八年級因式分解難題附答案及解析

2017年05月21日數(shù)學(xué)(因式分解難題)2一.填空題(共10小題).已知x+y=10,xy=16,貝Ux2y+xy2的值為..兩位同學(xué)將一個二次三項式分解因式，一位同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而分解成2(x-1)(x-9);另一位同學(xué)因看錯了常數(shù)項分解成 2(x-2)(x-4),請你將原多項式因式分解正確的結(jié)果寫出來：..若多項式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是..分解因式：4x2-4x-3=..利用因式分解計算：2022+202X196+982=..△ABC￡邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca,則△ABC勺形狀是..計算：12-22+32-42+52-62+----1002+1012=..定義運算a*b=(1-a)b,下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：①2*(-2)=3②a★b=b-③若a+b=0,貝^(a*a)+b)=2ab④若a*b=0,則a=1或b=0.其中正確結(jié)論的序號是—(填上你認為正確的所有結(jié)論的序號)..如果1+a+a2+a3=0,代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=..若多項式x2-6x-b可化為(x+a)2-1,貝Ub的值是.二.解答題(共20小題).已知n為整數(shù)，試說明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.2.因式分解：4xy-4xy+y..因式分解a3-ab2(x-y)2+4xy.14.先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若ni+2mn+2ri-6n+9=0,求m和n的值.解：:n1+2mn+2n-6n+9=0m2+2mn+n+n2-6n+9=0(m+n2+(n-3)2=0?m+n=0n—3=0.m=-3,n=3問題：(1)若x2+2y2—2xy+4y+4=0,求xy的值.(2)已知△ABC的三邊長a,b,c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,請問△ABC是怎樣形狀的三角形？15.如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20這三個數(shù)都是和諧數(shù).36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？(3)介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為..如圖1,有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正方形③的紙片.(1)如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請你將它們拼成一個大長方形(在圖2虛線框中畫出圖形)，并運用面積之間的關(guān)系，將多項式a2+3ab+2弓分解因式.(2)已知小正方形①與大正方形③的面積之和為 169,長方形②的周長為34,求長方形②的面積.(3)現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形(按原紙張進行無空隙、無重疊拼接)，求可以拼成多少種邊長不同的正方形..(1)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖 1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖2.①用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積；②由此，你可以得出的一個等式為：.(2)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示.①請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖；②請你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖..已知a+b=1,ab=-1,設(shè)s尸a+b,S2=a2+b2,S3=a3+b3,…，Sn=an+bn(1)計算S2；(2)請閱讀下面計算S3的過程：因為a+b=1,ab=-1,所以S3=a3+b3=(a+b)(a2+bj-ab(a+b)=1XS2-(-1)=S2+1=你讀懂了嗎？請你先填空完成(2)中S3的計算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計算S4.(3)試寫出Sn-2,Sn-1,Sn三者之間的關(guān)系式；(4)根據(jù)(3)得出的結(jié)論，計算S6..(1)利用因式分解簡算：9.82+0.4X9.8+0.04(2)分解因式：4a(a-1)2—(1—a).閱讀材料：若m2-2mn+2n-8n+16=0,求mn的值.解：m2-2mn+2in-8n+16=0, (m2-2mn+ri)+(n2-8n+16)=0(m-n) 2+ (n-4) 2=0, (m-n) 2=0, (n-4) 2=0, ?.n=4, m=4根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x-y的值.(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2-6a-8b+25=0,求z\ABC的最大邊c的值.(3)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,則a-b+c=..仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2-4x+m有一個因式是(x+3),求另一個因式以及m的值.解：設(shè)另一個因式為(x+n),得x2—4x+m=(x+3)(x+n),貝Ux2—4x+m=x+(n+3)x+3nn+3=—4m=3n 解得：n=-7,m=-21丁?另一個因式為(x-7),m的值為-21.問題：(1)若二次三項式x2-5x+6可分解為(x-2)(x+a),貝Ua=;(2)若二次三項式2x2+bx—5可分解為(2x—1)(x+5),貝Ub=;(3)仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+5x-k有一個因式是(2x-3),求另一個因式以及k的值..分解因式：2x2-x;16x2—1;6xy2—9x2y—y3;4+12(x-y)+9(x-y)2..已知a,b,c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),試確定三角形的形狀..