九上單元測(cè)試卷

九上第四章單元測(cè)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共分）1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，則AB的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn) B．2a C．a(chǎn) D．a(chǎn)2．（4分）為測(cè)量垂直于水平面的某建筑物AB的高度，小明利用山坡CD進(jìn)行估算，已知山坡底端C處到AB的水平距離CB為200米，山坡頂端D處到AB的水平距離DE為40米（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．且在D處測(cè)得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50°，已知山坡的坡度（或坡比）為i＝1：，則建筑物AB的高度約為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈；cos50°≈；tan50°≈）A．. B．. C． D．.3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，那么邊AB的長(zhǎng)為（）A． B．m?cosα C．m?sinα D．m?cotα4．（4分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cos∠ACB的值為（）A． B． C． D．5．（4分）為了疫情防控工作的需要，某學(xué)校在學(xué)校門(mén)口的大門(mén)上方安裝了一個(gè)人體體外測(cè)溫?cái)z像頭，學(xué)校大門(mén)高M(jìn)E＝米，學(xué)生身高BD＝米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)B時(shí)測(cè)得攝像頭M的仰角為30°，當(dāng)學(xué)生剛好離開(kāi)識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)A時(shí)測(cè)得攝像頭M的仰角為60°，則體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)（）A．米 B．米 C．5米 D．6米6．（4分）小藝同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中測(cè)量樹(shù)的高度，如圖，她站在A處看樹(shù)頂端B的仰角為35°，眼睛到地面的距離CA為米，點(diǎn)A到樹(shù)的距離AD為7米，則樹(shù)的高BD為（）（已知sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）A．米 B．米 C．米 D．米7．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（）A． B． C． D．8．（4分）已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且2b＝a+c，延長(zhǎng)CA到D，使AD＝AB，連接BD，則tan∠BCA的值為（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，兩建筑物的水平距離為a米，從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角為α，測(cè)得C點(diǎn)的俯角為β，則較低建筑物的高為（）A．a(chǎn)米 B．a(chǎn)cotα米 C．a(chǎn)cotβ米 D．a(chǎn)（tanβ﹣tanα）米10．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，則BC的長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．9二、填空題（本大題共8小題，共分）11．（4分）計(jì)算：2sin245°+tan60°?tan30°﹣cos60°＝．12．（4分）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，則△ABC的面積為．13．（4分）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格圖的格點(diǎn)上，則cosC的值為．14．（4分）如圖，為了測(cè)量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點(diǎn)C處測(cè)得石碑頂A點(diǎn)的仰角為30°，她朝石碑前行5米到達(dá)點(diǎn)D處，又測(cè)得石碑頂A點(diǎn)的仰角為60°，那么石碑的高度AB的長(zhǎng)＝米．（結(jié)果保留根號(hào)）15．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，則BD的長(zhǎng)度為．16．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA與x軸正半軸的夾角為α，如果OA＝，tanα＝2，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是．17．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB＝3，連接AB并延長(zhǎng)至C，連接OC，若滿(mǎn)足OC2＝BC?AC，tanα＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，若AC＝6，tanB＝，則CE＝．三、解答題（本大題共8小題，共分）19．（8分）計(jì)算：．20．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊．（1）已知c＝2，b＝，求∠A；（2）已知c＝12，sinA＝，求b．21．（8分）如圖，平地上兩棟建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的頂部測(cè)得建筑物CD底部的俯角為°，測(cè)得建筑物CD頂部的仰角為45°．求建筑物CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈，°≈）22．（10分）如圖，小明家在A處，門(mén)前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路．現(xiàn)新修一條路AC到公路l，小明測(cè)量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝60m．請(qǐng)你幫小明計(jì)算他家到公路l的距離AD的長(zhǎng)度？（精確到；參考數(shù)據(jù)tan31°≈，sin31°≈，cos31°≈）．