狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波課件

狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波StateSpaceModelsandKalmanFilter

60年代初，由于工程控制領(lǐng)域的需要，產(chǎn)生了卡爾曼濾波(KalmanFiltering)。進(jìn)入70年代初，人們明確提出了狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，并開(kāi)始將其應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。80年代以后，狀態(tài)空間模型已成為一種有力的建模工具。許多時(shí)間序列模型，包括典型的線性回歸模型和ARIMA模型都能作為特例寫(xiě)成狀態(tài)空間的形式，并估計(jì)參數(shù)值。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中，狀態(tài)空間模型被用來(lái)估計(jì)不可觀測(cè)的時(shí)間變量：理性預(yù)期，測(cè)量誤差，長(zhǎng)期收入，不可觀測(cè)因素（趨勢(shì)和循環(huán)要素）。狀態(tài)空間模型在經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)領(lǐng)域其他方面的大量應(yīng)用請(qǐng)參見(jiàn)Harvey（1989）和Hamilton（1994）。

1狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波60年代初，由于工程控制領(lǐng)

在一般的統(tǒng)計(jì)模型中出現(xiàn)的變量都是可以觀測(cè)到的，這些模型以反映過(guò)去經(jīng)濟(jì)變動(dòng)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用回歸分析或時(shí)間序列分析等方法估計(jì)參數(shù)，進(jìn)而預(yù)測(cè)未來(lái)的值。狀態(tài)空間模型的特點(diǎn)是提出了“狀態(tài)”這一概念。而實(shí)際上，無(wú)論是工程控制問(wèn)題中出現(xiàn)的某些狀態(tài)（如導(dǎo)彈軌跡的控制問(wèn)題）還是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)所存在的某些狀態(tài)都是一種不可觀測(cè)的變量，正是這種觀測(cè)不到的變量反映了系統(tǒng)所具有的真實(shí)狀態(tài)，所以被稱為狀態(tài)向量。這種含有不可觀測(cè)變量的模型被稱為UC模型(UnobservableComponentModel)。2在一般的統(tǒng)計(jì)模型中出現(xiàn)的變量都是可以觀測(cè)到的，這些UC模型通過(guò)通常的回歸方程式來(lái)估計(jì)是不可能的，必須利用狀態(tài)空間模型來(lái)求解。狀態(tài)空間模型建立了可觀測(cè)變量和系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系，從而可以通過(guò)估計(jì)各種不同的狀態(tài)向量達(dá)到分析和觀測(cè)的目的。

EViews狀態(tài)空間對(duì)象對(duì)單方程或多方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)提供了一個(gè)直接的、易于使用的界面來(lái)建立、估計(jì)及分析方程結(jié)果。它提供了大量的建立、平滑、濾波及預(yù)測(cè)工具，幫助我們利用狀態(tài)空間形式來(lái)分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

3UC模型通過(guò)通常的回歸方程式來(lái)估計(jì)是不可能

利用狀態(tài)空間形式表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，狀態(tài)空間模型將不可觀測(cè)的變量(狀態(tài)變量)并入可觀測(cè)模型并與其一起得到估計(jì)結(jié)果；其次，狀態(tài)空間模型是利用強(qiáng)有效的遞歸算法——卡爾曼濾波來(lái)估計(jì)的?？柭鼮V波可以用來(lái)估計(jì)單變量和多變量的ARMA模型、MIMIC（多指標(biāo)和多因果）模型、馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型以及變參數(shù)模型。4利用狀態(tài)空間形式表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：背景介紹時(shí)間序列按統(tǒng)計(jì)特性可分為平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。在金融領(lǐng)域，大量的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)表明，大多數(shù)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，往往表現(xiàn)出明顯的趨勢(shì)性或周期性。因此研究非平穩(wěn)時(shí)間序列有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。傳統(tǒng)的非平穩(wěn)時(shí)間序列是以概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和頻譜分析等數(shù)學(xué)方法研究隨機(jī)數(shù)據(jù)序列所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，其建模方法主要有ARIMA模型法、季節(jié)性模型法和X一11法。5背景介紹時(shí)間序列按統(tǒng)計(jì)特性可分為平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列由于ARIMA模型法只考慮時(shí)間序列本身的特性，沒(méi)有考慮事物本身受許多不可預(yù)測(cè)的復(fù)雜因素影響，因此一些突然變化的因素在ARIMA模型只以隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)表示，這使其只在短期內(nèi)的預(yù)測(cè)結(jié)果能夠令人滿意;對(duì)于季節(jié)性模型法，當(dāng)確定其差分階數(shù)時(shí)，目前的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法只適用沒(méi)有季節(jié)波動(dòng)的ARIMA模型。狀態(tài)空間模型法一種時(shí)域方法，它建立了可觀測(cè)變量和系統(tǒng)內(nèi)部之間的關(guān)系，從而可以通過(guò)估計(jì)各種不同的狀態(tài)向量達(dá)到分析和預(yù)測(cè)的目的，因此狀態(tài)空間模型為非平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)提供了一種新的有效方法。背景介紹6由于ARIMA模型法只考慮時(shí)間序列本身的特性，沒(méi)有考慮事物本狀態(tài)空間模型是近40年發(fā)展起來(lái)的新興的數(shù)學(xué)分支，也是目前數(shù)學(xué)界和工程界討論最多的話題之一，并且己經(jīng)在通訊、信號(hào)處理、石油地震勘探、跟蹤、制導(dǎo)、故障診斷、圖像處理等眾多學(xué)科中得到了廣泛應(yīng)用，但在金融時(shí)間序列分析和建模中的應(yīng)用卻相對(duì)較少。但是近年來(lái)，狀態(tài)空間模型在金融時(shí)間序列分析中的重要地位己經(jīng)越來(lái)越受到人們普遍關(guān)注，如國(guó)家自然科學(xué)基金委“九五”重大項(xiàng)目《金融數(shù)學(xué)、金融工程、金融管理》的項(xiàng)目研究人員己經(jīng)開(kāi)始采用狀態(tài)空間模型對(duì)諸多金融問(wèn)題進(jìn)行深入的定量研究，這將為我國(guó)今后制定合理有效的資金運(yùn)作策略，規(guī)避一定的金融風(fēng)險(xiǎn)起到更為積極的作用。因而可見(jiàn)狀態(tài)空間模型在金融時(shí)間序列方面的應(yīng)用，是一個(gè)值得深入研究的課題。背景介紹7背景介紹7狀態(tài)空間方法的提出現(xiàn)代控制理論創(chuàng)始人之一R.E.Kalman于1960年在論文《ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblem》提出了狀態(tài)空間方法。狀態(tài)空間方法是一種時(shí)域方法，其中引入了狀態(tài)變量概念，用狀態(tài)方程描寫(xiě)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，用量測(cè)方程描寫(xiě)量測(cè)信息，由狀態(tài)方程和量測(cè)方程構(gòu)成狀態(tài)空間模型。8狀態(tài)空間方法的提出現(xiàn)代控制理論創(chuàng)始人之一R.E.Kalman狀態(tài)空間方法的應(yīng)用在國(guó)內(nèi)，1994年，顧嵐在自己的著作《時(shí)間序列分析在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用》中提到時(shí)間序列的狀態(tài)空間的研究方法。1998年，高紫光、路磊在“非平穩(wěn)時(shí)間序列的狀態(tài)空間建模與預(yù)測(cè)”的文章中給出結(jié)合Kalman濾波的狀態(tài)空間方法的一些理論介紹。2000年，任光和張均動(dòng)教授正式將現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間技術(shù)和時(shí)間序列分析相結(jié)合的時(shí)間序列狀態(tài)空間技術(shù)引入我國(guó)。他們從離散系統(tǒng)出發(fā)，從空間映射的角度系統(tǒng)地論述了整個(gè)建模過(guò)程，形成了比較完整和系統(tǒng)的時(shí)間序列的狀態(tài)空問(wèn)建模理論，并將該理論應(yīng)用到實(shí)際中。2001年，苗敬毅在文章“關(guān)于狀態(tài)空間方法中超參數(shù)估計(jì)的札記”中對(duì)狀態(tài)空間方法中超參數(shù)估計(jì)的基本思想進(jìn)行了論述，并對(duì)一般文獻(xiàn)中未詳細(xì)證明的部分給出了證明。9狀態(tài)空間方法的應(yīng)用在國(guó)內(nèi)，1994年，顧嵐在自己的著作《時(shí)間狀態(tài)空間方法的應(yīng)用2002年，于福江、張占海、林一弊在文章“一個(gè)穩(wěn)態(tài)Kalman濾波風(fēng)暴潮數(shù)值預(yù)報(bào)模式”中用迭代法得到狀態(tài)向量的穩(wěn)態(tài)Kalman濾波，進(jìn)而得到最優(yōu)線性校正結(jié)果利用這種資料同化技術(shù)，對(duì)1956年發(fā)生在東海的一次強(qiáng)風(fēng)暴潮過(guò)程進(jìn)行了后報(bào)試驗(yàn)，結(jié)果表明，該同化方法對(duì)短期風(fēng)暴潮水位后(預(yù))報(bào)有一定的改進(jìn)。2006年2月，仇偉杰在文章“基于狀態(tài)空間模型與KALMAN濾波的中國(guó)電力需求分析”中利用狀態(tài)空間模型和Kalman濾波技術(shù)預(yù)測(cè)了未來(lái)5年中國(guó)電力需求增長(zhǎng)狀況，取得很好的結(jié)果，對(duì)中國(guó)的電力工業(yè)未來(lái)的發(fā)展具有重要的指導(dǎo)意義。2006年8月，孫宏義、陳平、朱梅、陳建麗在“股票指數(shù)的時(shí)間序列模型分析”中將把與濾波結(jié)合的狀態(tài)空間模型的分析結(jié)果和常見(jiàn)的時(shí)間序列模型如:ARIMA模型、逐步自回歸模型以及指數(shù)平滑模型的分析結(jié)果進(jìn)行比較，比較的結(jié)果說(shuō)明結(jié)合濾波的狀態(tài)空間模型分析的結(jié)果比后三種的結(jié)果更加精確。10狀態(tài)空間方法的應(yīng)用2002年，于福江、張占海、林一弊在文章“近年來(lái)，出現(xiàn)了許多以狀態(tài)空間模型為框架的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，這種方法首先將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間，然后采用Kalman濾波對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行外推、內(nèi)插以及平滑，同時(shí)還可以利用Kalman濾波對(duì)模型的未知參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)，Kitagawa、Harvey、YoungP.C等都在這方面做出了貢獻(xiàn)。小結(jié)11近年來(lái)，出現(xiàn)了許多以狀態(tài)空間模型為框架的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，這狀態(tài)空間方法是一種時(shí)域方法，其中引入了狀態(tài)變量概念，用狀態(tài)方程描寫(xiě)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，用量測(cè)方程描寫(xiě)量測(cè)信息，其關(guān)鍵和核心思想是：(l)狀態(tài)變量概念的引入；(2)建立了描述狀態(tài)變化的模型一一狀態(tài)方程；(3)給出了對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行量測(cè)的量測(cè)方程。由狀態(tài)方程和量測(cè)方程構(gòu)成狀態(tài)空間模型。狀態(tài)空間模型是通過(guò)輔助變量來(lái)表示一個(gè)多元時(shí)間序列，這些輔助變量的某些部分可能不能直接觀測(cè)到，這些輔助變量稱為狀態(tài)向量。它概括了所有與時(shí)間序列將來(lái)值的預(yù)測(cè)值相關(guān)的時(shí)間序列的當(dāng)前和過(guò)去信息，量測(cè)的時(shí)間序列被表示成狀態(tài)向量的線性組合。狀態(tài)空間模型也被稱為多元時(shí)間序列過(guò)程的馬爾可夫表示，或典型表示。§1.1