分解因式2x4-4x2y2+2y42a3-4a2b+2ab2..圖①是一個長為2m寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形.(1)圖②中的陰影部分的面積為一；(2)觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式(m+r)2、(m^n)2、mn之間的等量關(guān)系是—.(3)若x+y=7,xy=10,貝U(x-y)2=.(4)實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖③，它表小了.(5)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示( m+r)(m+3n=n2+4mn+3n..已知a、b、c滿足a-b=8,ab+c2+16=0,求2a+b+c的值..已知：一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c,且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006求：這個長方體的體積..(x2—4x)2—2(x2-4x)—15..閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：21+x+x(x+1)+x(x+1)=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)(1)上述分解因式的方法是,共應(yīng)用了次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+-+x(x+1)2004,則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)里旦木TH.(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+-+x(x+1)n(n為正整數(shù)).30.對于多項式x3-5x2+x+10,如果我們把x=2代入此多項式，發(fā)現(xiàn)多項式 x3-5x2+x+10=0,這時可以斷定多項式中有因式(x-2)(注：把x=a代入多項式能使多項式的值為0,則多項式含有因式(x-a)),于是我們可以把多項式寫成：x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+r),(1)求式子中mn的值；(2)以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項式 x3-2x2-13x-10的因式.2017年05月21日數(shù)學(xué)(因式分解難題)2參考答案與試題解析一.填空題(共10小題)(2016秋?望謨縣期末)已知x+y=10,xy=16,貝，x2y+xy2的值為160.【分析】首先提取公因式xy,進而將已知代入求出即可.【解答】解：=x+y=10,xy=16,x2y+xy2=xy(x+y)=10X16=160.故答案為：160.【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.(2016秋?新賓縣期末)兩位同學(xué)將一個二次三項式分解因式， 一位同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而分解成2(x-1)(x-9);另一位同學(xué)因看錯了常數(shù)項分解成2(x-2)(x-4),請你將原多項式因式分解正確的結(jié)果寫出來： 2(x-3)2.【分析】根據(jù)多項式的乘法將2(x-1)(x-9)展開得到二次項、常數(shù)項；將2(x-2)(x-4)展開得到二次項、一次項.從而得到原多項式，再對該多項式提取公因式 2后利用完全平方公式分解因式.【解答】解：V2(x-1)(x-9)=2x2—20x+18;2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16;原多項式為2x2-12x+18.2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.【點評】根據(jù)錯誤解法得到原多項式是解答本題的關(guān)鍵.二次三項式分解因式，看錯了一次項系數(shù)，但二次項、常數(shù)項正確；看錯了常數(shù)項，但二次項、一次項正確.(2015春？昌邑市期末)若多項式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是±4.【分析】利用完全平方公式(a+b)2=(a-b)2+4ab、(a-b)2=(a+b)2-4ab計算即可.【解答】解：=x2+mx+4=(x±2)2,即x2+mx+4=x±4x+4,?二m=±4.故答案為：±4.【點評】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個變形公式是解題關(guān)鍵.(2015秋?利川市期末)分解因式：4x2-4x3=(2x-3)(2x+1) .【分析】ax2+bx+c(aw0)型的式子的因式分解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù) a分解成兩個因數(shù)ai,a2的積ai?a2,把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c,C2的積ci?c,并使aiC2+a2Ci正好是一次項b,那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=(a1x+c)(&x+C2),進而得出答案.【解答】解：4x2-4x-3=(2x-3)(2x+1).故答案為：(2x-3)(2x+1).【點評】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項系數(shù)是解題關(guān)鍵.(2015春?東陽市期末)利用因式分解計算： 2022+202X196+982=90000.【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式.【解答】解：原式=2022+2x202x98+98=(202+98)2=3002=90000.【點評】運用公式法可以簡便計算一些式子的值.(2015秋?浮梁縣校級期末)△ABC三邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca,則AABC的形狀是等邊三角形.【分析】分析題目所給的式子，將等號兩邊均乘以 2,再化簡得(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,得出：a=b=c,即選出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等號兩邊均乘以2得：-2-2-2― ― ―2a+2b+2c=2ab+2bc+2ac,即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,解得：a=b=c,所以，△ABC是等邊三角形.