23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延長(zhǎng)斜邊BC到點(diǎn)D，使CD＝BC，聯(lián)結(jié)AD，如果tanB＝，求tan∠CAD的值．24．（10分）如圖，大樓AB高10米，遠(yuǎn)處有一雕像（含底座）．某人在樓頂A測(cè)得雕像頂C點(diǎn)的仰角為30°，此人從樓底B向雕像水平方向前進(jìn)2米到達(dá)點(diǎn)E，在E處測(cè)得C點(diǎn)的仰角為53°．已知雕像底座DF的高是8米，求雕像CF的高．（參考數(shù)據(jù)：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝，≈，計(jì)算結(jié)果精確到1m．）25．（12分）如圖，在△ABC中，AD是中線，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．（1）求的值；（2）求∠ACB的度數(shù)．26．（12分）在升旗結(jié)束后，小銘想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，如圖，旗桿的頂端垂下一繩子，將繩子拉直釘在地上，末端恰好至C處且與地面成60°角，小銘從繩子末端C處拿起繩子后退至E點(diǎn)，求旗桿AB的高度和小銘后退的距離．（單位：米，參考數(shù)據(jù)：≈，≈，結(jié)果保留一位小數(shù)）

九上第四章單元測(cè)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，共分）1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，則AB的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn) B．2a C．a(chǎn) D．a(chǎn)【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanA＝＝，BC＝a，∴AC＝2a，由勾股定理得，AB＝＝a，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確計(jì)算的前提．2．（4分）為測(cè)量垂直于水平面的某建筑物AB的高度，小明利用山坡CD進(jìn)行估算，已知山坡底端C處到AB的水平距離CB為200米，山坡頂端D處到AB的水平距離DE為40米（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．且在D處測(cè)得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50°，已知山坡的坡度（或坡比）為i＝1：，則建筑物AB的高度約為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈；cos50°≈；tan50°≈）A．. B．. C． D．.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)坡比可得DF的長(zhǎng)，利用50°角的正切可得AE，進(jìn)而可得答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由圖可得，四邊形DEBF是矩形，∴DF＝EB，BF＝DE＝40（m），∴CF＝200﹣40＝160（m），∵山坡的坡度（或坡比）為i＝1：，∴DF＝160÷＝（m），即BE＝（m），∵∠ADE＝50°，∴tan50°＝＝＝，∴AE＝（m），∴AB＝AE+BE＝+≈（m）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，那么邊AB的長(zhǎng)為（）A． B．m?cosα C．m?sinα D．m?cotα【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】計(jì)算題；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】利用直角三角形的邊角間關(guān)系，通過(guò)∠B的正弦，變形后求出AB．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，∵sinB＝，∴AB＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4．（4分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cos∠ACB的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【分析】根據(jù)圖形得出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而利用三角函數(shù)解答即可．【解答】解：過(guò)A作AD⊥BC于D，∴DC＝1，AD＝3，∴AC＝，∴cos∠ACB＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是利用三角函數(shù)解答．5．（4分）為了疫情防控工作的需要，某學(xué)校在學(xué)校門(mén)口的大門(mén)上方安裝了一個(gè)人體體外測(cè)溫?cái)z像頭，學(xué)校大門(mén)高M(jìn)E＝米，學(xué)生身高BD＝米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)B時(shí)測(cè)得攝像頭M的仰角為30°，當(dāng)學(xué)生剛好離開(kāi)識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)A時(shí)測(cè)得攝像頭M的仰角為60°，則體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)（）A．米 B．米 C．5米 D．6米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造三角關(guān)系，進(jìn)而可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意可知：四邊形EFCA和ABDC是矩形，ME＝米，∴CA＝EF＝BD＝米，CD＝AB，設(shè)FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵M(jìn)E＝MF+EF，∴x+＝，解得：x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)為4米．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．6．（4分）小藝同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中測(cè)量樹(shù)的高度，如圖，她站在A處看樹(shù)頂端B的仰角為35°，眼睛到地面的距離CA為米，點(diǎn)A到樹(shù)的距離AD為7米，則樹(shù)的高BD為（）（已知sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）A．