2021-2022學(xué)年上海市西南位育中學(xué)高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市西南位育中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在中，，則這個三角形的形狀為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【詳解】解：2．為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位【答案】D【分析】函數(shù)可變?yōu)?，再根?jù)左右平移原理即可得出答案.【詳解】解：由函數(shù)，則為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向左平移個單位即可.故選：D.3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，設(shè)，從到時（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】計算出，結(jié)合的表達式可得出結(jié)果.【詳解】因為，則，即.故選：B.4．關(guān)于問題：“函數(shù)的最大、最小值與數(shù)列的最大、最小項”，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)有最大、最小值，數(shù)列有最大、最小項B．函數(shù)有最大、最小值，數(shù)列無最大、最小項C．函數(shù)無最大、最小值，數(shù)列有最大、最小項D．函數(shù)無最大、最小值，數(shù)列無最大、最小項【答案】C【分析】先求出定義域，再對定義域上的函數(shù)最值進行分析即可.其實就是函數(shù)的定義域為正整數(shù)集的函數(shù).【詳解】，定義域為，所以且在和上單調(diào)遞減，故AB錯誤；此時有：，故最小，最大；所以函數(shù)無最大、最小值，數(shù)列有最大、最小項.故選：C.二、填空題5．若，則____________【答案】.【分析】最簡三角方程公式的應(yīng)用【詳解】根據(jù)的解為：知：本題要求，則。故答案為：6．已知，則________【答案】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式計算可得；【詳解】解：因為，所以故答案為：7．已知，則_____________【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】因為，所以，,所以.故答案為：8．函數(shù)的定義域是_________【答案】【分析】根據(jù)反余弦函數(shù)的定義即得.【詳解】因為函數(shù)所以，即函數(shù)的定義域是.故答案為：.9．方程的解是_________【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期及特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】因為，所以，解得，故答案為：10．已知數(shù)列首項為2，且，則__________【答案】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得等比數(shù)列，求通項公式即可.【詳解】由可得，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，故答案為：11．等差數(shù)列中，若，則_________【答案】180【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再計算即得.【詳解】因為等差數(shù)列中，，所以，所以.故答案為：.12．等差數(shù)列的首項，公差，則使數(shù)列的前項和最大的正整數(shù)的值是__________【答案】5【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因為等差數(shù)列的首項，公差，所以，所以時，數(shù)列的前項和最大.故答案為：5.13．若一無窮等比數(shù)列各項和為2，則首項的范圍為_____．【答案】且【分析】設(shè)公比為，利用公式可求無窮等比數(shù)列各項和，利用可求的范圍.【詳解】設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，因為無窮等比數(shù)列各項和為2，故且，此時無窮等比數(shù)列各項和為，故，所以，故，故且.故答案為：且.【點睛】本題考查無窮等比數(shù)列的各項和，注意只有當(dāng)公比時，無窮等比數(shù)列才會有和且和為，本題屬于中檔題.14．已知數(shù)列，其前項和為，則_______【答案】.【分析】先用裂項相消法求出，再求其極限即可.【詳解】，.故答案為：15．對一切實數(shù)，令為不大于的最大整數(shù)，若，為數(shù)列的前項和，則_______【答案】100【分析】根據(jù)題意可得，然后根據(jù)條件及求和公式即得.【詳解】因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；，所以．故答案為：100.16．已知定義在整數(shù)集合上的函數(shù)，對任意的，都有且，則_______【答案】0【分析】由題可得函數(shù)的周期為，然后根據(jù)賦值法可得，的值，進而即得.【詳解】因為對任意的，都有且，令得，∴，∴，，即，所以，即的周期為，且，，令得，即，令得，所以，，即0.故答案為：0.17．已知函數(shù).若存在，使得，則的最小值為__________.【答案】【分析】利用和差化積公式來處理，得到等號成立時需要滿足的條件，進而求得其最小值?！驹斀狻克裕?，故等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，又因為，所以的最小值為。【點睛】此題考查三角函數(shù)的運算，屬于中檔題。18．已知，，則的最大值等于__________【答案】4【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分類討論去掉絕對值號，利用相加相消法求出和，由三角函數(shù)的最值求最大值即可.【詳解】因為，，所以存在，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，此時，則，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時，，同理可得，所以即的最大值等于4.故答案為：419．無窮數(shù)列有個不同的數(shù)組成，為的前項和，若對任意，則的最大值為____________【答案】3【分析】根據(jù)集合與元素的關(guān)系，數(shù)列中與的關(guān)系求解即可.【詳解】∵對任意,∴，∴或，當(dāng)時,，∴可能的值只有0，1，?1，三種情況，故數(shù)列{an}最多有0，1，?1，3個數(shù)字組成，故答案為：3.20．設(shè)的內(nèi)角所對的邊為,則下列命題正確的是_____．①若，則；