狀態(tài)空間模型的定義

12狀態(tài)空間方法是一種時(shí)域方法，其中引入了狀態(tài)變量概念，用狀態(tài)方§1.1

狀態(tài)空間模型的定義

這里僅就如何定義并預(yù)測(cè)一個(gè)線性狀態(tài)空間模型做以簡(jiǎn)要的討論。狀態(tài)空間模型一般應(yīng)用于多變量時(shí)間序列。設(shè)

yt

是包含k個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的k1維可觀測(cè)向量。這些變量與m1維向量t有關(guān)，t被稱為狀態(tài)向量。定義“量測(cè)方程”(measurementequation)或稱“信號(hào)方程”(signalequation)為(1.1)其中：T表示樣本長(zhǎng)度，Zt

表示km矩陣，稱為量測(cè)矩陣，dt表示k1向量，ut表示k1向量，是均值為0，協(xié)方差矩陣為Ht的不相關(guān)擾動(dòng)項(xiàng)，即(1.2)13§1.1狀態(tài)空間模型的定義13

一般地，t的元素是不可觀測(cè)的，然而可表示成一階馬爾可夫(Markov)過(guò)程。下面定義轉(zhuǎn)移方程(transitionequation)或稱狀態(tài)方程(stateequation)為

(1.3)其中：Tt表示mm矩陣，稱為狀態(tài)矩陣，ct表示m1向量，Rt表示mg矩陣，t表示g1向量，是均值為0，協(xié)方差矩陣為Qt的連續(xù)的不相關(guān)擾動(dòng)項(xiàng)，即(1.4)量測(cè)方程和狀態(tài)方程的擾動(dòng)項(xiàng)的協(xié)方差矩陣用表示14一般地，t的元素是不可觀測(cè)的，然而可表

當(dāng)k

1時(shí)，變?yōu)閱巫兞磕Ｐ?，量測(cè)方程可以寫(xiě)為

(1.5)其中：Zt表示1m矩陣，t表示m1狀態(tài)向量，ut是方差為2的擾動(dòng)項(xiàng)。15當(dāng)k1時(shí)，變?yōu)閱巫兞磕Ｐ?，量測(cè)方

若使上述的狀態(tài)空間模型成立，還需要滿足下面兩個(gè)假定：

(1)初始狀態(tài)向量0的均值為a0，協(xié)方差矩陣為P0，即

(1.6)(2)在所有的時(shí)間區(qū)間上，擾動(dòng)項(xiàng)ut和t相互獨(dú)立，而且它們和初始狀態(tài)0也不相關(guān)，即

(1.7)且

(1.8)1616

量測(cè)方程中的矩陣Zt,dt,Ht與轉(zhuǎn)移方程中的矩陣Tt,ct,Rt,Qt統(tǒng)稱為系統(tǒng)矩陣。如不特殊指出，它們都被假定為非隨機(jī)的。因此，盡管它們能隨時(shí)間改變，但是都是可以預(yù)先確定的。對(duì)于任一時(shí)刻t，yt能夠被表示為當(dāng)前的和過(guò)去的ut和t及初始向量0的線性組合，所以模型是線性的。17量測(cè)方程中的矩陣Zt,dt,Ht

例1.1

一階移動(dòng)平均模型MA(1)

(1.9)其中：E(t)=0，var(t)=

2，cov(t,

t-s)=0,

通過(guò)定義狀態(tài)向量t=(yt,t)可以寫(xiě)成狀態(tài)空間形式

量測(cè)方程：(1.10)

狀態(tài)方程：(1.11)這種形式的特點(diǎn)是不存在量測(cè)方程噪聲。18例1.1一階移動(dòng)平均模型MA(1)

