河北省唐山市2016屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理試卷(掃描版)

高三理科數(shù)學(xué)答案第頁(yè)共4頁(yè)

唐山市2015—2016學(xué)年度高三年級(jí)第三次模擬考試 理科數(shù)學(xué)參考答案 一、選擇題A卷：BCAAD BCCBB ADB卷：BCAAD BBCDC AD二、填空題（13）4 （14）4eq\r(3)π （15）－1 （16）(－3，0)三、解答題（17）解：（Ⅰ）因?yàn)閑q\f(2a＋b,cosB)＝eq\f(－c,cosC)，所以由正弦定理可得：eq\f(2sinA＋sinB,cosB)＝eq\f(－sinC,cosC)，所以2sinAcosC＝－(sinBcosC＋sinCcosB)＝－sinA．因?yàn)閟inA≠0，所以cosC＝－eq\f(1,2)．又0＜C＜π，故C＝eq\f(2π,3)． …5分（Ⅱ）sinAsinB＝sinAsin(eq\f(π,3)－A)＝sinA(eq\f(\R(3),2)cosA－eq\f(1,2)sinA)＝eq\f(\R(3),4)sin2A－eq\f(1,2)sin2A＝eq\f(\R(3),4)sin2A－eq\f(1－cos2A,4)＝eq\f(1,2)sin(2A＋eq\f(π,6))－eq\f(1,4)．因?yàn)?＜A＜eq\f(π,3)，所以當(dāng)A＝eq\f(π,6)時(shí)，sinAsinB有最大值為eq\f(1,4)． …12分（18）解：

（Ⅰ）該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87，眾數(shù)為92，打印的15件產(chǎn)品中，合格品有10件，由此可估計(jì)該打印機(jī)打出的產(chǎn)品為合格品的概率為eq\f(2,3)． …5分（Ⅱ）隨機(jī)變量X可以?。?4，18，90，162，P(X＝－54)＝Ceq\o(0,3)×(1－eq\f(2,3))3＝eq\f(1,27)， P(X＝18)＝Ceq\o(1,3)×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(2,9)，P(X＝90)＝Ceq\o(2,3)×(eq\f(2,3))2×(1－eq\f(2,3))1＝eq\f(4,9)， P(X＝162)＝Ceq\o(3,3)×(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，X的分布列為X－541890162Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)∴隨機(jī)變量X的期望E(X)＝(－54)×eq\f(1,27)＋18×eq\f(2,9)＋90×eq\f(4,9)＋162×eq\f(8,27)＝90． …12分（19）解：DCBEPAxyz（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AEeq\s\up1(DCBEPAxyz∴PA⊥AE，又∵PB⊥AE，PBPA＝P，∴AE⊥平面PAB，又∵ABeq\s\up1()平面PAB，∴AE⊥AB．又∵PA⊥AB，PAAE＝A，∴AB⊥平面PAE，又∵PEeq\s\up1()平面PAE，∴AB⊥PE． …6分（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則B(2EQ\R(,3)，0，0)，P(0，0，2)，C(－EQ\R(,3)，3，0)，D(－EQ\R(,3)，1，0)，∴eq\o(BC,\s\up5(→))＝(－3EQ\R(,3)，3，0)，eq\o(PC,\s\up5(→))＝(－EQ\R(,3)，3，－2)，eq\o(DC,\s\up5(→))＝(0，2，0).設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量m＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\al(m·\o(BC,\s\up5(→))＝0，,m·\o(PC,\s\up5(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\al(－3\r(3)x＋3y＝0，,－\r(3)x＋3y－2z＝0，))令x＝1，得n＝(1，EQ\R(,3)，EQ\R(,3))．同理可求平面PCD的一個(gè)法向量n＝(2，0，－EQ\R(,3))．∴cosm,n＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(－1,\r(7)·\r(7))＝－eq\f(1,7)．∵二面角B-PC-D為鈍二面角，∴二面角B-PC-D的余弦值為－eq\f(1,7)． …12分（20）解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0），由已知可得：eq\b\lc\{(\a\al(\f(2b2,a)＝3，,c＝1，,a2＝b2＋c2．))解得eq\b\lc\{(\a\al(a＝2，,b＝\r(3)．))故所求橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1． …4分（Ⅱ）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)T(t，0)，當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)AB為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將x＝my＋1代入C得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，顯然Δ＞0，且y1＋y2＝eq\f(－6m,4＋3m2)，y1y2＝eq\f(－9,4＋3m2)，x1＋x2＝eq\f(8,4＋3m2)，x1x2＝eq\f(4－12m2,4＋3m2)．所以eq\o(TA,\s\up5(→))·eq\o(TB,\s\up5(→))＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝eq\f((6t－15)m2－9,4＋3m2)＋t2－2t＋1，要使eq\o(TA,\s\up5(→))·eq\o(TB,\s\up5(→))為定值須有eq\f(6t－15,3)＝eq\f(－9,4)，得t＝eq\f(11,8)，此時(shí)T(eq\f(11,8)，0)，eq\o(TA,\s\up5(→))·eq\o(TB,\s\up5(→))為定值－\eq\f(135,64)．當(dāng)直線(xiàn)AB斜率為0時(shí)，eq\o(TA,\s\up5(→))·eq\o(TB,\s\up5(→))＝－\eq\f(135,64)．故存在點(diǎn)T(eq\f(11,8)，0)滿(mǎn)足題設(shè). …12分（21）解：（Ⅰ）m＝1時(shí)，f(x)＝ex－lnx－2，f(x)＝ex－eq\f(1,x)，x＞0．顯然f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(eq\f(1,2))＜0，f(1)＞0，故存在唯一實(shí)數(shù)t∈(eq\f(1,2)，1)，使得f(t)＝0． …4分（Ⅱ）f(x)＝memx－eq\f(1,x)＝m(emx－eq\f(1,mx))，由0＜m＜1得f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由（Ⅰ）得mx0＝t時(shí)，f(x0)＝0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，即f(x)的最小值為f(x0)＝f(eq\f(t,m))＝et－lnt＋lnm－2，

