專題14 解三角形（解析版）

專題14解三角形十年大數(shù)據(jù)*全景展示年份題號考點(diǎn)考查內(nèi)容2011課標(biāo)理16利用正弦定理、余弦定理解平面圖形正弦定理、三角公式、三角函數(shù)最值問題．課標(biāo)文15利用正弦定理、余弦定理解平面圖形正余弦定理及三角形面積公式2012課標(biāo)理17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形、三角形面積公式，運(yùn)算求解能力．課標(biāo)文17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形、三角形面積公式，運(yùn)算求解能力．2013卷1理17利用正弦定理、余弦定理解平面圖形利用正弦定理、余弦定理解三角形及兩角和與差公式解平面圖形卷1文10已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形二倍角公式、利用正余弦定理解三角形．卷2理17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理、兩角和與差三角公式、三角形面積公式、基本不等式等知識，函數(shù)與方程思想．卷2文4利用正弦定理、余弦定理解平面圖形利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面積公式2014卷1理16已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識卷2理4已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形三角形的面積公式、余弦定理卷1文16正余弦定理在實(shí)際測量問題中的應(yīng)用利用正余弦定理解決高度測量問題，空間想象能力．卷2文17利用正弦定理、余弦定理解平面圖形余弦定理及三角形面積公式，運(yùn)算求解能力2015卷1理16利用正弦定理、余弦定理解平面圖形利用正弦定理與余弦定理解平面四邊形，數(shù)形結(jié)合思想卷2理17利用正弦定理、余弦定理解平面圖形利用正弦定理與余弦定理解三角形中的邊角及三角形面積問題卷1文17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形、三角形面積公式，運(yùn)算求解能力．卷2文17利用正弦定理、余弦定理解平面圖形利用正弦定理與余弦定理解三角形中的邊角及兩角和的三角公式2016卷1理17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形、三角公式、三角形面積公式，運(yùn)算求解能力．卷1文4利用正弦定理、余弦定理解平面圖形余弦定理解三角形．卷2理13已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和公式、利用正弦定理解三角形．卷3理8利用正弦定理、余弦定理解平面圖形利用余弦定理解三角形．卷3文9利用正弦定理、余弦定理解平面圖形利用正弦定理解三角形．卷2文15利用正弦定理、余弦定理解平面圖形同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和正弦公式、利用正弦定理解三角形．2017卷1理17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形已知三角形的邊角關(guān)系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面積，運(yùn)算求解能力卷2理17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形已知三角形的邊角關(guān)系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面積，運(yùn)算求解能力卷3理17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形已知三角形的邊角關(guān)系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面積，運(yùn)算求解能力卷1文11利用正弦定理、余弦定理解平面圖形三角恒等變換、利用正余弦定理解三角形，轉(zhuǎn)化與化歸思想與運(yùn)勢求解能力．卷2文16已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形正弦定理、三角恒等變換與已知三角函數(shù)值求角．卷3文15利用正弦定理、余弦定理解平面圖形利用正弦定理解三角形．2018卷1理17利用正弦定理、余弦定理解平面圖形利用正弦定理、余弦定理解平面四邊形邊長及角，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．卷2理6文7利用正弦定理、余弦定理解平面圖形二倍角公式、利用余弦定理求三角形邊長．卷3理9文11已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形余弦定理、三角形面積公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系，運(yùn)算求解能力卷1文16已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形已知三角形的邊角關(guān)系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面積，運(yùn)算求解能力2019卷1理17已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形已知角的三角函數(shù)間關(guān)系，利用正弦定理、余弦定理求角及三角函數(shù)值，運(yùn)算求解能力．卷2理15已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形已知角的三角函數(shù)間關(guān)系，利用正弦定理、余弦定理求三角形角及三角形面積，運(yùn)算求解能力．卷3文理18已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形已知角的三角函數(shù)間關(guān)系、三角公式、利用正弦定理、余弦定理求三角形角及三角形面積，運(yùn)算求解能力．卷1文11已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形．