故答案為：等邊三角形.【點評】此題考查了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形的判定，化簡式子得 a=b=c,由三邊相等判定△ABC是等邊三角形.(2015秋?鄂托克旗校級期末)計算：12-22+32-42+52-62+…-1002+1012=5151.【分析】通過觀察，原式變?yōu)?+(32-22)+(52-42)+(1012-1002),進一步運用高斯求和公式即可解決.【解答】解：12-22+32-42+52-62+----1002+1012=1+(32—22)+(52-42)+(1012—1002)=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+?+(101+100)=(1+101)X101+2=5151.故答案為：5151.【點評】此題考查因式分解的實際運用，分組分解，利用平方差公式解決問題.(2015秋?樂至縣期末)定義運算a^b=(1-a)b,下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：①2*(-2)=3②a★b=b-③若a+b=0,貝^(a*a)+ b)=2ab④若a*b=O,則a=1或b=0.其中正確結(jié)論的序號是③④(填上你認為正確的所有結(jié)論的序號).【分析】根據(jù)題中的新定義計算得到結(jié)果，即可作出判斷.【解答】解：①2*(-2)=(1-2)X(-2)=2,本選項錯誤；②a★b=(1-a)b,b^a=(1-b)a,故a*b不一定等于b^a,本選項錯誤；③若a+b=0,貝^(a*a)+(b^b)=(1—a)a+(1—b)b=a-a2+b—b2=-a2—b2=-2a2=2ab,本選項正確；④若a*b=0,即(1—a)b=0, a=1或b=0,本選項正確，其中正確的有③④.故答案為③④.【點評】此題考查了整式的混合運算，以及有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.(2015春?張掖校級期末)如果1+a+3+a3=0,代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0.【分析】4項為一組，分成2組，再進一步分解因式求得答案即可.【解答】解：=1+a+a2+a3=0,a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,=a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【點評】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問題.(2015春？昆山市期末)若多項式x2-6x-b可化為(x+a)2-1,則b的值是-8.【分析】利用配方法進而將原式變形得出即可.【解答】解： x2-6x-b=(x—3)2—9-b=(x+a)2—1,??a=-3,-9-b=-1,解得：a=-3,b=-8.故答案為：-8.【點評】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵.二.解答題(共20小題)11.已知n為整數(shù)，試說明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展開(n+7)2-(n-3)2,看因式中有沒有20即可.【解答】解：(n+7)2—(n-3)2=(n+7+n-3)(n+7-n+3)=20(n+2),??.(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.【點評】主要考查利用平方差公式分解因式.公式： a2-b2=(a+b)(a-b).(2016秋?農(nóng)安縣校級期末)因式分解：4x2y-4xy+y.【分析】先提取公因式y(tǒng),再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解.【解答】解：4x2y-4xy+y=y(4x2-4x+1)=y(2x-1)2.【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．(2015秋?成都校級期末)因式分解a3-ab2(x-y)2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；(2)原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：(1)原式二a(a2—b2)=a(a+b)(a—b);(2)原式=x2-2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．14．(2015春?甘肅校級期末)先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若mi+2mn+2ri-6n+9=0,求m和n的值.22解：=m+2mn+2n-6n+9=0m+2mn+n+n2-6n+9=0(m+r)2+(n-3)2=0m+n=0n—3=0m=-3,n=3問題：(1)若x2+2y2—2xy+4y+4=0,求xy的值.(2)已知△ABC的三邊長a,b,c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,請問△ABC是怎樣形狀的三角形？【分析】(1)首先把x2+2y2-2xy+4y+4=0,配方彳導(dǎo)至U(x-y)2+(y+2)2=0,再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到x=y=-2,代入求得數(shù)值即可；(2)先把a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,配方得到(a-3)2+(b-3)2+|3-c|=0,根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c=3,得出三角形的形狀即可.【解答】解：(1)vx2+2y2-2xy+4y+4=0??x2+y2-2xy+y2+4y+4=0,(x-y)2+(y+2)2=0x=y=—2二二(-2尸4；va2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,a2-6a+9+t>-6b+9+|3-c|=0,(a-3)2+(b-3)2+|3-c|=0a=b=c=3???三角形ABO等邊三角形.【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用：通過配方，把已知條件變形為幾個非負數(shù)的和的形式，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)得到幾個等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問題.(2015秋?