對(duì)于任何特殊的統(tǒng)計(jì)模型，狀態(tài)向量t

的定義是由結(jié)構(gòu)確定的。它的元素一般包含具有實(shí)際解釋意義的成分，例如趨勢(shì)或季節(jié)要素。狀態(tài)空間模型的目標(biāo)是，所建立的狀態(tài)向量t

包含了系統(tǒng)在時(shí)刻

t的所有有關(guān)信息，同時(shí)又使用盡可能少的元素。所以如果狀態(tài)空間模型的狀態(tài)向量具有最小維數(shù)，則稱為最小實(shí)現(xiàn)(MinimalRealization)。對(duì)一個(gè)好的狀態(tài)空間模型，最小實(shí)現(xiàn)是一個(gè)基本準(zhǔn)則。然而對(duì)于任一特殊問(wèn)題的狀態(tài)空間模型的表示形式卻不是惟一的，這一點(diǎn)很容易驗(yàn)證。19對(duì)于任何特殊的統(tǒng)計(jì)模型，狀態(tài)向量t的定義是由結(jié)

考慮通過(guò)定義一個(gè)任意的非奇異矩陣B，得到t*=Bt

，為新的狀態(tài)向量。用B矩陣左乘狀態(tài)方程(1.3)，得到

(1.12)式中Tt*=BTtB-1，ct*=Bct，Rt*=BRt

。相應(yīng)的量測(cè)方程是

(1.13)式中Zt*=ZtB-1

。20考慮通過(guò)定義一個(gè)任意的非奇異矩陣B，得到t*=B例1.2二階自回歸模型AR(2)(1.14)其中：E(ut)=0，var(ut)=

2，cov(ut,

ut-s)=0,考慮兩個(gè)可能的狀態(tài)空間形式(k=1,m=2)是

(1.15)

(1.16)換一種形式

(1.17)

21例1.2二階自回歸模型AR(2)21

系統(tǒng)矩陣Zt，Ht，Tt，Rt，Qt可以依賴于一個(gè)未知參數(shù)的集合。狀態(tài)空間模型的一個(gè)主要的任務(wù)就是估計(jì)這些參數(shù)，在例11.1的MA(1)模型中的參數(shù){,

2}和例11.2的AR(2)模型中的參數(shù){

1，

2，

2}是未知的，這些參數(shù)將通過(guò)

向量表示，并被稱為超參數(shù)（hyperparameters）。超參數(shù)確定了模型的隨機(jī)性質(zhì)，在ct和dt中出現(xiàn)的參數(shù)僅影響確定性的可觀測(cè)變量和狀態(tài)的期望值。在狀態(tài)空間模型中可以引入外生變量作為解釋變量，也可以引入yt的延遲變量，這些都可以放到dt中去。如果ct或dt是未知參數(shù)的一個(gè)線性函數(shù)，這些未知參數(shù)也可以作為狀態(tài)變量或者超參數(shù)的一部分元素。22系統(tǒng)矩陣Zt，Ht，Tt，Rt，Q

例1.3變參數(shù)模型

通常的回歸模型可用下式表示，即：其中：yt是因變量，xt是m1的解釋變量向量，是待估計(jì)的m1未知參數(shù)向量，ut是擾動(dòng)項(xiàng)。這種回歸方程式所估計(jì)的參數(shù)在樣本期間內(nèi)是固定的，可以采用普通最小二乘法(OLS)、工具變量法等計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的常用方法進(jìn)行估計(jì)。

23例1.3變參數(shù)模型2

實(shí)際上近年來(lái)，我國(guó)由于經(jīng)濟(jì)改革、各種各樣的外界沖擊和政策變化等因素的影響，經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)正在逐漸發(fā)生變化，而用固定參數(shù)模型表現(xiàn)不出來(lái)這種經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的變化，因此，需要考慮采用變參數(shù)模型(Time-varyingParameterModel)。下面利用狀態(tài)空間模型來(lái)構(gòu)造變參數(shù)模型。量測(cè)方程：狀態(tài)方程：

～24實(shí)際上近年來(lái)，我國(guó)由于經(jīng)濟(jì)改革、各種各樣的外

xt是具有隨機(jī)系數(shù)t

的解釋變量的集合，zt

是有固定系數(shù)

的解釋變量集合，隨機(jī)系數(shù)向量t

是對(duì)應(yīng)于例1.3中的狀態(tài)向量，稱為可變參數(shù)。變參數(shù)t

是不可觀測(cè)變量，必須利用可觀測(cè)變量

yt

和

xt來(lái)估計(jì)。假定變參數(shù)t

的變動(dòng)服從于AR(1)模型（也可以簡(jiǎn)單地?cái)U(kuò)展為AR(p)模型），擾動(dòng)向量

ut,t

假定為相互獨(dú)立的，且服從均值為0，方差為

2和協(xié)方差矩陣為

Q

的正態(tài)分布。25xt是具有隨機(jī)系數(shù)t的解釋變量的集

26

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§1.2卡爾曼濾波(KalmanFiltering)

當(dāng)一個(gè)模型被表示成狀態(tài)空間形式就可以對(duì)其應(yīng)用一些重要的算法求解。這些算法的核心是Kalman濾波。Kalman濾波是在時(shí)刻t基于所有可得到的信息計(jì)算狀態(tài)向量的最理想的遞推過(guò)程。在某些工程問(wèn)題中，狀態(tài)向量的當(dāng)前值具有重要影響(例如，它可以表示火箭在空間的坐標(biāo))。Kalman濾波的主要作用是：當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布時(shí)，能夠通過(guò)預(yù)測(cè)誤差分解計(jì)算似然函數(shù)，從而可以對(duì)模型中的所有未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并且當(dāng)新的觀測(cè)值一旦得到，就可以利用Kalman濾波連續(xù)地修正狀態(tài)向量的估計(jì)。27§1.2卡爾曼濾波(KalmanFilterin數(shù)據(jù)濾波是去除噪聲還原真實(shí)數(shù)據(jù)的一種數(shù)據(jù)處理技術(shù),Kalman濾波在測(cè)量方差已知的情況下能夠從一系列存在測(cè)量噪聲的數(shù)據(jù)中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài).由于,它便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn),并能夠?qū)ΜF(xiàn)場(chǎng)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)的更新和處理,Kalman濾波是目前應(yīng)用最為廣泛的濾波方法,在通信,導(dǎo)航,制導(dǎo)與控制等多領(lǐng)域得到了較好的應(yīng)用。28數(shù)據(jù)濾波是去除噪聲還原真實(shí)數(shù)據(jù)的一種數(shù)據(jù)處理技術(shù),Kalm卡爾曼濾波的基本思想在海圖作業(yè)中，航海長(zhǎng)通常以前一時(shí)刻的船位為基準(zhǔn)，根據(jù)航向、船速和還留等一系列因素推算下一個(gè)船位，但是他并不輕易認(rèn)為船位就一定在推算船位上，還要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄟ^(guò)儀器得到另一個(gè)推算船位。觀測(cè)和推算這兩個(gè)船位一般不重合，航海長(zhǎng)需要通過(guò)分析和判斷選擇一個(gè)可靠的船位，作為船艦當(dāng)前的位置。以K-1時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì)為準(zhǔn)，預(yù)測(cè)K時(shí)刻的狀態(tài)變量，同時(shí)又對(duì)該狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)，得到觀測(cè)變量，再在預(yù)測(cè)與觀測(cè)之間進(jìn)行分析，或者說(shuō)是以觀測(cè)量對(duì)預(yù)測(cè)量進(jìn)行修正，從而得到K時(shí)刻的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)。

29卡爾曼濾波的基本思想在海圖作業(yè)中，航海長(zhǎng)通常以前一時(shí)刻的船位

以下設(shè)YT表示在t=T

時(shí)刻所有可利用的信息的信息集合，即YT={yT,yT-1

,…,y1}

。狀態(tài)向量的估計(jì)問(wèn)題根據(jù)信息的多少分為3種類型：

(1)當(dāng)t>T

時(shí)，超出樣本的觀測(cè)區(qū)間，是對(duì)未來(lái)狀態(tài)的估計(jì)問(wèn)題，稱為預(yù)測(cè)（prediction）；