卷2文15已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形已知三角函數(shù)邊角關(guān)系利用正弦定理、余弦定理求角，轉(zhuǎn)化與化歸思想．2020卷1文18解三角形余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)公式卷2理17解三角形正弦定理、余弦定理，基本不等式文17解三角形余弦定理，三角函數(shù)公式卷3理7解三角形余弦定理及其推論文11解三角形余弦定理推論，平方關(guān)系、商關(guān)系大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測高考考點(diǎn)出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測考點(diǎn)44已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形20/362021年高考仍將重點(diǎn)考查已知三角形邊角關(guān)系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面圖形的邊、角與面積，題型既有選擇也有填空更多是解答題，若考解答題，主要放在第17題位置，為中檔題，若為選題可以為基礎(chǔ)題，多為中檔題，也可為壓軸題．考點(diǎn)45利用正弦定理、余弦定理解平面圖形17/36考點(diǎn)46正余弦定理在實(shí)際測量問題中的應(yīng)用1/36十年試題分類*探求規(guī)律考點(diǎn)44已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形1．（2019?新課標(biāo)Ⅰ，文11）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，則A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】∵，，，解得，，故選．2．（2018?新課標(biāo)Ⅲ，理9文11）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若的面積為，則A． B． C． D．【答案】C【解析】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．的面積為，，，，，故選．3．（2016?新課標(biāo)Ⅰ，文4）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、．已知，，，則A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】，，，由余弦定理可得：，整理可得：，解得：或（舍去），故選．4．（2014新課標(biāo)Ⅱ，理4）鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC=()A．5B．C．2D．1【答案】B．【解析】∵，即：，∴，即或．又∵∴或5，又∵為鈍角三角形，∴，即：，故選B．5．（2013新課標(biāo)Ⅰ，文10）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，，=7，，則=．10．9．8．5【答案】D【解析】由及△ABC是銳角三角形得=，∵=7，，∴，即，解得或=（舍），故選．6．（2014江西）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴==，故選D．7．（2017山東）在中，角，，的對邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是A．B．C．D．【解析】A【解析】由，得，即，所以，即，選A．8．(2014重慶)已知的內(nèi)角，，滿足=，面積滿足，記，，分別為，，所對的邊，則下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【解析】A【解析】因為，由得，即，整理得，又，因此，由得，即，因此選項C、D不一定成立．又，因此，即，選項A一定成立．又，因此，顯然不能得出，選項B不一定成立．綜上所述，選A．9．（2014江西）在中，，，分別為內(nèi)角，，所對的邊長，若，，則的面積是（）A．3B．C．D．【解析】C【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．10．（2013遼寧）在，內(nèi)角所對的邊長分別為．若，且，則=A．B．C．D．【解析】A【解析】邊換角后約去，得，所以，但B非最大角，所以．11．（2013陜西）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則△ABC的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【解析】B【解析】∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．12．（2011遼寧）△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理，得，即，，∴．13．（2019?新課標(biāo)Ⅱ，理15）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，，則的面積為．【答案】【解析】由余弦定理有，，，，，，．14．（2018?新課標(biāo)Ⅰ，文16）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，則的面積為．【答案】【解析】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，利用正弦定文可得，由于，，所以，所以，則，由于，則：，①當(dāng)時，，解得，所以．②當(dāng)時，，解得（不合題意），舍去．故．15．（2017新課標(biāo)卷2，文16）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=【答案】【解析】由正弦定理可得16．（2016?新課標(biāo)Ⅱ，理13）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則．【答案】【解析】由，，可得，，，由正弦定理可得．17．（2014新課標(biāo)Ⅰ，理16）已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，=2，且，則面積的最大值為．