太和縣期末)如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如4=22-02,12=42-22,20=62-42,因止匕4,12,20這三個數(shù)都是和諧數(shù).36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？(3)介于1至IJ200之間的所有“和諧數(shù)”之和為2500.【分析】(1)禾I」用36=102-82;2016=5052-5032說明36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”；(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2n,2n+2(n為自然數(shù))，則“和諧數(shù)”=(2n+2)2-(2n)2,利用平方差公式展開得到(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1),然后利用整除性可說明“和諧數(shù)”一定是 4的倍數(shù)；(3)介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”中，最小的為：22-02=4,最大的為：502-482=196，將它們?nèi)苛谐霾浑y求出他們的和．【解答】解：(1)36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”．理由如下：36=102-82;2016=50$-5032;(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為 2k+2和2k(n為自然數(shù))，v(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=(4k+2)x2=4(2k+1)，.「4(2k+1)能被4整除，」?”和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；(3)介于 1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和，S=(22-02)+(42-22)+(62-42)+???+(502-482)=502=2500.故答案是： 2500．【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進行變形，從而達到使計算簡化．(2015春?興化市校級期末)如圖1,有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正方形③的紙片．(1)如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請你將它們拼成一個大長方形(在圖2虛線框中畫出圖形)，并運用面積之間的關(guān)系，將多項式 a2+3ab+2b2分解因式．(2)已知小正方形①與大正方形③的面積之和為 169,長方形②的周長為34,求長方形②的面積．(3)現(xiàn)有三種紙片各 8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形(按原紙張進行無空隙、無重疊拼接)，求可以拼成多少種邊長不同的正方形．【分析】(1)根據(jù)小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，直接畫出圖形，利用圖形分解因式即可；（2）由長方形②的周長為34,得出a+b=17,由題意可知：小正方形①與大正方形③的面積之和為a2+b2=169,將a+b=17兩邊同時平方，可求得ab的值，從而可求得長方形②的面積；（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb,其中（n、m為正整數(shù)）由完全平方公式可知：（na+m。2=n2a2+2nmab+rb2,因為現(xiàn)有三種紙片各8張，n2<8,n2<8,2mrnc8（n、m為正整數(shù)）從而可知n<2, 2,從而可得出答案.【解答】解：（1）如圖：拼成邊為（a+2b）和（a+b）的長方形?.a2+3ab+26=（a+2b）（a+b）；.「長方形②的周長為34,a+b=17.;小正方形①與大正方形③的面積之和為 169,??a2+b2=169.將a+b=17兩邊同時平方得：（a+b）2=172,整理得：a2+2ab+t2=289,.?-2ab=289-169,ab=60.，長方形②的面積為60.（3）設(shè)正方形白邊長為（na+mb,其中（n、m為正整數(shù)）.二正方形的面積=（na+mb2=n2a2+2nmab+m2.???現(xiàn)有三種紙片各8張，n2<8,mi<8,2mrnc8（n、m為正整數(shù)）n<2, 2.」?共有以下四種情況；①n=1,m=1,正方形白邊長為a+b;②n=1,m=Z正方形白邊長為a+2b;③n=2,m=1,正方形白邊長為2a+b;④n=2,m=Z正方形白邊長為2a+2b.【點評】此題考查因式分解的運用，要注意結(jié)合圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用完全平方公式．(2014秋?萊城區(qū)校級期中)(1)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖 1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖 2.①用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積；②由此，你可以得出的一個等式為： a2+2a+1 = (a+1)2.(2)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖 3所示.①請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖；②請你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2日因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖.【分析】(1)要能根據(jù)所給拼圖運用不同的計算面積的方法，來推導(dǎo)公式；(2)要能根據(jù)等式畫出合適的拼圖.【解答】解：(1)①長方形的面積=a2+2a+1；長方形的面積=(a+1)2;②a2+2a+1=(a+1)2；(2)①如圖，可推導(dǎo)出(a+b)2=a2+2ab+t)；②2a2+5ab+2b=(2a+b)(a+2b).【點評】本題考查運用正方形或長方形的面積計算推導(dǎo)相關(guān)的一些等式；運用圖形的面積計算的不同方法得到多項式的因式分解.(2013秋？海淀區(qū)校級期末)已知a+b=1,ab=-1,設(shè)s1二a+b,S2=a2+b2,S3=a3+b3,…,nnsn=a+b(1)計算S2；(2)請閱讀下面計算S3的過程：因為a+b=1,ab=-1,所以S3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)-ab(a+b)=1XS2—(—1)=S2+1=4你讀懂了嗎？