米 B．米 C．米 D．米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】過(guò)C作CE⊥BD于E，則DE＝AC＝米，CE＝AD＝7米，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)C作CE⊥BD于E，則DE＝AC＝米，CE＝AD＝7米，在Rt△BCE中，tan∠BCE＝tan35°＝＝≈，∴BE＝（米），∴BD＝DE+BE＝+＝（米），答：樹(shù)的高BD為米，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的面積；直角三角形斜邊上的中線；解直角三角形．【專(zhuān)題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得CE＝AE＝BE＝AB，進(jìn)而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，從而有∠CEF＝∠CBF，根據(jù)三角形的面積公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出CF，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．【解答】解：連接BF，∵CE是斜邊AB上的中線，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分線，∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，∴S△AFB＝10＝AF?BC，∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF＝＝3，∵CE＝AE＝BE＝AB，∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（4分）已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且2b＝a+c，延長(zhǎng)CA到D，使AD＝AB，連接BD，則tan∠BCA的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；推理能力．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，利用勾股定理得數(shù)量關(guān)系，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，建立等腰三角形，求角的關(guān)系，等量代換后，再用三角函數(shù)求值．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H．設(shè)HC＝x，HA＝y(tǒng)，HB＝h，∴x2+h2＝a2，y2+h2＝c2，x+y＝b．解得：x＝（5a﹣3c），y＝（5c﹣3a），h＝（3c﹣a）（3a﹣c）．∵CE＝CB，∴∠E＝∠CBE，∵∠BCA＝∠CBE+∠E，∴∠E＝∠BCA，∴tan∠BAC?tan∠BCA＝tan∠D?tan∠E＝＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，等腰三角形，三角形外角的性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握這幾個(gè)定理的熟練應(yīng)用，角的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．9．（4分）如圖，兩建筑物的水平距離為a米，從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角為α，測(cè)得C點(diǎn)的俯角為β，則較低建筑物的高為（）A．a(chǎn)米 B．a(chǎn)cotα米 C．a(chǎn)cotβ米 D．a(chǎn)（tanβ﹣tanα）米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】作DE⊥AB于點(diǎn)E，分別在直角△ADE和直角△ABC中，利用三角函數(shù)即可表示出AB于AE的長(zhǎng)，根據(jù)DC＝BE＝AB﹣AE即可求解．【解答】解：作DE⊥AB于點(diǎn)E．在直角△AED中，ED＝BC＝a，∠ADE＝α∵tan∠ADE＝，∴AE＝DE?tan∠ADE＝a?tanα．同理AB＝a?tanβ．∴DC＝BE＝AB﹣AE＝a?tanβ﹣a?tanα＝a（tanβ﹣tanα）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用三角函數(shù)解決有關(guān)仰角、俯角的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是作出輔助線，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問(wèn)題．10．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，則BC的長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．9【考點(diǎn)】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】根據(jù)余弦的定義求出AB，根據(jù)勾股定理計(jì)算，求出BC．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∵AC＝6，cosA＝，∴＝，解得：AB＝10，由勾股定理得：BC＝＝＝8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是余弦的定義、勾股定理，銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦．二、填空題（本大題共8小題，共分）11．（4分）計(jì)算：2sin245°+tan60°?tan30°﹣cos60°＝．【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，計(jì)算即可．【解答】解：2sin245°+tan60°?tan30°﹣cos60°＝2×（）2+×﹣＝2×+1﹣＝1+1﹣＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．12．（4分）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，則△ABC的面積為2或14．【考點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形．【專(zhuān)題】三角形；數(shù)據(jù)分析觀念．