【答案】【解析】由且，即，由及正弦定理得：∴，故，∴，∴，∴．18．（2014廣東）在中，角所對應(yīng)的邊分別為．已知，則．【解析】2【解析】由得：，即，，∴，故．19．（2013安徽）設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為．若，則則角_____．【解析】【解析】，，所以．20．（2012安徽）設(shè)的內(nèi)角所對的邊為；則下列命題正確的是．=1\*GB3①若；則=2\*GB3②若；則=3\*GB3③若；則=4\*GB3④若；則=5\*GB3⑤若；則【解析】①②③【解析】①②③當(dāng)時，與矛盾④取滿足得：⑤取滿足得：．21．（2012北京）在中，若，則=．【解析】4【解析】根據(jù)余弦定理可得，解得b=4．22．（2020全國Ⅰ文18）的內(nèi)角的對邊分別為．已知．（1）若，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求．【答案】（1）；（2）．【思路導(dǎo)引】（1）已知角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；（2）將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解．【解析】（1）由余弦定理可得，的面積．（2），，，．23．（2020全國Ⅱ文17）△的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，證明：△是直角三角形．【答案】（1）；（2）證明見解析．【思路導(dǎo)引】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．【解析】（1）∵，∴，即，解得，又，∴．（2）∵，∴，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，∴，故，即△是直角三角形．24．（2020全國Ⅱ理17）中，．（1）求；（2）若，求周長的最大值．【答案】（1）；（2）．【思路導(dǎo)引】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果．【解析】（1）由正弦定理可得：，，，．（2）由余弦定理得：，即．（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），周長，周長的最大值為．25．（2020江蘇16）在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，．（1）求的值；（2）在邊上取一點(diǎn)，使得，求的值．【答案】見解析【解析】（1）由余弦定理，得，因此，即，由正弦定理，得，因此．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故．26．（2020天津16）在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┣蟮闹?；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【思路導(dǎo)引】（Ⅰ）直接利用余弦定理運(yùn)算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計算即可．【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因為，所以．（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得，進(jìn)而，所以．27．（2020浙江18）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【思路導(dǎo)引】（I）首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定∠B的大??；（II）結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有∠A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定∠A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍．【解析】（I）由結(jié)合正弦定理可得：，△ABC為銳角三角形，故．（II）結(jié)合(1)的結(jié)論有：．由可得：，，則，，即的取值范圍是．28．（2020山東17）在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，？注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】詳見解析【思路導(dǎo)引】由題意結(jié)合所給的條件首先設(shè)出a，b的長度，然后結(jié)合余弦定理和正弦定理解三角形確定邊長c即可．【解析】選擇條件①的解析：由可得：，不妨設(shè)，則：，即．據(jù)此可得：，，此時．選擇條件②的解析：由可得：，不妨設(shè)，則：，即．據(jù)此可得：，則：，此時：，則：．選擇條件③的解析：由可得：，不妨設(shè)，則：，即．據(jù)此可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在．29．（2019?新課標(biāo)Ⅰ，理17）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．設(shè)．（1）求；（2）若，求．【解析】（1）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．設(shè)．則，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．30．（2019?新課標(biāo)Ⅲ，理（文）18）的內(nèi)角、、的對邊分別為，，．已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【解析】（1），即為，可得，，，若，可得，不成立，，由，可得；（2）若為銳角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形為銳角三角形，可得且，解得，可得面積，．31．（2017新課標(biāo)卷1，理17）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為．