請你先填空完成(2)中S3的計算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計算S4.(3)試寫出Sn-2,Sn-1,Sn三者之間的關(guān)系式；(4)根據(jù)(3)得出的結(jié)論，計算S6.【分析】(1)(2)利用完全平方公式進行化簡，然后代入a+b,ab的值，即可推出結(jié)論；(3)根據(jù)(1)所推出的結(jié)論，即可推出&-2+S—尸S;(4)根據(jù)(3)的結(jié)論，即可推出a6+b6=S=S+&=2S+4.【解答】解：(1)S2=a2+b2=(a+b)2-2ab=3;⑵=(a2+bj(a+b)=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab(a+b),?.3X1=a3+b3-1,「.a3+b3=4,即S3=4;,.S4=(a2+b2)2—2(ab)2=7,S4=7；(3).03,S3=4,0=7,S2+S3=S4，.?.s2+si=s；(3)「S2+S產(chǎn)S,S2=3,S3=4,S=7,S5=4+7=11，S6=7+11=18．【點評】本題主要考查整式的混合運算、完全平方公式的運用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出5=3,&=4,s=7,分析歸納出規(guī)律：s.2+sni=sn.(2013春?重慶校級期末)(1)利用因式分解簡算：9.82+0.4X9.8+0.04(2)分解因式：4a(a-1)2-(1-a)【分析】 (1)利用完全平方公式因式分解計算即可；(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：(1)原式=9.82+2X0.2X9.8+0.22=(9.8+0.2)2=100；(2)4a(a-1)2-(1-a)=(a-1)(4a2-4a+1)=(a-1)(2a-1)2.【點評】此題考查因式分解的實際運用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．(2013春?惠山區(qū)校級期末)閱讀材料：若mi-2mn+2ri-8n+16=0,求mn的值.解：m2-2mn+2i2i-8n+16=0, (m2-2mn+ri)+(n2―8n+16)=0(m-n) 2+ (n-4) 2=0, ( m- n) 2=0, (n-4) 2=0, n=4, m=4根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x-y的值.(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a+b2-6a-8b+25=0),求AABC的最大邊c的值.(3)已知a—b=4,ab+c2—6c+13=0,貝^a-b+c=7.【分析】(1)將多項式第三項分項后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0,兩非負數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x-y的值；(2)將已知等式25分為9+16,重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0,兩非負數(shù)分別為0求出a與b的值，根據(jù)邊長為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長；(3)由a-b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0,兩非負數(shù)分別為0求出b與c的值，進而求出a的值，即可求出a-b+c的值.【解答】解：(1)vx2+2xy+2y2+2y+1=0(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0(x+y)2+(y+1)2=0??x+y=0y+1=0解得x=1,y=-1x—y=2；va2+b2-6a-8b+25=0「?(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0(a-3)2+(b-4)2=0.,.a-3=0,b-4=0解得a=3,b=4.「三角形兩邊之和>第三邊??c<a+b,c<3+4；c<7,又c是正整數(shù)，c最大為6;a-b=4,即a=b+4,代入得：(b+4)b+c2-6c+13=0,整理得：(b2+4b+4)+(c2-6c+9)=(b+2)2+(c-3)2=0,.?b+2=0,且c-3=0,即b=-2,c=3,a=2,WJa-b+c=2-(-2)+3=7.故答案為：7.【點評】此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.21.(2012秋?溫嶺市校級期末)仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2-4x+m有一個因式是(x+3),求另一個因式以及m的值.解：設(shè)另一個因式為(x+n),得x2—4x+m=(x+3)(x+n),貝Ux2—4x+m=X+(n+3)x+3nn+3=—4m=3n 解得：n=-7,m=-21丁?另一個因式為(x-7),m的值為-21.問題：(1)若二次三項式x2-5x+6可分解為(x-2)(x+a),貝Ua=3;(2)若二次三項式2x2+bx—5可分解為(2x—1)(x+5),貝Ub=9;2(3)仿照以上萬法解答下面問題：已知二次三項式2x+5x-k有一個因式是(2x-3),求另一個因式以及k的值.【分析】(1)將(x-2)(x+a)展開，根據(jù)所給出的二次三項式即可求出 a的值；(2)(2x-1)(x+5)展開，可得出一次項的系數(shù)，繼而即可求出 b的值；(3)設(shè)另一個因式為(x+n),得2x2+5x-k=(2x-3)(x+n)=2x2+(2n-3)x-3n,可知2n-3=5,k=3n,繼而求出n和k的值及另一個因式.【解答】解：(1);(x—2)(x+a)=x2+(a—2)x—2a=x2—5x+6,..a—2=—5,解得：a=-3;，一 ，一 、/ 、_2_ _2(2) (2x-1)(x+5)=2x+9x-5=2x+bx-5,b=9;(3)設(shè)另一個因式為(x+n),得2x2+5x—k=(2x—3)(x+n)=2x2+(2n—3)x-3n,則2n-3=5,k=3n,解得：n=4,k=12,故另一個因式為(x+4),k的值為12.故答案為：(1)-3;(2分)(2)9;(2分)(3)另一個因式是x+4,k=12(6分).【點評】本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．22．(2012春?郯城縣期末)分解因式：2x2-x;16x2—1;6xy2—9x2y—y3;4+12(x-y)+9(x-y)2.【分析】(1)直接提取公因式x即可；(2)利用平方差公式進行因式分解；(3)先提取公因式-y,再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解；(4)把(x-y)看作整體，利用完全平方公式分解因式即可.