(2)當(dāng)t=T時(shí)，估計(jì)觀測(cè)區(qū)間的最終時(shí)點(diǎn)，即對(duì)現(xiàn)在狀態(tài)的估計(jì)問(wèn)題，稱為濾波（filtering）；

(3)當(dāng)t<T時(shí)，是基于利用現(xiàn)在為止的觀測(cè)值對(duì)過(guò)去狀態(tài)的估計(jì)問(wèn)題，稱為平滑（smoothing）。30以下設(shè)YT表示在t=T時(shí)刻所有可

進(jìn)一步，假定att-1和Ptt-1分別表示以利用到t-1為止的信息集合Yt-1為條件的狀態(tài)向量t的條件均值和條件誤差協(xié)方差矩陣，即

在這里假定系統(tǒng)矩陣Zt,Ht,Tt,Rt和Qt是已知的，設(shè)初始狀態(tài)向量

0的均值和誤差協(xié)方差矩陣的初值為a0和P0，并假定a0和P0也是已知的。31進(jìn)一步，假定att-1和Ptt-2.1Kalman濾波的一般形式

1．濾波

考慮狀態(tài)空間模型(1.1)和(1.3)，設(shè)at-1為狀態(tài)向量t-1的均值，也是基于信息集合Yt-1的t-1的估計(jì)量，Pt-1表示估計(jì)誤差的mm協(xié)方差矩陣，即

(2.1)322.1Kalman濾波的一般形式考慮狀態(tài)空Kalman濾波的初值可以按a0和P0或a10和P10指定。這樣，每當(dāng)?shù)玫揭粋€(gè)觀測(cè)值時(shí)，Kalman濾波提供了狀態(tài)向量的最優(yōu)估計(jì)。當(dāng)所有的T個(gè)觀測(cè)值都已處理，Kalman濾波基于信息集合YT

，產(chǎn)生當(dāng)前狀態(tài)向量和下一時(shí)間期間狀態(tài)向量的最優(yōu)估計(jì)。這個(gè)估計(jì)包含了產(chǎn)生未來(lái)狀態(tài)向量和未來(lái)觀測(cè)值的最優(yōu)預(yù)測(cè)所需的所有信息。33Kalman濾波的初值可以按a0和P2．平滑平滑（smoothing）(t=T-1,T-2,…,1)(2.10)(2.11)其中：aT|T,PT|T是平滑的初值，由Kalman濾波最后的迭代得到。

還可以計(jì)算得到y(tǒng)t的平滑估計(jì)和協(xié)方差矩陣342．平滑34

一步向前預(yù)測(cè)誤差向量

(2.14)

預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣由式(2.6)的Ft給定，即

(2.15)

由后面2.2節(jié)的論述可以知道條件均值是yt的最小均方誤差意義的最優(yōu)估計(jì)量(MMSE)。因此，可以利用式(2.13)，以及Kalman濾波公式(2.2)～(2.6)，對(duì)yt，t（t=T+1,T+2,…）進(jìn)行預(yù)測(cè)。35一步向前預(yù)測(cè)誤差向量352.2Kalman濾波的解釋和性質(zhì)

Kalman濾波的導(dǎo)出依賴于擾動(dòng)項(xiàng)和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布的假設(shè)。有了正態(tài)分布的假設(shè)，就能夠基于信息集合YT={yT,yT-1

,…,y1}

，利用Kalman濾波遞推地計(jì)算t的分布。這些條件分布自身也都服從正態(tài)分布，因此也就由它們的均值和協(xié)方差矩陣完全確定，這就是Kalman濾波計(jì)算的估計(jì)量。為了說(shuō)明t的條件均值是t在最小均方誤差意義下的一個(gè)最優(yōu)估計(jì)量，下面首先介紹均方誤差和最小均方估計(jì)的概念。362.2Kalman濾波的解釋和性質(zhì)361.均方誤差設(shè)z是隨機(jī)向量，已知樣本集合ZT={zT,zT-1

,…,z1}

，是基于ZT的z的任一估計(jì)量，則定義均方誤差（meansquareerror，MSE）為

(2.16)2.最小均方估計(jì)

設(shè)是基于ZT的z的任一估計(jì)量，是其中使均方誤差達(dá)到最小的z的估計(jì)量，即

(2.17)則稱為z的最小均方估計(jì)(mininummeansquareestimator，MMSE)。371.均方誤差37Kalman濾波以信息集Yt為條件，產(chǎn)生t的條件均值和方差

(2.18)(2.19)其中：數(shù)學(xué)期望算子下面的下標(biāo)t表示是關(guān)于Yt的條件期望。38Kalman濾波以信息集Yt為條件，產(chǎn)

設(shè)是以信息集Yt為條件的t的任一估計(jì)量，估計(jì)誤差可以被分為兩個(gè)部分

(2.20)

對(duì)式(2.20)兩端平方，并求期望值，經(jīng)過(guò)計(jì)算，由于混合乘積項(xiàng)為零，得到

(2.21)

在式(2.21)等號(hào)右邊的第一項(xiàng)是t的條件方差，由于var(tYt)0，且與估計(jì)量無(wú)關(guān)，因此要想使式(2.21)達(dá)到最小，只需在第二項(xiàng)取即可。也就是說(shuō)，t的最小均方估計(jì)(MMSE)就是由Kalman濾波所得到的條件均值at=E(tYt)，并且是惟一的。39設(shè)是以信息集Yt為條件的

當(dāng)狀態(tài)空間模型的擾動(dòng)項(xiàng)的分布不能滿足正態(tài)分布假定時(shí)，一般地，Kalman濾波所產(chǎn)生的估計(jì)量at不再是狀態(tài)向量t的條件均值，換句話說(shuō)，式(2.18)將不成立。但是如果限制估計(jì)量是觀測(cè)值的線性組合，即在所有線性估計(jì)范圍內(nèi)，at是具有最小均方誤差意義上的最優(yōu)估計(jì)量。此時(shí)稱at是基于信息集Yt的t的最小均方線性估計(jì)量(minimummeansquarelinearestimator，MMSLE)，估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣是由Kalman濾波給出的Pt矩陣。40當(dāng)狀態(tài)空間模型的擾動(dòng)項(xiàng)的分布不能滿足正態(tài)分布

進(jìn)一步地，上述關(guān)于狀態(tài)向量t的論述也可以類似地用來(lái)解釋yt基于信息集Yt–1的條件均值，用表示，即

(2.22)

在正態(tài)假定下，是yt在最小均方誤差意義下的最優(yōu)估計(jì)量(MMSE)，并且在不滿足正態(tài)假定時(shí)，是yt的最小均方線性估計(jì)量(MMSLE)。41進(jìn)一步地，上述關(guān)于狀態(tài)向量t的論述也可

預(yù)測(cè)誤差

(2.23)被稱為新息(innovations)，因?yàn)樗碓赮t-1的基礎(chǔ)上新觀測(cè)值yt所帶來(lái)的信息。從更新方程(2.4)中可以看出，新息vt對(duì)修正狀態(tài)向量的估計(jì)量起到了關(guān)鍵的作用。在正態(tài)假定下，根據(jù)是最小均方誤差意義下的最優(yōu)估計(jì)量，可以推斷vt的均值是零向量。進(jìn)一步地，從式(2.23)容易看出

(2.24)其中：Ft由式(2.6)給定。在不同的時(shí)間區(qū)間，新息vt是不相關(guān)的，即,(2.25)42預(yù)測(cè)誤差422.3修正的Kalman濾波遞推公式當(dāng)量測(cè)方程和轉(zhuǎn)移方程的擾動(dòng)項(xiàng)是相關(guān)的時(shí)候，需要修改Kalman濾波?？紤]具有量測(cè)方程和轉(zhuǎn)移方程的狀態(tài)空間形式