【分析】過(guò)點(diǎn)B作AC邊的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，得BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝4，得CD＝＝5，①△ABC是鈍角三角形時(shí)，②△ABC是銳角三角形時(shí)，分別求出AC的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作AC邊的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，∴BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝4，∴CD＝＝5，①△ABC是鈍角三角形時(shí)，AC＝AD﹣CD＝1，∴S△ABC＝AC?BD＝＝2；②△ABC是銳角三角形時(shí)，AC＝AD+CD＝7，∴S△ABC＝AC?BD＝×7×4＝14，故答案為：2或14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關(guān)鍵是分類(lèi)討論思想．13．（4分）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格圖的格點(diǎn)上，則cosC的值為．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【分析】在CB的延長(zhǎng)線上取格點(diǎn)D，則∠ADC＝90°，由勾股定理求出AC，則cosC的值可得．【解答】解：在CB的延長(zhǎng)線上取格點(diǎn)D，則∠ADC＝90°，如圖，在Rt△ADC中，AC＝．∴cosC＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形．本題是網(wǎng)格問(wèn)題，將所求三角函數(shù)值的角度放在合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，為了測(cè)量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點(diǎn)C處測(cè)得石碑頂A點(diǎn)的仰角為30°，她朝石碑前行5米到達(dá)點(diǎn)D處，又測(cè)得石碑頂A點(diǎn)的仰角為60°，那么石碑的高度AB的長(zhǎng)＝米．（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】設(shè)石碑的高度AB的長(zhǎng)為x米，Rt△ABC和Rt△ABD中，分別用含x的代數(shù)式表示BC和BD，用CD＝5列方程，即可解得x，得到答案．【解答】解：設(shè)石碑的高度AB的長(zhǎng)為x米，Rt△ABC中，BC＝＝x，Rt△ABD中，BD＝＝，∵CD＝5，∴BC﹣BD＝5，即x﹣＝5，解得x＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示BC和BD．15．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，則BD的長(zhǎng)度為．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；模型思想．【分析】在△ABC中，由銳角三角函數(shù)求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由銳角三角函數(shù)求得BD．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．16．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA與x軸正半軸的夾角為α，如果OA＝，tanα＝2，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2）．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；解直角三角形．【專(zhuān)題】平面直角坐標(biāo)系；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；模型思想．【分析】構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和銳角三角函數(shù)求出AB，OB即可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，由于tanα＝2＝，設(shè)AB＝2k，則OB＝k，∴OA＝＝k＝，∴k＝1，∴OB＝1，AB＝2，∴點(diǎn)A（1，2），故答案為：（1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB＝3，連接AB并延長(zhǎng)至C，連接OC，若滿(mǎn)足OC2＝BC?AC，tanα＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，4）．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出∠A＝∠COB，進(jìn)而得出∠ABO＝α，利用tanα＝2，得出OA＝2OB，利用勾股定理解得OB，從而可知OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可知tan∠A的值，由tanα＝2，設(shè)C（﹣m，2m），m＞0，tan∠A的值列出關(guān)于m的方程，解得m的值，則可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：∵∠C＝∠C，∵OC2＝BC?AC，即，∴△OBC∽△OAC，∴∠A＝∠COB，∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α，∵tanα＝2，∴tan∠ABO＝，∴OA＝2OB，∵AB＝3，由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2，即，解得：OB＝3，∴OA＝6．∴tanA＝．如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∵tanα＝2，∴設(shè)C（﹣m，2m），m＞0，∴AD＝6+m，∵tan∠A＝，∴，∴，解得：m＝2，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝2是原方程的解．∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：（﹣2，4）．故答案為：（﹣2，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用及解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，若AC＝6，tanB＝，則CE＝3．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；解直角三角形．