（1）求；

（2）若，，求的周長．【解析】（1）面積．且

由正弦定理得，由得．

（2）由（1）得，

又

，，

由余弦定理得①

由正弦定理得，

②

由①②得

，即周長為32．（2017新課標(biāo)卷2，理17）的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求．【解析】（1）由題設(shè)及，故上式兩邊平方，整理得解得（2）由，故又由余弦定理及得所以b=233．（2017新課標(biāo)卷3，理17）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．【解析】（1）由得，即，又，∴，得．由余弦定理．又∵代入并整理得，故．（2）∵，由余弦定理．∵，即為直角三角形，則，得．由勾股定理．又，則，．34．（2016新課標(biāo)卷1，理17）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別別為a，b，c，已知（=1\*ROMANI）求C；（=2\*ROMANII）若的面積為，求的周長．【解析】（=1\*ROMANI）由正弦定理及得，，即，即，因為，所以，所以，所以．（=2\*ROMANII）由余弦定理得：∴∴∴周長為35．（2015新課標(biāo)Ⅰ，文17）已知分別是內(nèi)角的對邊，．（=1\*ROMANI）若，求（=2\*ROMANII）若，且求的面積．【答案】（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）1【解析】（=1\*ROMANI）由題設(shè)及正弦定理可得．又，可得，，由余弦定理可得．（=2\*ROMANII）由(1)知．因為90°，由勾股定理得．故，得．所以ABC的面積為1．36．（2013新課標(biāo)Ⅱ，理17）△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，已知=．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若=2，求△ABC面積的最大值．【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得，①又，∴=，即，∵∴，∴，∵，∴．（Ⅱ）△ABC的面積S==，由已知及余弦定理得．，∵，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，∴△ABC面積的最大值為．37．（2012新課標(biāo)，理17）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，．【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得，因為，所以由于，所以，又，故．(Ⅱ)的面積==，故=4，而故=8，解得=2．38．（2012新課標(biāo)，文17）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，．【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故．(Ⅱ)的面積==，故=4，而故=8，解得=2．39．（2014陜西）的內(nèi)角所對的邊分別為．（=1\*ROMANI）若成等差數(shù)列，證明：；（=2\*ROMANII）若成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】（1）成等差數(shù)列，由正弦定理得（2）成等比數(shù)列，由余弦定理得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）即，所以的最小值為40．（2019江蘇15）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【解析】（1）由余弦定理，得，即．所以．（2）因為，由正弦定理，得，所以．從而，即，故．因為，所以，從而．因此．41．（2019天津理15）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因為，得到，．由余弦定理可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，從而，，故．42．（2018天津）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知．(1)求角的大小；(2)設(shè)，，求和的值．【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得．(2)在中，由余弦定理及，，，有，故．由，可得．因為，故．因此，所以，43．（2016年山東）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值．【解析】(Ⅰ)由得，所以，由正弦定理，得．（Ⅱ）由．所以的最小值為．44．（2016年四川）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．（I）證明：；（=2\*ROMANII）若，求．【解析】（I）證明：由正弦定理可知原式可以化解為∵和為三角形內(nèi)角，∴則，兩邊同時乘以，可得由和角公式可知，原式得證．（II）由題，根據(jù)余弦定理可知，∵為三角形內(nèi)角，，則，即由（I）可知，∴．∴．45．（2015湖南）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，，且為鈍角．（1）證明：；（2）求的取值范圍．