(2.26)(2.27)

假設(shè)(2.28)其中Gt是已知的g

k矩陣。量測(cè)方程和狀態(tài)方程的擾動(dòng)項(xiàng)的協(xié)方差矩陣用表示

432.3修正的Kalman濾波遞推公式43

注意當(dāng)量測(cè)方程和轉(zhuǎn)移方程的干擾項(xiàng)在同時(shí)點(diǎn)相關(guān)，在不同時(shí)點(diǎn)不相關(guān)時(shí)，Kalman濾波中的預(yù)測(cè)公式(2.2)，(2.3)不變，更新方程進(jìn)行如下修改：在(2.4)和式(2.5)中矩陣Ptt–1Zt

變?yōu)镻tt–1Zt+RtGt

，式(2.6)變?yōu)?/p>

(2.29)44注意當(dāng)量測(cè)方程和轉(zhuǎn)移方程的干擾項(xiàng)在同時(shí)點(diǎn)相關(guān)，2.4非時(shí)變模型及Kalman濾波的收斂性

在許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣Zt，dt，Ht，Tt，ct，Rt和Qt都是不依賴于時(shí)間變化的，這樣就可以寫(xiě)成不帶時(shí)間下標(biāo)的模型，稱為非時(shí)變模型。一般允許ct和dt是依時(shí)間變化的，于是狀態(tài)空間模型的量測(cè)方程(1.1)和轉(zhuǎn)移方程(1.3)就可以寫(xiě)為

(2.32)(2.33),(2.34)452.4非時(shí)變模型及Kalman濾波的收斂性

如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)移矩陣T的所有的特征根的模應(yīng)當(dāng)小于1，即

(2.35)且如果初始協(xié)方差矩陣P10是非負(fù)定的，則

(2.36)

獨(dú)立于P10，Pt+1t

呈指數(shù)地迅速收斂到。46如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)移矩陣T的所有的特2.5Kalman濾波的初始條件

(1)僅當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣T,方差矩陣P和Q是非時(shí)變的且滿足某些穩(wěn)定性條件，初始條件的求解才是可能的。如果初始條件的求解是可能的，可以利用關(guān)系式：

在更復(fù)雜的模型中給出求協(xié)方差矩陣初始條件P0的一種方法

(2.37)式中Vec()算子是把矩陣?yán)保幢硎揪仃嚨牧惺且涣薪又涣卸纬梢粋€(gè)向量，而運(yùn)算符表示克羅內(nèi)克積(kroneckerproduct)，I為單位矩陣。472.5Kalman濾波的初始條件47(2)如果初始條件的求解是不可能的，狀態(tài)將按擴(kuò)散先驗(yàn)處理。當(dāng)利用擴(kuò)散先驗(yàn)時(shí)，采用Koopman，Shephard和Doornik(1998)提出的方法將設(shè)置0=0和P0=

I

，這里

為一個(gè)任意的大數(shù)。如設(shè)

=106，然后通過(guò)乘以殘差協(xié)方差矩陣的最大的對(duì)角線元素調(diào)整P。48(2)如果初始條件的求解是不可能的，狀態(tài)§1.3狀態(tài)空間模型超參數(shù)的估計(jì)

在1.2節(jié)討論利用Kalman濾波遞推公式求狀態(tài)向量的估計(jì)量時(shí)，假定狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣Zt,Ht,Tt,Rt和Qt是已知的。但實(shí)際上系統(tǒng)矩陣是依賴于一個(gè)未知參數(shù)的集合，這些未知參數(shù)用向量

表示，并被稱為超參數(shù)。例如，在例1.1的一階移動(dòng)平均模型MA(1)中

=(,

2)′，在例1.2的二階自回歸模型AR(2)中

=(

1,

2,

2)′。本節(jié)對(duì)于狀態(tài)空間模型的量測(cè)方程(1.1)和狀態(tài)方程(1.3)中含有未知參數(shù)的情況，介紹超參數(shù)的估計(jì)方法。49§1.3狀態(tài)空間模型超參數(shù)的估計(jì)在1.

在許多問(wèn)題中，特別在關(guān)于正態(tài)分布的各種估計(jì)問(wèn)題中，極大似然法是最常用的方法，這主要表現(xiàn)在極大似然估計(jì)量常具有某些優(yōu)良的性質(zhì)。這里采用極大似然法估計(jì)未知的超參數(shù)。極大似然法的原理通常用于觀測(cè)值y1

,y2

,…,yT相互獨(dú)立且具有同樣分布的情形，此時(shí)它們的聯(lián)合概率函數(shù)被給定為

(3.1)其中：P(yt)是第t個(gè)觀測(cè)值的概率密度函數(shù)。L(y;

)是樣本y1

,y2

,…,yT的聯(lián)合概率密度函數(shù)。一旦得到樣本觀測(cè)值，L(y;

)就可以被解釋為似然函數(shù)，并且可以通過(guò)關(guān)于

求偏導(dǎo)數(shù)，使函數(shù)L(y;

)達(dá)到最大來(lái)求出

的極大似然估計(jì)。50在許多問(wèn)題中，特別在關(guān)于正態(tài)分布的各種估計(jì)問(wèn)

然而，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的一個(gè)重要特征是經(jīng)濟(jì)變量間是不獨(dú)立的，因此不能用式(3.1)，而是利用條件概率密度函數(shù)代替聯(lián)合概率密度函數(shù)將似然函數(shù)表示為

(3.2)其中：P(ytYt-1)表示yt以直到時(shí)刻t-1的信息集合為條件的條件分布，即Yt-1={yt-1,yt-2,…,y1}，P(

ytYt-1)=P(yty1,…,yt-1)。51然而，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的一個(gè)重要特征是經(jīng)濟(jì)變量間

在總體正態(tài)的假定之下，可以將式(3.2)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)直接寫(xiě)為

(3.3)其中

(3.4)

由前面2.2節(jié)的論述可以知道條件均值是yt的最小均方誤差意義的最優(yōu)估計(jì)量(MMSE)，所以k1向量vt可以作為一個(gè)預(yù)測(cè)誤差向量來(lái)解釋。因此(3.3)式有時(shí)也稱為似然函數(shù)形式的預(yù)測(cè)誤差分解。52在總體正態(tài)的假定之下，可以將式(3.2)的對(duì)

極大似然估計(jì)量的計(jì)算方法有許多種，有解析方法，也有數(shù)值解法。設(shè)=(1,2,…,n)是待求的未知參數(shù)向量，首先求極大似然估計(jì)的迭代公式。為求極大似然估計(jì)，需要求解

設(shè)是超參數(shù)向量的精確值，采用Taylor展開(kāi)式，取一次近似，并設(shè)表示參數(shù)空間上的任意一點(diǎn)，則可將lnL(y;)/表示成

53極大似然估計(jì)量的計(jì)算方法有許多種，有解析方法令其為0，可得

于是得到迭代公式其中：l=1,2,…，從某個(gè)初始設(shè)定的參數(shù)值(0)出發(fā)，進(jìn)行迭代過(guò)程：(1),

(2),

(3),…

。

54令其為0，可得54

求(l)

(l=1,2,…)，它的收斂值

為所求的極大似然估計(jì)。式中對(duì)數(shù)似然函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣

2lnL/

被稱為海塞(Hessian)矩陣，而對(duì)數(shù)似然函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)lnL/

被稱為得分向量或Jacobian向量。計(jì)算海塞(Hessian)矩陣的逆矩陣，計(jì)算量是很大的。計(jì)算方法有多種，近似的方法可節(jié)省時(shí)間但缺少嚴(yán)密性，而嚴(yán)密的方法又有計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)的缺點(diǎn)。55求(l)(l=1,2,…)，雙側(cè)數(shù)值微分被定義為：

