫(xiě)出電壓U50數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)51例2解故例2解故52四、復(fù)合函數(shù)

在實(shí)際問(wèn)題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是由幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)“疊置”而成的，如在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系就是由三角函數(shù)和線(xiàn)性函數(shù)“疊置”而成的，四、復(fù)合函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是53定義:注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;——復(fù)合條件定義:注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;54復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合條件在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取形式內(nèi)層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內(nèi)2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合條件在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取形式內(nèi)層函數(shù)的值域落55數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)56數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)57數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)58五、反函數(shù)DWDW反函數(shù).五、反函數(shù)DWDW反函數(shù).59的反函數(shù)，記為

反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域

顯然有

(恒等變換）

(恒等變換)

。的反函數(shù)，記為顯然有(恒等變換）(恒等變換)。60這樣直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒(méi)什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為.這樣直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)61

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對(duì)應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)。但1-1對(duì)應(yīng)的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子它的反函數(shù)即為它自己.

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對(duì)應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有62

實(shí)際求反函數(shù)問(wèn)題可分為二步進(jìn)行：

(1).確定的定義域和值域，考慮1-1對(duì)應(yīng)條件。固定，解方程

得出。(2).按習(xí)慣，自變量、因變量互換，得.的定義域和值域，考慮1-1對(duì)應(yīng)條件。固定，解方程得63六初等函數(shù)１、基本初等函數(shù)（1）.冪函數(shù)六初等函數(shù)１、基本初等函數(shù)（1）.冪函數(shù)64冪函數(shù)冪函數(shù)65（2）.指數(shù)函數(shù)（2）.指數(shù)函數(shù)66（3）.對(duì)數(shù)函數(shù)（3）.對(duì)數(shù)函數(shù)67(4)三角函數(shù)周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù)|sinx|≤1特殊值：Taylor(Maclaurin)公式(4)三角函數(shù)周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù)|sinx|≤68三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無(wú)界函數(shù)：漸進(jìn)線(xiàn)：特殊值：三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無(wú)界函數(shù)：漸進(jìn)線(xiàn)：特殊值：69三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無(wú)界函數(shù)：漸進(jìn)線(xiàn)：特殊值：三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無(wú)界函數(shù)：漸進(jìn)線(xiàn)：特殊值：70正割函數(shù)余割函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)71(5)反三角函數(shù)的圖象(5)反三角函數(shù)的圖象72冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù).冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角732.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱(chēng)為初等函數(shù).例3解2.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四74綜上所述綜上所述75§1.4具有某些特征的函數(shù)二.單調(diào)函數(shù)三.奇函數(shù)和偶函數(shù)四.周期函數(shù)一.有界函數(shù)§1.4具有某些特征的函數(shù)二.單調(diào)函數(shù)三.奇函數(shù)和偶函數(shù)四76M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX1．函數(shù)77f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:

|sinx|1.所以函數(shù)無(wú)上界.下頁(yè)有界函數(shù)舉例f(x)=sinx在(-,+)上是78例1例1792．函數(shù)的單調(diào)性:xyo2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo80xyoxyo813．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x82奇函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x83數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)84數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)854．函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.4．函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.86數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)87三角函數(shù)周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù)|cosx|≤1特殊值：Taylor(Maclaurin)公式三角函數(shù)周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù)|cosx|≤1特殊88小結(jié)(2)反函數(shù);(1)復(fù)合函數(shù);(3)初等函數(shù).;(4)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)小結(jié)(2)反函數(shù);(1)復(fù)合函數(shù);(3)初等函數(shù)89第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

§1實(shí)數(shù)§2數(shù)集確界原理§3函數(shù)的概念§4復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

§1實(shí)數(shù)§2數(shù)集確界原理901.1實(shí)數(shù)一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二.絕對(duì)值與不等式1.1實(shí)數(shù)一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二.絕對(duì)值與不等式91

若規(guī)定：

則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無(wú)限循環(huán)小數(shù).實(shí)數(shù)對(duì)正整數(shù)對(duì)負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,先將-y表示成無(wú)限小數(shù)，再在無(wú)限小數(shù)前加負(fù)號(hào)．如:-8=-7.999一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：1.回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義.若規(guī)定：則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成92說(shuō)明:

對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱(chēng)x=y與x<y(y>x)2.兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系

說(shuō)明:

.自然規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱(chēng)而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱(chēng)若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)LLLLLLL

1)定義1

說(shuō)明:對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y93定義2設(shè)

為實(shí)數(shù)x的n位不足近似，而有理數(shù)

稱(chēng)為x的n位過(guò)剩近似，n=0,1,2,….為非負(fù)實(shí)數(shù).稱(chēng)有理數(shù)2)通過(guò)有限小數(shù)比較大小的等價(jià)條件定義2設(shè)為實(shí)數(shù)x的n位不足近似，而有理數(shù)稱(chēng)為x的94

對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)其n位不足近似和n位過(guò)剩近似分別規(guī)定為和

注意：對(duì)任何實(shí)數(shù)x,有,對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)其n位不足近似和n位過(guò)剩近似分別規(guī)定為和注意：對(duì)95命題1

設(shè)實(shí)數(shù)的性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)集R對(duì)加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運(yùn)算是封閉的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實(shí)數(shù).

2.實(shí)數(shù)集是有序的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b必滿(mǎn)足下述三個(gè)關(guān)系之一:a<b,a=b,a>b.為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則命題1設(shè)實(shí)數(shù)的性質(zhì)1.實(shí)數(shù)集R對(duì)加,減,963.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c.5.實(shí)數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù),且既有有理數(shù),也有無(wú)理數(shù).6.實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.即任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn),反之,數(shù)軸上的每一點(diǎn)也都唯一的代表一個(gè)實(shí)數(shù)..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

>

>

>

?

使得

則存在正整數(shù)

若

即對(duì)任何

實(shí)數(shù)具有阿基米德性

3.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c97例1證明例2證明.::,yrxr，yx<<滿(mǎn)足存在有理數(shù)證明為實(shí)數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于.,:,,babaRba￡+<?則有若對(duì)任何正數(shù)證明設(shè)ee..,,..bababababa,￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeee例1證明例2證明.:98a0-a二.絕對(duì)值與不等式從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距離：

絕對(duì)值定義：a0-a二.絕對(duì)值與不等式從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距99絕對(duì)值的一些主要性質(zhì)絕對(duì)值的一些主要性質(zhì)100性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由此可推出性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由此可推出101幾個(gè)重要不等式:⑵均值不等式:(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)幾個(gè)重要不等式:⑵均值不等式:(算術(shù)平均值)(幾何平均值102有平均值不等式:等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.⑶Bernoulli不等式:有平均值不等式:等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)103⑷利用二項(xiàng)展開(kāi)式得到的不等式:由二項(xiàng)展開(kāi)式⑷利用二項(xiàng)展開(kāi)式得到的不等式:由二項(xiàng)展開(kāi)式104TheClassisover.Goodbye!TheClassisover.Goodbye!105§2數(shù)集·確界原理?！?數(shù)集·確界原理106數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)107

無(wú)限區(qū)間

無(wú)限區(qū)間108xx109（見(jiàn)下頁(yè)示圖）（見(jiàn)下頁(yè)示圖）110數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)111數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)112MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界113數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)114確確115數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1162、3、上2、3、上117§1.3函數(shù)概念映射函數(shù)的概念幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例函數(shù)的性質(zhì)§1.3函數(shù)概念映射118一、映射定義1：設(shè)X與Y是兩個(gè)非空集合，若對(duì)X中的每一個(gè)元素x，均可找到Y(jié)中唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)這個(gè)對(duì)應(yīng)是集合X到集合