【專(zhuān)題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根據(jù)角平分線和對(duì)頂角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴＝，∵AC＝6，∠ACB＝90°，∴tanB＝＝∴BC＝8，AB＝＝＝10，∴＝，∵FC＝FG，解得：FC＝3，即CE的長(zhǎng)為3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是推出∠CEF＝∠CFE．三、解答題（本大題共8小題，共分）19．（8分）計(jì)算：．【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．【專(zhuān)題】二次根式；運(yùn)算能力．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝2×（4+3﹣4）＝14﹣8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．20．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊．（1）已知c＝2，b＝，求∠A；（2）已知c＝12，sinA＝，求b．【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【分析】（1）根據(jù)cosA＝求值，再根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值得出答案；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出a的值，再根據(jù)勾股定理求出答案即可．【解答】解：（1）∵cosA＝＝＝，∴∠A＝45°；（2）∵sinA＝＝＝，∴a＝6，∴b＝＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角的三角函數(shù)值，勾股定理，理解銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．21．（8分）如圖，平地上兩棟建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的頂部測(cè)得建筑物CD底部的俯角為°，測(cè)得建筑物CD頂部的仰角為45°．求建筑物CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈，°≈）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】先過(guò)A點(diǎn)作AE⊥CD于E點(diǎn)，根據(jù)題意得出四邊形ABDE為矩形，再根據(jù)°的正切求出DE，然后根據(jù)等腰直角三角形的特點(diǎn)求出CE的值，最后根據(jù)CD＝CE+ED，即可得出答案．【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AE⊥CD于E點(diǎn)，由題意得，四邊形ABDE為矩形，∵∠DAE＝°，BD＝30m，∴AE＝BD＝30m，°＝，∴DE＝°?AE＝×30＝15m，∵∠CAE＝45°，∴∠ACE＝45°，∴AE＝EC，∴CE＝30m，∴CD＝CE+ED＝30+15＝45（m），∴建筑物CD的高度是45m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．22．（10分）如圖，小明家在A處，門(mén)前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路．現(xiàn)新修一條路AC到公路l，小明測(cè)量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝60m．請(qǐng)你幫小明計(jì)算他家到公路l的距離AD的長(zhǎng)度？（精確到；參考數(shù)據(jù)tan31°≈，sin31°≈，cos31°≈）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】設(shè)BD＝AD＝xm，利用x表示出CD的長(zhǎng)，然后在直角△ACD中，利用三角函數(shù)即可得到AD和CD的比值，即可列方程求得x的值．【解答】解：設(shè)AD＝xm，∵∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝xm，∵∠ACD＝31°，BC＝60m，∴tan31°＝＝＝，解得x＝，∴他家到公路l的距離AD的長(zhǎng)度約．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延長(zhǎng)斜邊BC到點(diǎn)D，使CD＝BC，聯(lián)結(jié)AD，如果tanB＝，求tan∠CAD的值．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD，交AD于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的三角函數(shù)解答即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AC，交AD于點(diǎn)H，∵∠ACH＝∠BAC＝90°，∴AB∥CH，∴△DCH∽△DBA，∴，∴，設(shè)CH＝k，∴AB＝3k，∴AC＝4k，∴tan∠CAD＝，∴tan∠CAD的值為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的三角函數(shù)解答．24．（10分）如圖，大樓AB高10米，遠(yuǎn)處有一雕像（含底座）．某人在樓頂A測(cè)得雕像頂C點(diǎn)的仰角為30°，此人從樓底B向雕像水平方向前進(jìn)2米到達(dá)點(diǎn)E，在E處測(cè)得C點(diǎn)的仰角為53°．已知雕像底座DF的高是8米，求雕像CF的高．（參考數(shù)據(jù)：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝，≈，計(jì)算結(jié)果精確到1m．）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD于G，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形函數(shù)值得出DE，進(jìn)而解答即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD于G，設(shè)CD＝x，∴四邊形ABDG是矩形，∴AG＝BD，GD＝AB，∵∠CED＝53°，∴DE＝，∴AG＝BD＝+2，∵∠CAG＝30°，∴CG＝AG?tan30°，即CD﹣GD＝AG?tan30°，∴，解得：x≈20，∴CF＝CD﹣DF＝20﹣8＝12（米），答：雕像CF的高為12米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直