而單側(cè)數(shù)值微分則由下式計(jì)算：

這里

logL是似然函數(shù)，s充分接近0，上述公式可達(dá)到任意精度。雙側(cè)導(dǎo)數(shù)更加精確，但它要對(duì)似然函數(shù)進(jìn)行的計(jì)算量大概是單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩倍，運(yùn)行時(shí)間上也是如此。

56雙側(cè)數(shù)值微分被定義為：而單側(cè)數(shù)值微分則由下式計(jì)算：56§1.4EViews軟件的相關(guān)操作

§1.4.1定義狀態(tài)空間模型

EViews可以處理大量的單方程和多方程狀態(tài)空間模型，提供了指定系統(tǒng)方程、協(xié)方差矩陣和初始條件控制的詳細(xì)方法。在定義和估計(jì)一個(gè)狀態(tài)空間模型時(shí)，第一步是創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間對(duì)象。從主菜單中選擇Objects/NewObject/Sspace，或在命令窗口鍵入命令sspace。EViews將創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間對(duì)象，并打開(kāi)一個(gè)空的狀態(tài)空間說(shuō)明窗口。57§1.4EViews軟件的相關(guān)操作57

有兩種方法定義一個(gè)狀態(tài)空間模型，最簡(jiǎn)單的方法就是利用EViews中的“自動(dòng)指定”功能引導(dǎo)狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式。這種方式只需在狀態(tài)空間過(guò)程Procs中選擇DefineStateSpace功能，就可以彈出定義對(duì)話框，指導(dǎo)創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間的過(guò)程。描述狀態(tài)空間模型的更一般方法是使用關(guān)鍵字和文本來(lái)描述量測(cè)方程、狀態(tài)方程、誤差結(jié)構(gòu)、初始條件和待估參數(shù)的初值。下面來(lái)介紹描述狀態(tài)空間對(duì)象的一般語(yǔ)法。58有兩種方法定義一個(gè)狀態(tài)空間模型，最簡(jiǎn)單的方法就是利

一、模型指定的語(yǔ)句

1.

量測(cè)方程

作為缺省，如果一個(gè)方程通過(guò)關(guān)鍵字“@SIGNAL”來(lái)明確定義，或沒(méi)有用關(guān)鍵字，EViews將把其作為量測(cè)方程處理。要注意以下幾點(diǎn)：（1）量測(cè)方程的因變量可以包含表達(dá)式。（2）量測(cè)方程右端中不能包含量測(cè)變量的當(dāng)期和未來(lái)值，包括出現(xiàn)在右端表達(dá)式的所有變量。在量測(cè)方程中任何滯后量測(cè)變量都被看作多步向前預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)值看待。（3）量測(cè)方程必須是同期狀態(tài)向量的線性方程。狀態(tài)向量的非線性或存在超前或滯后狀態(tài)變量將導(dǎo)致錯(cuò)誤的信息。（4）量測(cè)方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，也可以是這些元素的非線性形式。量測(cè)方程可以包含誤差或誤差方差指定的選項(xiàng)，如果方程中不包含誤差或誤差方差，方程是確定性的。狀態(tài)空間模型中誤差指定的詳細(xì)內(nèi)容參看后面的“誤差和方差”。59一、模型指定的語(yǔ)句59

例子：

下面是有效的量測(cè)方程的定義（注：下面量測(cè)方程中的sv1,sv2,sv3,sv4是狀態(tài)向量）

@signaly=sv1+sv2*x1+sv3*x2+sv4*y(-1)+[var=exp(c(1))]log(p)=sv1+c(1)+c(3)*x+sv2*yz=c(1)+sv1+sv2*x1+sv3*x2+[var=exp(c(2))]

下面是不正確的方程的指定：

@signaly=sv1*sv2*x1+[var=exp(c(1))]log(p)=c(1)+c(3)*x+sv1(-1)z=sv1+sv2*x1+c(3)*z(+1)+c(1)+[var=exp(c(2))]

因?yàn)樗鼈冎辽龠`背了上面描述條件中的一個(gè)條件（其順序是：狀態(tài)向量的非線性、狀態(tài)向量的滯后、量測(cè)向量的超前）。60例子：60

2.狀態(tài)方程

狀態(tài)方程的定義必須包含關(guān)鍵字“@STATE”，后面跟隨一個(gè)有效的狀態(tài)方程。必須注意以下幾點(diǎn)：

(1)每一個(gè)狀態(tài)方程必須有一個(gè)唯一的因變量名，不允許使用表達(dá)式。因?yàn)镋Views對(duì)狀態(tài)方程不能自動(dòng)建立工作文件序列。

(2)狀態(tài)方程中不能包含量測(cè)方程的因變量，或因變量的超前和滯后變量。

(3)每一個(gè)狀態(tài)方程必須是狀態(tài)變量一期滯后的線性方程。如果在狀態(tài)方程中存在狀態(tài)變量的非線性關(guān)系、同期、超前或多期滯后將產(chǎn)生錯(cuò)誤信息。需要強(qiáng)調(diào)的是，在狀態(tài)方程中一期滯后約束條件不是限定的，因?yàn)楦唠A的滯后被當(dāng)作新的狀態(tài)變量。

(4)狀態(tài)方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，可以是它們的非線性形式。在狀態(tài)方程中還包含誤差或誤差方差指定選項(xiàng)。如果在方程中不包含誤差或誤差方差，狀態(tài)方程被假定為確定的。關(guān)于狀態(tài)空間模型誤差結(jié)構(gòu)指定的詳細(xì)介紹參看后面的“誤差和方差”。612.狀態(tài)方程61

例子：

下面兩個(gè)狀態(tài)方程定義了一個(gè)服從AR(2)過(guò)程的不可觀測(cè)誤差:

@statesv1=c(2)*sv1(-1)+c(3)*sv2(-1)+[var=exp(c(5))]@statesv2=sv1(-1)

第一個(gè)關(guān)于sv1的方程，根據(jù)AR(1)的系數(shù)c(2)，和AR(2)的系數(shù)c(3)，確定AR(2)模型的參數(shù)。誤差方差的指定在方框中給出。sv2的狀態(tài)方程定義為變量sv1的一步滯后，所以sv2(-1)表示sv1的兩步滯后。下面是不正確的狀態(tài)方程：

@stateexp(sv1)=sv1(-1)+[var=exp(c(3))]@statesv2=log(sv2(-1))+[var=exp(c(3))]@statesv3=c(1)+c(2)*sv3(-2)+[var=exp(c(3))]

因?yàn)樗鼈冎辽龠`背了上面描述條件中的一個(gè)條件（其次序是：狀態(tài)方程因變量是表示式，狀態(tài)變量是非線性的，出現(xiàn)狀態(tài)變量的多期滯后）。

62例子：62

3.誤差與方差

在誤差項(xiàng)的處理中，狀態(tài)空間對(duì)象方程的指定在某種程度上是唯一的。EViews總是把一個(gè)隱含的誤差項(xiàng)加到一個(gè)方程或系統(tǒng)對(duì)象的各個(gè)方程中去。但如不特殊指定，狀態(tài)空間量測(cè)或狀態(tài)方程中不能包含誤差項(xiàng)。誤差項(xiàng)必須被加到（在方括號(hào)中）指定方程的后面。把一個(gè)誤差項(xiàng)加到狀態(tài)空間方程中最簡(jiǎn)單的方法是指定誤差項(xiàng)的方差。即加一個(gè)誤差表達(dá)式到已存在的方程中去。誤差表達(dá)式由關(guān)鍵字“var”和一個(gè)賦值語(yǔ)句組成（用方括號(hào)括起）。

@signaly=c(1)+sv1+sv2+[var=1]@statesv1=sv1(-1)+[var=exp(c(2))]@statesv2=c(3)+c(4)*sv2(-1)+[var=exp(c(2)*x)]

