大一學(xué)科任務(wù)-高等數(shù)學(xué)1.2數(shù)列極限

1.函數(shù)的定義2.單值函數(shù)與多值函數(shù)P43.函數(shù)的要素P4函數(shù)的兩個(gè)要素（1）定義域D

（2）對(duì)應(yīng)法則f為此，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，則為同一函數(shù)，否則，就是不同的函數(shù).例如，4.函數(shù)的定義域P4下面舉幾個(gè)特殊函數(shù)的例子：例1

取整函數(shù)P5解析法、圖象法、列表法5.函數(shù)的表示方法P4階梯型圖像例2符號(hào)函數(shù)P4應(yīng)當(dāng)指出的是，P5：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)

，而不是幾個(gè)函數(shù)。例3（補(bǔ)充題）某市出租車的乘車費(fèi)按如下規(guī)定收?。海?）若乘車路程在3公里內(nèi)，則車費(fèi)為7元；

（2）若乘車路程超過3公里，那么超過部分的車費(fèi)按每公里1.5元計(jì)算.

請(qǐng)寫出出租車的乘車費(fèi)y（元）與路程x（公里）之間的函數(shù)關(guān)系，

并分別求出乘車路程為2.5公里和13公里所需要的車費(fèi)。解：出租車的乘車費(fèi)y與路程x之間的函數(shù)關(guān)系為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

故乘車路程為2.5公里和13公里所需要的車費(fèi)分別為7元和22元.四、函數(shù)的幾種特性1.函數(shù)的單調(diào)性(Monotonicity)xyO設(shè)函數(shù)且有區(qū)間滿足稱為I

上的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù);P5為I

上的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù).P5xyOI稱為單調(diào)區(qū)間.P5稱2.函數(shù)的奇偶性(OddandEven)P6例如,P11

偶函數(shù)雙曲余弦設(shè)函數(shù)都有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:

若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有記雙曲正弦再如,奇函數(shù)雙曲正切又如,P11雙曲余切?

奇函數(shù)記3.函數(shù)的有界性(Boundedness)P7P74.函數(shù)的周期性(Periodicity)P7，P8周期為是周期函數(shù)嗎，若是，周期是多少？最小正周期是多少？是周期函數(shù)，所有有理數(shù)都是周期，無最小正周期。也沒有最大正周期任意，則五、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1.反函數(shù)(InverseFunctions)(減).且也單調(diào)遞增性質(zhì):P9其反函數(shù)(減)2)y＝f(x)單調(diào)遞增(1)原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱注意：反三角函數(shù)：P10找最靠近原點(diǎn)的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間

(3)原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域剛好互換函數(shù)的復(fù)合P9

例1、已知兩個(gè)函數(shù)y=sinu

和u=2x，把u

代入得y=sin2x

，y=sin2x

稱為這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。

的值域應(yīng)包含的定義域于不能成為復(fù)合函數(shù)P9復(fù)合函數(shù)分解為簡單函數(shù)P9由外及里逐層分解例3練一練要求分解到不能再分解為止e=2.7182818…基本初等函數(shù)P10

冪函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)：自然對(duì)數(shù)三角函數(shù)：反三角函數(shù)：

常數(shù)函數(shù)：

由基本初等函數(shù)出發(fā)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)解析式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)P10例如,雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)都是初等函數(shù).但是,前面所學(xué)的取整函數(shù)、取整函數(shù)以及狄利克雷函數(shù)都不是初等函數(shù)。第二節(jié)數(shù)列的極限(LimitsofSequences)

第一章

極限方法是高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法．

本節(jié)主要介紹數(shù)列極限的概念以及收斂數(shù)列的性質(zhì)．二、收斂數(shù)列的性質(zhì)一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義1.數(shù)列(Sequenceofnumber)P14P14數(shù)列的極限P12一尺之棰，日取其半，萬世不竭剩余長度依次為1，不為零，但無限接近零1/2，1/4，1/8，1/16，…,1/32，

我國戰(zhàn)國時(shí)期（公元前4世紀(jì)）公孫龍等人提出命題：劉徽割圓術(shù)

割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以致于不可割，則與圓周合體而無所失矣…0.00090.00990.01960.02500.03220.0909…0.99900.99010.98041.02500.96770.9090…100110151403111

設(shè)有數(shù)列{xn

}和常數(shù)a，如果對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在一個(gè)正整數(shù)

N，使得對(duì)于n>N時(shí)的一切xn，總有成立，則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn

}的極限，或稱數(shù)列{xn

}收斂于a或記作數(shù)列極限的定義P15如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散或者稱不存在數(shù)列的極限P15隨著項(xiàng)數(shù)n的增大，xn可以非常接近a（不夠確切）（精確定義）存在Exist任意Arbitrary魏爾斯特拉斯(德國，1815—1897)，19世紀(jì)中提出了精確的定義數(shù)列極限舉例P14一般的是等價(jià)的(1)設(shè)問等于什么？對(duì)求N使得當(dāng)n>N時(shí)，與其極限