甘肅省武威市高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 新人教A必修1

3.1

函數(shù)與方程整理ppt(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使

的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn).(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與

有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有

.(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得

，這個(gè)

也就是方程f(x)＝0的根.1.函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)梳理f(x)＝0x軸零點(diǎn)f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c整理ppt對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近

，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.2.二分法f(a)·f(b)<0一分為二零點(diǎn)整理ppt3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)

無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

(x1,0)，(x2,0)(x1,0)210整理ppt1.有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).2.三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).知識(shí)拓展整理ppt判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).(

)(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(

)(3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.(

)(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).(

)(5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).(

)思考辨析×××√√整理ppt

1.(教材改編)函數(shù)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3考點(diǎn)自測(cè)答案解析f(x)是增函數(shù)，又f(0)＝－1，f(1)＝

，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).整理ppt

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是A.y＝cosx B.y＝sinxC.y＝lnx D.y＝x2＋1答案解析由于y＝sinx是奇函數(shù)；y＝lnx是非奇非偶函數(shù)；y＝x2＋1是偶函數(shù)但沒(méi)有零點(diǎn)；只有y＝cosx是偶函數(shù)又有零點(diǎn).整理ppt

3.(2016·吉林長(zhǎng)春檢測(cè))函數(shù)f(x)＝lnx＋x－

－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A.(，1) B.(1,2) C.(2，e) D.(e,3)答案解析所以f(2)f(e)<0，整理ppt4.函數(shù)f(x)＝2x|log0.5

x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.答案解析2由圖象知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).整理ppt5.函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案解析∵函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得f(－1)f(1)<0，整理ppt題型分類深度剖析整理ppt

題型一函數(shù)零點(diǎn)的確定命題點(diǎn)1確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間例1

(1)(2017·長(zhǎng)沙調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝lnx－

的零點(diǎn)為x0，則x0所在的區(qū)間是A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案解析∴x0∈(2,3)，故選C.整理ppt(2)(2016·濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝()x－2的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________.答案解析(1,2)易知f(x)為增函數(shù)，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的區(qū)間是(1,2).整理ppt命題點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷答案解析例2

(1)函數(shù)f(x)＝

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____.2當(dāng)x≤0時(shí)，令x2－2＝0，解得x＝(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).又因?yàn)閒(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.整理ppt

(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.多于4 B.4 C.3 D.2答案解析由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如圖，觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個(gè)零點(diǎn).整理ppt思維升華(1)確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：①解方程法；②零點(diǎn)存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；③數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).整理ppt

跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知函數(shù)f(x)＝

－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4，＋∞)答案解析因?yàn)閒(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,4).整理ppt

(2)函數(shù)f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.4 B.5 C.6 D.7答案解析由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16].由于cos(＋kπ)＝0(k∈Z)，而在

＋kπ(k∈Z)的所有取值中，故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1＋5＝6.整理ppt

題型二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用例3

(1)函數(shù)f(x)＝2x－

－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)答案解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x－

－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－

－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.整理ppt(2)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.答案解析(0,1)∪(9，＋∞)設(shè)y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐標(biāo)系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖象如圖所示.由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1＝|x2＋3x|與y2＝a|x－1|的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由圖象得a>0，∴0<a<1或a>9.幾何畫(huà)板展示整理ppt引申探究本例(2)中，若f(x)＝a恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是________.答案解析作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的圖象如右：當(dāng)x＝0或x＝－3時(shí)，y1＝0，整理ppt思維升華已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法(1)步驟：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式(組)；③解不等式(組)，即得參數(shù)的取值范圍.(2)方法：常利用數(shù)形結(jié)合法.整理ppt跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2016·棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_______.答案解析(－2,0)∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，∴函數(shù)y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域?yàn)?0,2)，∴0<－a<2，∴－2<a<0.整理ppt(2)(2015·湖南)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.答案解析(0,2)由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.則當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn).幾何畫(huà)板展示整理ppt題型三二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例4

已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答方法一設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.方法二函數(shù)圖象大致如圖，則有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2,1).整理ppt思維升華解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題：(1)利用一元二次方程的求根公式；(2)利用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.整理ppt跟蹤訓(xùn)練3

(2016·臨沂一模)若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是_______.答案解析整理ppt典例

(1)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.(2)若關(guān)于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______________.(1，＋∞)

利用轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題思想與方法系列4答案解析思想方法指導(dǎo)(1)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)范圍.(2)“a＝f(x)有解”型問(wèn)題，可以通過(guò)求函數(shù)y＝f(x)的值域解決.幾何畫(huà)板展示整理ppt(1)函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程ax－x－a＝0有兩個(gè)根，即函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝x＋a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0<a<1時(shí)，圖象如圖①所示，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a>1時(shí)，圖象如圖②所示，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，＋∞).整理ppt返回整理ppt課時(shí)作業(yè)整理ppt1.設(shè)f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)√12345678910111213答案解析∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函數(shù)f(x)＝lnx＋x－2的圖象是連續(xù)的，∴f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).整理ppt123456789101112132.(2016·濰坊模擬)已知函數(shù)

則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為√當(dāng)x≤1時(shí)，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；又因?yàn)閤>1，所以此時(shí)方程無(wú)解.綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0，故選D.答案解析整理ppt123456789101112133.已知三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b√答案解析整理ppt故f(x)＝2x＋x的零點(diǎn)a∈(－1,0).∵g(2)＝0，∴g(x)的零點(diǎn)b＝2；方法二由f(x)＝0得2x＝－x；由h(x)＝0得log2x＝－x，作出函數(shù)y＝2x，y＝log2x和y＝－x的圖象(如圖).由圖象易知a<0,0<c<1，而b＝2，故a<c<b.12345678910111213整理ppt123456789101112134.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個(gè)數(shù)是A.1 B.2 C.3 D.4√答案解析(數(shù)形結(jié)合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn).整理ppt5.已知函數(shù)

則使方程x＋f(x)＝m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(1,2) B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(－∞，1]∪[2，＋∞)√答案解析當(dāng)x≤0時(shí)，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；當(dāng)x>0時(shí)，x＋f(x)＝m，即x＋

＝m，解得m≥2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]∪[2，＋∞).故選D.12345678910111213整理ppt123456789101112136.已知x∈R，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(x)＝

－a(x≠0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.答案解析整理ppt12345678910111213整理ppt7.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－2和3，則不等式af(－2x)>0的解集是___________.答案解析∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0?2x2＋x－3<0，12345678910111213整理ppt123456789101112138.已知函數(shù)

若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是____________________.答案解析(－∞，0)∪(1，＋∞)令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝b有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象(圖略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).整理ppt12345678910111213答案解析整理ppt因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，12345678910111213整理ppt12345678910111213*10.(2016·衡水期中)若a>1，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點(diǎn)為m，函數(shù)g(x)＝logax＋x－4的零點(diǎn)為n，則

的最小值為_(kāi)_____.答案解析1整理ppt設(shè)F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，則h(x)與F(x)，G(x)的交點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為m，n(m>0，n>0).因?yàn)镕(x)與G(x)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.又因?yàn)閥＝x和h(x)＝4－x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，12345678910111213整理ppt12345678910111213解答(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；如圖所示.整理ppt故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù).解答12345678910111213整理ppt12345678910111213(3)若方程f(x)＝m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍.解答由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)0<