指定的方差可以是已知常數(shù)值，也可以是包含待估計(jì)未知參數(shù)的表達(dá)式。還可以在方差中使用序列表達(dá)式建立時(shí)變參數(shù)模型。633.誤差與方差63

這種方差的直接指定方法不允許不同方程的誤差之間存在相關(guān)關(guān)系。作為默認(rèn)，EViews假定誤差項(xiàng)之間的協(xié)方差為零。如果指定誤差項(xiàng)間存在相關(guān)關(guān)系，需要使用“命名誤差”方法指定它們間的關(guān)系?！懊`差”方法包括兩部分：

(1)首先，必須通過(guò)加一個(gè)由關(guān)鍵字“ename”后接等號(hào)和變量名的誤差表達(dá)式為方程中的殘差序列命名。

y=c(1)+sv1*x1+[ename=e1]@statesv1=sv1(-1)+[ename=e2]

(2)其次，需要鍵入由關(guān)鍵字“@evar”后接一個(gè)誤差的方差或兩個(gè)誤差之間的協(xié)方差的賦值語(yǔ)句。

@evarcov(e1,e2)=c(2)@evarvar(e1)=exp(c(3))@evarvar(e2)=exp(c(4))*x64這種方差的直接指定方法不允許不同方程的誤差之間存在相

可以在單個(gè)狀態(tài)空間方程中合并命名誤差和直接方差表達(dá)式：

@statesv1=sv1(-1)+[ename=e1,var=exp(c(3))]@evarcov(e1,e2)=c(4)@evar方程的語(yǔ)句結(jié)構(gòu)可以進(jìn)行自我辨別。簡(jiǎn)單的辨別有：該項(xiàng)是方差還是協(xié)方差，指定誤差，記入方差和協(xié)方差的指定。在每一個(gè)希望指定的命名誤差方差或協(xié)方差之間要分行指定。如果誤差項(xiàng)被命名，但沒(méi)有相應(yīng)的“var=”或@evar說(shuō)明，分別地，缺少的方差或協(xié)方差的默認(rèn)值為“NA”或“0”。用“ename=”語(yǔ)句定義的誤差項(xiàng)只能存在于@evar賦值語(yǔ)句中，而不能直接進(jìn)入狀態(tài)或量測(cè)方程中。65可以在單個(gè)狀態(tài)空間方程中合并命名誤差和直接方差表達(dá)式

例zt1模型指定的例子—可變參數(shù)的邊際消費(fèi)傾向由于我國(guó)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生改變，經(jīng)濟(jì)變量影響關(guān)系也可能發(fā)生改變。例3.9中經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的確存在顯著的結(jié)構(gòu)改變。因此，本例構(gòu)造消費(fèi)方程的變參數(shù)模型，設(shè)cs=CS/CPI，inc=YD/CPI，CS代表名義居民消費(fèi)，YD代表名義居民可支配收入，CPI代表1978年為1的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，樣本區(qū)間為1978～2006年。依據(jù)式(4.2)～式(4.4)，采用量測(cè)方程和狀態(tài)方程誤差協(xié)方差g0的模型形式，狀態(tài)空間模型為：66例zt1模型指定的例子—可變參數(shù)的邊際消費(fèi)傾向66

量測(cè)方程：

(11.29)

狀態(tài)方程：

(11.30)

～(11.31)按前面的規(guī)則在空白的文本窗口上直接鍵入如下語(yǔ)句：

@signalcsp=c(1)+sg1*inc+[var=exp(c(2))]@statesg1=c(3)+c(4)*sg1(-1)+[var=exp(c(5))]

paramc(1)449.07c(2)10.02c(3)0.092c(4)0.877c(5)-11.02

其中量測(cè)方程中的是c(1)，狀態(tài)方程的一階自回歸的系數(shù)0，1是c(3)和c(4)，模型的方差u2，2由參數(shù)ec(2)，ec(5)確定，方差被限制為參數(shù)的非負(fù)函數(shù)，協(xié)方差g=0。67量測(cè)方程：67

也可以寫(xiě)成下面的形式，當(dāng)協(xié)方差g

0時(shí),要這樣寫(xiě):

@signalcsp=c(1)+sc1*inc+[ename=e1]@statesc1=c(3)+c(4)*sc1(-1)+[ename=e2]@evarvar(e1)=exp(c(2))@evarvar(e2)=exp(c(5))@evarcov(e1,e2)=c(6)

paramc(1)449.07c(2)10.02c(3)0.092c(4)0.877c(5)-11.02c(6)0.668也可以寫(xiě)成下面的形式，當(dāng)協(xié)方差g0

4.指定未知參數(shù)（超參數(shù)）的初始值協(xié)方差

g=0的例子中c(1),c(2)

的初值可以通過(guò)建立回歸方程:csp=449.07+0.51*inc確定為c(1)=449.07,求方程的殘差平方和(RSS/T)作為方差的估計(jì)值，其對(duì)數(shù)為c(2)=log(653539.2/29)=10.02，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，狀態(tài)方程的初值c(3),c(4),c(5)可先給為0.1,0.9,-9。如果不指定EViews將用系數(shù)向量c的當(dāng)前值初始化所有參數(shù)。可以通過(guò)指定中使用@PARAM語(yǔ)句來(lái)明確指定合適的參數(shù)值，例：

paramc(1)449.07c(2)10.02c(3)0.092c(4)0.877c(5)-11.02694.指定未知參數(shù)（超參數(shù)）的初始值69

5.指定狀態(tài)向量和方差矩陣的初始條件

缺省時(shí)，EViews將自動(dòng)處置初始條件。對(duì)一些平穩(wěn)模型，其穩(wěn)定狀態(tài)條件使我們能夠解出0和P0的值。當(dāng)不能解出初始條件時(shí)，EViews將把初始值處理為擴(kuò)散先驗(yàn)的，設(shè)置0=0，給P0一個(gè)任意大的正數(shù)乘單位矩陣代表其值的不確定性?？赡苡?和P0的先驗(yàn)信息，這樣，可以使用關(guān)鍵字@mprior或@vprior創(chuàng)建一個(gè)包含適當(dāng)值的向量或矩陣。向量對(duì)象的長(zhǎng)度必須與狀態(tài)空間的維數(shù)相匹配。其元素的順序要與指定窗口中狀態(tài)向量的順序相一致。

@mpriorv1@vpriorm1705.指定狀態(tài)向量和方差矩陣的初始條件70

例如，假設(shè)有一個(gè)2個(gè)方程的狀態(tài)空間模型，要設(shè)置狀態(tài)向量與狀態(tài)向量方差矩陣的初值如下：，（1.32）

首先，創(chuàng)建一個(gè)向量對(duì)象，命名為a0，輸入初始值。再創(chuàng)建一個(gè)矩陣對(duì)象，命名為P0，輸入初始值。然后在編輯狀態(tài)空間模型指定窗口，可以把下面兩行加到狀態(tài)空間對(duì)象中去：

@mpriora0@vpriorp071例如，假設(shè)有一個(gè)2個(gè)方程的狀態(tài)空間模型，要設(shè)

二、自動(dòng)指定狀態(tài)空間模型

為了幫助創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間模型，EViews提供了一個(gè)“自動(dòng)指定”工具欄，可以在對(duì)話框中為模型創(chuàng)建一個(gè)文本表示。如果模型是具有固定參數(shù)、遞歸參數(shù)、及不同的隨機(jī)系數(shù)，或者誤差項(xiàng)有一般ARMA結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)回歸模型，這個(gè)工具是非常有用的。在狀態(tài)空間過(guò)程procs中，選擇Procs/DefineStateSpace。EViews將打開(kāi)一個(gè)三標(biāo)簽的對(duì)話框。第一個(gè)標(biāo)簽對(duì)話框BasicRegression被用來(lái)描述模型的基本回歸部分。鍵入因變量和帶有固定或遞歸系數(shù)的回歸變量。在建立指定時(shí)EViews使用系數(shù)對(duì)象代表未知參數(shù)。在底部，可以指定誤差項(xiàng)一個(gè)ARMA結(jié)構(gòu)。在這里，我們?yōu)樯厦娴睦又付ㄒ粋€(gè)說(shuō)明。72二、自動(dòng)指定狀態(tài)空間模型72

