三角形的內(nèi)角和 省賽一等獎

三角形內(nèi)角和教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索證明三角形內(nèi)角和定理的過程,初次學(xué)習(xí)添加輔助線的方法,進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)證明的方法,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,激發(fā)學(xué)生探索知識的興趣,體驗數(shù)學(xué)活動的探索性和創(chuàng)造性.2.能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理的知識,解決有關(guān)求角的問題.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決有關(guān)求角的問題.難點(diǎn):添加輔助線.教法與學(xué)法教法:通過問題情境的探究討論,啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生如何通過添加輔助線來證明三角形的內(nèi)角和定理,并應(yīng)用定理去解決某些應(yīng)該求角的問題.學(xué)法:觀察、討論、交流、歸納、應(yīng)用,通過課堂討論和練習(xí)掌握新知識.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入同學(xué)們知道三角形的內(nèi)角和等于多少嗎?你們還記得這個結(jié)論的探索過程嗎?(1)如教材圖7-2,如果我們只把∠A移到∠1的位置,你能說明這個結(jié)論嗎?如果不移動∠A,那么你還有什么方法可以達(dá)到同樣的效果?教材圖7-12(2)根據(jù)前面給出的基本事實(shí)和定理,你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴進(jìn)行交流.【設(shè)計意圖】問題的引入意在引起學(xué)生的注意,了解解決問題的途徑,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,鼓勵學(xué)生學(xué)以致用,設(shè)法尋求方案,解決問題.二、互動新授如果我們把上面的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的語言,則有,【已知】如教材圖7-13,△ABC中.【求證】∠A+∠B+∠C=180°.教材圖7-13【分析】前面我們探究三角形的內(nèi)角和,實(shí)際上就是設(shè)法把三個角移動到一起;如何能夠移動到一起呢?延長BC到D,過點(diǎn)C作射線CE∥BA(教材圖7-14),這樣就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.教材圖7-14【證明】延長BC到D,過點(diǎn)C作射線CE∥BA,則∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).說明:這里的CD,CE是我們添加的,可以幫助完成證明的稱為輔助線.輔助線通常畫成虛線.由此得到定理:三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和是180°.教材圖7-15【想一想】在證明三角形內(nèi)角和定理時,小明的想法是把三個角“湊”到A處,他過點(diǎn)A作直線PQ∥BC(教材圖7-15),他的想法可行嗎?如果可行,你能寫出證明過程嗎?與同伴進(jìn)行交流.【證明】過點(diǎn)A作直線PQ∥BC,則∴∠PAB=∠B,∠QAC=∠C(兩直線平行內(nèi)錯角相等),∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定義),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代換).【想一想】你還有其他方法可以證明三角形的內(nèi)角和定理嗎?【設(shè)計意圖】新課的導(dǎo)入是為了通過作輔助線,證明定理,從而培養(yǎng)學(xué)生的思考能力、分析能力,以及培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.讓學(xué)生了解證明的過程與方法.三、例題講解【例1】求證:直角三角形中的兩個銳角互余.解析:(1)為了證明的必要,應(yīng)先畫圖,并寫出已知、求證.(2)可以借助三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明(如圖).【例2】如圖,已知在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線BE、CF交于點(diǎn)I,求證:∠BIC=90°+∠A.解析:欲證∠BIC與∠A之間的關(guān)系,但它們之間的關(guān)系不直接,∠BIC與∠IBC,∠ICB在同一個三角形中,故有∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB),而∠A與∠ABC、∠ACB在同一個三角形中,故有∠A=180°-(∠ABC+∠ACB),又因為BE、CF是角平分線,于是∠IBC與∠ABC有關(guān)系:∠IBC=∠ABC,同理,∠ICB=∠ACB,從而可以通過中間量∠ABC、∠ACB或∠IBC、∠ICB找到∠BIC與∠A之間的關(guān)系.四、鞏固練習(xí)1.下列敘述正確的是()A.鈍角三角形的內(nèi)角和大于銳角三角形的內(nèi)角和B.三角形兩個內(nèi)角的和一定大于第三個內(nèi)角C.三角形中至少有兩個銳角D.三角形中至少有一個銳角2.已知:如圖,AB∥CD,直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P.求證:∠P=90°.五、課堂小結(jié)通過學(xué)習(xí)本課,你有哪些收獲?你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法?1.本課主要學(xué)習(xí)如何添加輔助線證明三角形內(nèi)角和定理.2.添加輔助線的目的是通過構(gòu)造平行線把不同位置的角移動到共頂點(diǎn)的