②若，則；③若，則；

④若，則．【答案】①②③．【分析】利用余弦定理、三角形的性質(zhì)及基本不等式等知識，對選項逐一證明或找反例，從而得出正確選項.【詳解】解：選項①：因為的內(nèi)角所對的邊為所以當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”，因為，故，因為函數(shù)在為單調(diào)減函數(shù)，所以，故選項①正確；選項②：因為，所以，即，故，所以，因為函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，所以，故選項②正確；選項③：假設(shè)，則，即，所以（1），因為，所以，故，同理，對（1）式兩邊同時乘以得，，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即成立，故選項③正確；選項④：取，故，滿足，而，故為銳角，不能滿足，故選項④錯誤.故本題的正確選項為①②③．【點睛】本題考查了余弦定理、反證法、基本不等式等知識，熟練掌握定理及公式是解題的關(guān)鍵.21．設(shè)數(shù)列是首項為0的遞增數(shù)列，函數(shù)滿足：對于任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，則的通項公式是________．【答案】【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式和數(shù)列的遞推公式，可得，再利用“累加”法和等差數(shù)列的前n項和公式，即可求解．【詳解】由題意，因為，當(dāng)時，，又因為對任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，所以，所以，又，對任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，所以，又，對任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案為．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及誘導(dǎo)公式，數(shù)列的遞推關(guān)系式和“累加”方法等知識的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．三、解答題22．已知函數(shù)(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求的值域【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）由三角恒等變換公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解，【詳解】（1），由，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）當(dāng)時，，則，的值域為23．已知數(shù)列滿足(1)求出項，并由此猜想的通項公式(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明的通項公式【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此猜想，（2）結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證得猜想通項公式正確即可.【詳解】（1）依題意，所以，由此猜想.（2）當(dāng)時，，成立.假設(shè)當(dāng)時成立，即成立.則當(dāng)時，，成立.綜上所述，對任意正整數(shù)都成立.24．如圖，某地計劃在一海灘處建造一個養(yǎng)殖場，射線為海岸線，，現(xiàn)用長度為1千米的網(wǎng)依托海岸線圍成一個的養(yǎng)殖場(1)已知，求的長度(2)問如何選取點，才能使得養(yǎng)殖場的面積最大，并求其最大面積【答案】(1)千米；(2)千米時，取得最大值平方千米.【分析】（1）運用正弦定理可求出的長度；（2）根據(jù)面積公式和余弦定理可求.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，代入數(shù)據(jù)得解之：千米；（2）在中，由余弦定理可得令可得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取得又千米時，取得最大值平方千米.25．已知等比數(shù)列首項為1，公比為，為數(shù)列的前項和(1)求(2)求【答案】(1)(2)時，，時，【分析】（1）分與討論，利用等比數(shù)列的求和分別寫出即可；（2）對分類討論，分別求出極限即可.【詳解】（1）由等比數(shù)列求和公式，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，.（2）由（1）知，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，綜上，時，，時，.26．已知數(shù)列的前項和為，對任意都有成立，且.(1)求數(shù)列的通項公式(2)已知，且有對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義可求，進而即得；（2）由題可得，進而可得，然后結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因為對任意都有成立，且，當(dāng)時，，所以，所以，即，又，所以數(shù)列是首項為5，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以；（2）由題可知，所以，又對任意恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍.27．已知數(shù)列滿足：，且，設(shè)(1)求數(shù)列的通項公式(2)在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項，若不存在，說明理由(3)試證明：在數(shù)列中，一定存在正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等差數(shù)列，并求出之間的關(guān)系【答案】(1)(2)成等差數(shù)列(3)當(dāng)為奇數(shù)，時，成等差數(shù)列【分析】（1）由累加法求解，（2）由的通項公式與等差數(shù)列的性質(zhì)列式求解，（3）根據(jù)的奇偶討論，由的通項公式與等差數(shù)列的性質(zhì)列式求解，