【解析】（1）由及正弦定理，得，所以，即．又為鈍角，因此+(，)，故=+，即=；（2）由（1）知，=(+)=(2+)=2>0，所以，于是===，因為0<<，所以0<<，因此<2．由此可知的取值范圍是（，]．46．（2012安徽）設(shè)△的內(nèi)角所對邊的長分別為，且有．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ)若，，為的中點(diǎn)，求的長．【解析】（Ⅰ）（=2\*ROMANII）在中，．47．（2011山東）在△中，，，分別為內(nèi)角，，所對的邊長．已知．（I）求的值；（II）若，，的面積．【解析】（I）由正弦定理，設(shè)則所以即，化簡可得又，所以，因此（II）由得由余弦定理解得a=1．因此c=2．又因為所以因此48．（2011安徽）在中，，，分別為內(nèi)角，，所對的邊長，a=，b=，，求邊BC上的高．【解析】由，得再由正弦定理，得由上述結(jié)果知設(shè)邊BC上的高為，則有考點(diǎn)45利用正弦定理、余弦定理解平面圖形1．（2020全國Ⅲ文11）在中，，則 （）A．B．C．D．【答案】C【思路導(dǎo)引】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求【解析】設(shè)，，，故選C．2．（2020全國Ⅲ理7）在中，，則 （）A．B．C．D．【答案】A【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案．【解析】在中，，，，根據(jù)余弦定理：，，可得，即，，故，故選A．3．（2020北京10）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)方式是 （）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時，設(shè)圓半徑為，內(nèi)接正六邊形邊長為，則，∴．設(shè)外切正六邊形邊長為，則，∴．當(dāng)時，，，∴，∴，又∵，∴．4．（2018?新課標(biāo)Ⅱ，理6文7）在中，，，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，，則，故選．5．（2017新課標(biāo)1，文11）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．【答案】B6．（2016新課標(biāo)卷3，理8）在中，，BC邊上的高等于，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】設(shè)邊上的高線為，則，所以，．由余弦定理，知，故選C．7．（2016新課標(biāo)卷3，文9）在中，，BC邊上的高等于，則（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】設(shè)邊上的高線為，則，所以．由正弦定理，知，即，解得，故選D．8．（2013新課標(biāo)Ⅱ，文4）的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，，則的面積為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】∵，，，∴由正弦定理得，解得，又，==，故選B．9．（2016年天津）在中，若，=3，，則AC=A．1 B．2 C．3 D．4【解析】A【解析】由余弦定理得，選A．10．（2013天津）在△ABC中，則=A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理可得，再由正弦定理得．11．（2012廣東）在中，若，則 A．B．C．D．【解析】B【解析】由正弦定理得：．12．（2011天津）如圖，在△中，是邊上的點(diǎn)，且，，則的值為（） A．B． C．D．【解析】D【解析】設(shè)，則，，，在中，由余弦定理得，則，在中，由正弦定理得，解得．13．（2017新課標(biāo)卷3，文15）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，則A=_________．【答案】75°【解析】由題意：，即，結(jié)合可得，則14．(2016全國新課標(biāo)卷2，文15)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，a=1，則b=____________．【答案】15．（2015新課標(biāo)Ⅰ，理16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是（）【答案】（，）【解析】如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，當(dāng)D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）．16．（2011全國課標(biāo)，理16）在中，，，則的最大值為．【答案】【解析】由正弦定理得，==，==，∴=+===（，，故的最大值為．17．（2011全國課標(biāo)，文15）中，，AC=7，AB=5，則的面積為．【答案】【解析】由余弦定理得，=，即=，即，解得=3或=－8(舍)，===．18．（2019浙江14）在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則____，________．【解析】在直角三角形ABC中，QUOTEAB=4，QUOTEBC=3，QUOTEAC=5，QUOTEsinC=45，