Y的一個(gè)映射，記為f，或者更詳細(xì)地寫(xiě)將x的對(duì)應(yīng)元y記作1.映射的概念一、映射定義1：設(shè)X與Y是兩個(gè)非空集合，若對(duì)X中的每119并稱(chēng)y為映射f下x的像，而x稱(chēng)為映射f下y的原像(或稱(chēng)為逆像).集合X稱(chēng)為映射f的定義域，記作，而X的所有元素的像f(x)的集合稱(chēng)為映射f的值域，記為并稱(chēng)y為映射f下x的像，而x稱(chēng)為映射f下120概括起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)映射必須具備下列三個(gè)基本要素：有唯一確定的y=f(x)與之對(duì)應(yīng).需要指出的是：（1）映射要求元素的像必須是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.概括起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)映射必須具備下列三個(gè)基本要121定義2：設(shè)f是集合X到集合Y的一個(gè)映射，若f的逆像也是唯一的，即對(duì)X中的任意兩個(gè)不同元素x1≠x2，它們的像y1與y2也滿(mǎn)足y1≠y2，則稱(chēng)f為單射；如果映射f滿(mǎn)足Rf=Y，則稱(chēng)f為滿(mǎn)射；如果映射f既是單射，又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)f為雙射（又稱(chēng)一一對(duì)應(yīng)）.2一一對(duì)應(yīng)定義2：設(shè)f是集合X到集合Y的一個(gè)映射，若f的1223.逆映射逆映射：如果映射f既是單射，又是滿(mǎn)射，則

逆映射，3.逆映射逆映射：如果映射1234.復(fù)合映射：那就可以構(gòu)造出一個(gè)和新的對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)合映射.4.復(fù)合映射：那就可以構(gòu)造出一個(gè)和新的對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)合映射.124

二函數(shù)概念

函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象,可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的.因此我們對(duì)函數(shù)的概念以及常見(jiàn)的一些函數(shù)應(yīng)有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí).

二函數(shù)概念125例圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正n邊形Or)例圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正n邊形Or)126因變量自變量D稱(chēng)為定義域，記作Df，即Df=

D

.函數(shù)值的全體構(gòu)成的數(shù)集稱(chēng)為值域，記為：因變量自變量D稱(chēng)為定義域，記作Df，即Df=D.127對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量因變量約定:128定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)．定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總129表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標(biāo)平面上的

函數(shù)的表示法表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、130單值函數(shù)與多值函數(shù)

在函數(shù)的定義中,對(duì)每個(gè)xD,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱(chēng)為單值函數(shù).如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則,按這個(gè)法則,對(duì)每個(gè)xD,總有確定的y值與之對(duì)應(yīng),但這個(gè)y不總是唯一的,我們稱(chēng)這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù).例如,由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù):下頁(yè)此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個(gè)單值分支單值函數(shù)與多值函數(shù)例如,由131此函數(shù)稱(chēng)為絕對(duì)值函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

=[0,+).

(2)

(1)常值函數(shù)y=c.其定義域?yàn)镈=(-,

+),其值域?yàn)镽f

={c}.下頁(yè)三幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例此函數(shù)稱(chēng)為絕對(duì)值函數(shù),(2132(3)符號(hào)函數(shù)

其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

={-1,0,1}.(3)符號(hào)函數(shù)133(4)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)階梯曲線(xiàn)其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)?/p>

=Z.

(4)取整函數(shù)y=[x]階梯曲線(xiàn)134（5）“非負(fù)小數(shù)部分”函數(shù)它的定義域是（5）“非負(fù)小數(shù)部分”函數(shù)它的定義域是135有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(6)狄利克雷函數(shù)其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)?{0,1}.有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(6)狄利克雷函數(shù)其定義域?yàn)?36(7)取最值函數(shù)yxoxo(7)取最值函數(shù)yxoxo137在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱(chēng)為分段函數(shù).分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),138例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫(xiě)出電壓U與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號(hào)的電壓例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫(xiě)出電壓U139數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)140例2解故例2解故141四、復(fù)合函數(shù)

在實(shí)際問(wèn)題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是由幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)“疊置”而成的，如在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系就是由三角函數(shù)和線(xiàn)性函數(shù)“疊置”而成的，四、復(fù)合函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是142定義:注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;——復(fù)合條件定義:注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;143復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合條件在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取形式內(nèi)層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內(nèi)2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合條件在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取形式內(nèi)層函數(shù)的值域落144數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)145數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)146數(shù)學(xué)分析課件之第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)147五、反函數(shù)DWDW反函數(shù).五、反函數(shù)DWDW反函數(shù).148的反函數(shù)，記為

反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域

顯然有

(恒等變換）

(恒等變換)

。的反函數(shù)，記為顯然有(恒等變換）(恒等變換)。149這樣直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒(méi)什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為.這樣直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)150

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對(duì)