【解答】解：(1)2x2-x=x(2x—1);16x2-1=(4x+1)(4x-1);6xy2—9x2y—y3,=-y(9x2-6xy+y2),=-y(3x-y)2；4+12(x-y)+9(x-y)2,=[2+3(x-y)]2,2=(3x-3y+2).【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點在(3),提取公因式-y后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進行二次因式分解.23．(2012春?碑林區(qū)校級期末)已知 a，b，c是三角形的三邊，且滿足( a+b+c)2=3(a2+b2+c2)，試確定三角形的形狀．【分析】將已知等式利用配方法變形，利用非負數(shù)的性質(zhì)解題．【解答】解：=(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,=3a2+3b2+3c2,a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,?-a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b=c,故△ABC^J等邊三角形.【點評】本題考查了配方法的運用，非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷.關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負數(shù)的性質(zhì)解題.(2011秋?北辰區(qū)校級期末)分解因式2x4-4x2y2+2y42a3-4a2b+2ab2.【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)2x4—4x2y2+2y4=2(x4-2x2y2+y4)=2(x2-y2)2=2(x+y)2(x-y)2;2a3-4a2b+2ab2=2a(a2-2ab+t2)=2a(a-b).【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，提取公因式后利用公式進行二次分解，注意分解要徹底.(2011秋?蘇州期末)圖①是一個長為2m寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形.(1)圖②中的陰影部分的面積為 (m-n)2;(2)觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式(m+r)2、(m-n)2、mn之間的等量關(guān)系是 (m+ri-(m-n)2=4mn.(3)若x+y=7,xy=10,貝U(x-y)2=9.(4)實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖③，它表示了 (m+-：2m+n=2m2+3mn+n.(5)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示(m+r)(m+3n=m2+4mn+3n.【分析】(1)可直接用正方形的面積公式得到.(2)掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別.(3)此題可參照第(2)題.(4)可利用各部分面積和=長方形面積列出恒等式.(5)可參照第(4)題畫圖.【解答】解：(1)陰影部分的邊長為(mvn),陰影部分的面積為(m-n)2；(m+r)2-(mrn)2=4mr)(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-40=9;(m+n(2m+n=2m2+3mn+ri;(5)答案不唯一：例如:【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認真觀察題中給出的圖示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進行變形.2(2009秋？海淀區(qū)期末)已知a、b、c潴足a-b=8,ab+c+16=0,求2a+b+c的值.【分析】本題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進行因式分解；但是將已知的兩個式子進行適當(dāng)變形后，即可找到本題的突破口.由a-b=8可得a=b+8;將其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此時可發(fā)現(xiàn)b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非負數(shù)的性質(zhì)求出b、c的值，進而可求得a的值；然后代值運算即可.【解答】解：因為a-b=8,所以a=b+8.(1分)又ab+c2+16=0,所以(b+8)b+c2+16=0.(2分)2 2即(b+4)+c=0.又(b+4)2>0,c2>0,b=-4,c=0.（4分）所以a=4，（5分）所以 2a+b+c=4．（6分）【點評】本題既考查了對因式分解方法的掌握，又考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法．（2010春?北京期末）已知：一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù) a、b、c，且滿足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個長方體的體積．【分析】我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)椋╝+1）（b+1）（c+1）-1,就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007,由于a、b、c均為正整數(shù)，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也為正整數(shù)，而2007只可分解為3X3X223,可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分別為3、3、223，所以 a、b、c值為2、2、222．就可求出長方體體積 abc了．【解答】解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1-1=2006,a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）-1=2006,（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只能分解為3X3X223（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分別為3、3、223「.a、b、c也只能分別為2、2、222「?長方體的體積abc=888.【點評】本題考查了三次的分解因式，做題當(dāng)中用加減項的方法，使式子滿足分解因式．（2007秋?普陀