在QUOTE△BCD中，QUOTE322=BDsinC，可得QUOTEBD=1225；，QUOTEsin∠CBD=sin(135°-C)=22(cosC+sinC)=22×(45+35)=7210，所以QUOTEcos∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin∠CBD=7210．

19．(2018江蘇)在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為．【解析】9【解析】因為，的平分線交于點(diǎn)，所以，由三角形的面積公式可得，化簡得，又，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為9．20．(2018浙江)在中，角，，所對的邊分別為，，．若，，，則=___________，=___________．【解析】；3【解析】因為，，，所以由正弦定理得．由余弦定理可得，所以．21．（2017浙江）已知，，．

點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，，連結(jié)，則的面積是___________，=__________．【解析】，【解析】由余弦定理可得，，由所以，．因為，所以，所以，．22．(2015廣東)設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，，則．【解析】1【解析】由得或，因為，所以，所以，于是．有正弦定理，得，所以．23．（2015福建）若銳角的面積為，且，，則等于．【解析】7【解析】由已知得的面積為，所以，，所以，由余弦定理得，．24．（2015北京）在中，，，，則 ．【解析】1【解析】∵，而．25．（2015天津）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為，，，則的值為．【解析】8【解析】因為，所以，又，，解方程組，得，，由余弦定理得，所以．26．（2013福建）如圖中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，，，，則的長為_______________．【解析】【解析】∵∴根據(jù)余弦定理可得，．27．（2018?新課標(biāo)Ⅰ，理17）在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【解析】（1），，，．由正弦定理得：，即，，，，．（2），，，．28．（2015?新課標(biāo)Ⅱ，理17）中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍．（1）求；（2）若，，求和的長．【解析】（1）如圖，過作于，，平分在中，，在中，，；．分（2）由（1）知，．過作于，作于，平分，，，，令，則，，，由余弦定理可得：，，，的長為，的長為1．29．（2015新課標(biāo)Ⅱ，文17）△ABC中D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，BD=2DC．（I）求；（II）若，求．【解析】（I）由正弦定理得因為AD平分BAC，BD=2DC，所以．（II）因為所以由（I）知，所以30．（2014新課標(biāo)Ⅱ，文17）四邊形的內(nèi)角與互補(bǔ)，．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）求四邊形的面積．．【解析】（1）由題設(shè)及余弦定理得==，①==，②由=1\*GB3①=2\*GB3②得cosC=，故=60°，BD=（2）四邊形ABCD的面積S=ABDAsinA+BCCDsinC=(12+32)sin60°=31．（2013新課標(biāo)Ⅰ，理17）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=eq\r(3)，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°(1)若PB=eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；（Ⅱ）設(shè)∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化簡得，，∴=，∴=．32．（2019北京15）在中，，，．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（I）由余弦定理，得．因為，所以．解得，所以．（II）由得．由正弦定理得．在中，是鈍角，所以為銳角．所以．所以．33．（2018北京）在中，，，．(1)求；(2)求邊上的高．【解析】(1)在中，∵，∴，∴．由正弦定理得，∴．∵，∴，∴．(2)在中，∵==．如圖所示，在中，∵，∴=，∴邊上的高為．34．（2017天津）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知，，，．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）在中，因為，故由，可得．由已知及余弦定理，有，所以．由正弦定理，得．所以，的值為，的值為．（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，．故．35．（2017北京）在中，=60°，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面積．【解析】（Ⅰ）在△ABC中，因為，，所以由正弦定理得．（Ⅱ）因為，所以，由，所以．由余弦定理得，解得或（舍）．所以△ABC的面積．36．（2014山東）中，，，分別為內(nèi)角，，所對的邊長．已知．（Ｉ）求的值；（II）求的面積．【解析】（I）在中，由題意知，又因為，所有，由正弦定理可得．（II）由得，，由，得．所以．因此，的面積．37．（2014安徽）設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，且，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）∵，∴，由正弦定理得∵，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，由于，∴，故．考點(diǎn)46正余弦定理在實(shí)際測量問題中的應(yīng)用1．（2020山東15）某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的界面如圖所示．為圓孔及輪廓圓弧所在圓的圓心，是圓弧與直線的切點(diǎn)，是圓弧與直線的切點(diǎn)，四邊形為矩形，，垂足為，，，，，到直線和的距離均為，圓孔半徑為，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【思路導(dǎo)引】利用求出圓弧所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個單位圓的面積求得．【解析】解法一：過作交于，交于，過作交于，設(shè)，由已知可得，，∴，∴，∴，，，∴，，，又∵，∴，解得．∴扇形面積，，設(shè)圓孔的半徑為，則半圓孔的面積為，則，∴陰影部分面積為，∴面積為．解法二：2．（2014四川）如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度等于B．C．D．【解析】C【解析】∵，∴．3．（2014新課標(biāo)I，文16）如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)．從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測得．已知山高，則山高_(dá)_______．【答案】150m【解析】在△ABC中，∠CAB=，∠ABC=，BC=100，則AC=；在△AMC中，，，則∠AMC=，由正弦定理得，，∴AM===，在△AMN中，，，則=150m4．（2015湖北）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度m．【解析】【解析】依題意，，，在中，由，所以，因為，由正弦定理可得，即m，在中，因為，，所以，所以m．5．（2019江蘇18）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點(diǎn)P、Q，