∵et－eq\f(1,t)＝0，∴et＝eq\f(1,t)，t＝－lnt．

于是f(x0)＝f(eq\f(t,m))＝eq\f(1,t)＋t＋lnm－2，所以當(dāng)lnm＞2－(eq\f(1,t)＋t)時(shí)，f(x)＞0．取k＝2－(eq\f(1,t)＋t)＜0，故m∈(ek，1)時(shí)成立． …12分（22）解：（Ⅰ）證明：連接CQ，BC，AB，DABCPQ因?yàn)镻Q是圓O的切線(xiàn)，所以∠DABCPQ因?yàn)锽為eq\o(AC,\s\up4(⌒))的中點(diǎn)，所以∠CQB＝∠ACB，所以∠PQC＋∠CQB＝∠CBD＋∠ACB，即∠PQD＝∠CDQ，故△DPQ為等腰三角形. …5分（Ⅱ）設(shè)CD＝t，則PD＝PQ＝1＋t，PA＝2＋2t，由PQ2＝PC·PA得t＝1，所以CD＝1，AD＝PD＝2，所以BD·QD＝CD·AD＝2. …10分（23）解：（Ⅰ）設(shè)A(x，y)，則x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以xB＝ρcos(θ＋eq\f(π,3)eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),2)y；yB＝ρsin(θ＋eq\f(π,3)eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(1,2)y，故B(eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),2)y，eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(1,2)yeq\f(π,3))．由|BM|2＝1得(eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),2)y＋2)2＋(eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(1,2)yeq\f(π,3))2＝1，整理得曲線(xiàn)C的方程為(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1． …5分（Ⅱ）圓C：eq\b\lc\{(\a\al(x＝－1＋cosα，,y＝\r(3)＋sinα))（α為參數(shù)），則|OA|2＋|MA|2＝4eq\r(3)sinα＋10，所以|OA|2＋|MA|2∈[10－4eq\r(3)，10＋4eq\r(3)]． …10分（24）解：（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2，由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，故a＋d＞b＋c． …5分（Ⅱ）eq\f(aabbcddc,abbaccdd)＝(eq\f(a,b)eq\f(π,3))a－b(eq\f(c,d)eq\f(π,3))d－c＝(eq\f(a,b)eq\f(π,3))a－b(eq\f(d,c)eq\f(π,3))c－d，由（Ⅰ）得a－b＞c－d，又eq\f(a,b)＞1，所以(eq\f(a,b)eq\f(π,3))a－b＞(eq\f(a