7373

第二個(gè)標(biāo)簽對(duì)話框StochasticRegressors被用來(lái)加帶有隨機(jī)系數(shù)的回歸變量。在四個(gè)編輯區(qū)域中鍵入合適的回歸變量。EViews定義具有如下五項(xiàng)組合的回歸變量：無(wú)系數(shù)、固定均值系數(shù)、AR(1)系數(shù)、隨機(jī)游動(dòng)系數(shù)、帶有漂移的隨機(jī)游動(dòng)系數(shù)。例zt1是AR(1)系數(shù)的形式。74第二個(gè)標(biāo)簽對(duì)話框StochasticRegres

最后，EViews允許選擇狀態(tài)空間模型的基本方差結(jié)構(gòu)。點(diǎn)擊第三個(gè)標(biāo)簽對(duì)話框VarianceSpecification，為量測(cè)方程或狀態(tài)方程選擇方差矩陣類型：?jiǎn)挝痪仃嚕↖dentity）、共同對(duì)角矩陣（CommonDiagonal，對(duì)角元素是共同的方差）、一般對(duì)角矩陣（Diagonal）、無(wú)限制矩陣（Unrestricted）。對(duì)話框還允許為量測(cè)方程和狀態(tài)方程選擇非零的誤差協(xié)方差陣。

75最后，EViews允許選擇狀態(tài)空間模型的基

需要強(qiáng)調(diào)指出的是，狀態(tài)空間模型可以不必被對(duì)話框提供的選擇限制。如果發(fā)現(xiàn)自動(dòng)指定對(duì)話框的限制了模型指定，可以簡(jiǎn)單地使用它建立一個(gè)基本的指定，然后利用更一般的文本工具描述模型。7676

三、估計(jì)狀態(tài)空間模型

一旦已經(jīng)指定了一個(gè)狀態(tài)空間模型，并且驗(yàn)證模型定義是正確的，打開(kāi)估計(jì)對(duì)話框估計(jì)模型，點(diǎn)擊工具菜單的Estimate按鈕或者選擇Procs/Estimate…。

和其他估計(jì)對(duì)象一樣，EViews允許選擇估計(jì)樣本區(qū)間，循環(huán)的最大次數(shù)，收斂值，估計(jì)算法，導(dǎo)數(shù)計(jì)算設(shè)置和是否顯示初始值。對(duì)大部分問(wèn)題，缺省設(shè)置提供一個(gè)好的初始設(shè)置。77三、估計(jì)狀態(tài)空間模型77

在進(jìn)行模型估計(jì)時(shí)要注意下面兩點(diǎn)：

(1)盡管EViews中卡爾曼濾波程序可以自動(dòng)處理樣本中的缺省值，但EViews要求估計(jì)樣本必須是連續(xù)的，連續(xù)的觀測(cè)值之間不能有缺口。

(2)如果模型定義中有未知系數(shù)，為用卡爾曼濾波估計(jì)狀態(tài)空間模型，需要指定初值。

78在進(jìn)行模型估計(jì)時(shí)要注意下面兩點(diǎn)：78

在選擇各選項(xiàng)并點(diǎn)擊OK以后，EViews在狀態(tài)空間窗口顯示協(xié)方差g=0時(shí)的估計(jì)結(jié)果(方程記為ss_g):79在選擇各選項(xiàng)并點(diǎn)擊OK以后，EViews在狀態(tài)空間

協(xié)方差g

0時(shí)的估計(jì)結(jié)果(方程記為ss_c):80協(xié)方差g0時(shí)的估計(jì)結(jié)果(方程記為ss_c):8§4.2

狀態(tài)空間模型的視窗和過(guò)程

EViews提供了一系列專門(mén)的工具用來(lái)指定和檢驗(yàn)狀態(tài)空間模型。與其他的估計(jì)對(duì)象相比較，狀態(tài)空間對(duì)象提供了附加的視窗和過(guò)程來(lái)檢驗(yàn)估計(jì)結(jié)果，處理推斷和指定檢驗(yàn)，并且提取結(jié)果到其他EViews對(duì)象中去。81§4.2狀態(tài)空間模型的視窗和過(guò)程81一、視窗（View）

1.模型定義視窗（Specification）狀態(tài)空間模型是比較復(fù)雜的。為了幫助檢驗(yàn)?zāi)Ｐ投x，EViews提供了視窗功能，允許在交互方式下查看模型文本定義，系數(shù)和協(xié)方差定義。點(diǎn)擊View菜單選擇Specification…，不管狀態(tài)空間模型是否被估計(jì)，下面的指定窗口都可以被使用。82一、視窗（View）82

(1)文本窗口

這是一個(gè)常見(jiàn)的模型指定的文本視窗。當(dāng)創(chuàng)建或編輯狀態(tài)空間模型指定時(shí)，可以使用這個(gè)窗口。文本窗口也可以通過(guò)點(diǎn)擊狀態(tài)空間工具欄的Spec按鈕進(jìn)入。

(2)系數(shù)描述

狀態(tài)空間模型指定結(jié)構(gòu)的文本描述。左邊的變量yt

和t

被表示為狀態(tài)向量和殘差項(xiàng)的線性函數(shù)。矩陣的元素是相應(yīng)的系數(shù)。例如，例1模型的系數(shù)描述視圖如下：

(3)協(xié)方差描述

狀態(tài)空間模型協(xié)方差矩陣的文本描述。例如，例11.3模型有下面的協(xié)方差描述視圖。

83(1)文本窗口這是一個(gè)常見(jiàn)的模型指定

(4)系數(shù)值

用當(dāng)前參數(shù)估計(jì)的量測(cè)方程和狀態(tài)方程結(jié)構(gòu)的數(shù)字描述。如果系統(tǒng)矩陣是時(shí)變的，EViews將提示對(duì)矩陣估計(jì)選擇一個(gè)日期/觀測(cè)值。

(5)協(xié)方差值

用當(dāng)前參數(shù)估計(jì)的狀態(tài)空間模型指定結(jié)構(gòu)的數(shù)值描述。如果系數(shù)協(xié)方差矩陣是時(shí)變參數(shù)的，EViews將提示對(duì)矩陣估計(jì)選擇日期/觀測(cè)值。

2.估計(jì)結(jié)果（EstimationOutput）還可以點(diǎn)擊系統(tǒng)工具條的“Stats”，顯示估計(jì)結(jié)果。

3.梯度視窗（GradientsandDerivatives）

和其他的估計(jì)對(duì)象視窗相似，如狀態(tài)空間包含待估參數(shù)，該視窗提供了被估計(jì)參數(shù)（已估計(jì)）的對(duì)數(shù)似然估計(jì)的梯度的簡(jiǎn)要可視信息或當(dāng)期參數(shù)值。84(4)系數(shù)值用當(dāng)前參數(shù)估計(jì)的量測(cè)方程

4.實(shí)際值、擬合值和殘差(Actual,Predicted,ResidualGraph)用圖表的方式顯示量測(cè)方程因變量實(shí)際值yt

和一步向前擬合值，和一步向前標(biāo)準(zhǔn)殘差。

5.估計(jì)系數(shù)協(xié)方差矩陣(CoefficientCovarianceMatrix)

6.Wald檢驗(yàn)(WaldCoefficientTests)

允許做估計(jì)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。

7.Label視窗

允許為狀態(tài)空間對(duì)象做注釋。注意，除了Label和模型定義（Specificatio