基本不等式教案 省賽一等獎

2．2基本不等式教案新課程標(biāo)準(zhǔn)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1.掌握基本不等式\r(ab)≤\f(a＋b,2)a>0，b>0.,2.結(jié)合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.))(一)教材梳理填空(1)重要不等式?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．(2)基本不等式如果a>0，b>0，有eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．其中，eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．(3)基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，則①如果積xy等于定值P(積為定值)，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).②如果和x＋y等于定值S(和為定值)，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)對于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq\r(ab)均成立．()(2)若a，b同號，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.()(3)若a>0，b>0，則ab≤eq\f(a＋b,2)恒成立．()(4)若a>0，b>0，且a≠b，則a＋b>2eq\r(ab).()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．設(shè)x，y滿足x＋y＝40，且x，y都是正數(shù)，則xy的最大值是()A．400 B．100C．40 D．20解析：選A∵eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2)(x>0，y>0)，∴xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,2)))2＝400.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝20時，等號成立．3．不等式(x－2y)＋eq\f(1,x－2y)≥2成立的前提條件為________．解析：因為不等式成立的前提條件是各項均為正數(shù)，所以x－2y>0，即x>2y.答案：x>2y4．如果a>0，那么a＋eq\f(1,a)＋2的最小值是________．解析：因為a>0，所以a＋eq\f(1,a)＋2≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2＝2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時等號成立．答案：4題型一用基本不等式證明不等式[學(xué)透用活]對基本不等式的理解(1)基本不等式成立的條件是a>0，b>0.(2)基本不等式只有一種形式，即eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2,a2＋b2≥2ab都不是基本不等式．前兩個不等式可認(rèn)為是基本不等式的變形式，第三個不等式是重要不等式，不是基本不等式．[典例1](1)已知x，y都是正數(shù)，求證：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3；(2)已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.[證明](1)∵x，y都是正數(shù)，∴x＋y≥2eq\r(xy)>0，x2＋y2≥2eq\r(x2y2)>0，x3＋y3≥2eq\r(x3y3)>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2eq\r(xy)·2eq\r(x2y2)·2eq\r(x3y3)＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立．(2)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時，等號成立．[方法技巧]利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項策略從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．注意事項①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.[對點練清]1.已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：a＋b＋c>eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).證明：∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2eq\r(ab)>0，b＋c≥2eq\r(bc)>0，c＋a≥2eq\r(ca)>0，∴2(a＋b＋c)≥2(eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca))，即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).由于a，b，c為不全相等的正實數(shù)，故等號不成立．∴a＋b＋c>eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).2．已知a，b，c均為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1.求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.證明：因為a，b，c均為正實數(shù)，a＋b＋c＝1，所以eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，同理eq\f(1,b)－1≥eq\f(2\r(ac),b)，eq\f(1,c)－1≥eq\f(2\r(ab),c).上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)＝8.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時，等號成立．題型二利用基本不等式求最值[學(xué)透用活]利用基本不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的原則，即：(1)一正：符合基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的前提條件，a>0，b>0；(2)二定：化不等式的一邊為定值；(3)三相等：必須存在取“＝”號的條件，即“＝”號成立．以上三點缺一不可．[典例2](1)若x＜0，求eq\f(12,x)＋3x的最大值；(2)若x＞2，求eq\f(1,x－2)＋x的最小值；(3)已知0＜x＜eq\f(1,2)，求eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值．[解](1)因為x＜0，所以eq\f(12,x)＋3x＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,x)))＋－3x))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,x)))·－3x)＝－12，當(dāng)且僅當(dāng)－eq\f(12,x)＝－3x，即x＝－2時等號成立，所以eq\f(12,x)＋3x的最大值為－12.(2)因為x＞2，所以x－2＞0，eq\f(1,x－2)＋x＝eq\f(1,x－2)＋x－2＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3時等號成立，所以eq\f(1,x－2)＋x的最小值為4.(3)因為0＜x＜eq\f(1,2)，所以1－2x＞0，eq\f(1,2)x(1－2x)＝eq\f(1,4)·2x(1－2x)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq\f(1,16)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2x，即x＝eq\f(1,4)時等號成立，所以eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值為eq\f(1,16).[方法技巧]基本不等式求最值的2種常用方法拼湊法拼湊法求解最值，其實質(zhì)就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值時，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意驗證等號成立的條件常數(shù)代換法常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．應(yīng)用此種方法求解最值時，應(yīng)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘求積或相除求商[對點練清]1．[直接利用基本不等式求最值]已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則(1＋x)(1＋y)的最大值為()A．16 B．25C．9 D．36解析：選B因為x>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝9＋42＝25，因此當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時，(1＋x)(1＋y)取最大值25.2．[借助拼湊法利用基本不等式求最值]已知x＜eq\f(5,4)，則4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________．解析：因為x＜eq\f(5,4)，所以4x－5＜0，則5－4x＞0，所以4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝4x－5＋eq\f(1,4x－5)＋3.因為5－4x＋eq\f(1,5－4x)≥2eq\r(5－4x·\f(1,5－4x))＝2，所以4x－5＋eq\f(1,4x－5)≤－2.所以4x－5＋eq\f(1,4x－5)＋3≤－2＋3＝1.當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時，等號成立．故當(dāng)x＝1時，4x－2＋eq\f(1,4x－5)取最大值1.答案：13．[借助常數(shù)代換法利用基本不等式求最值]已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，則x＋y的最小值為________．解析：∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥6＋10＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12時，上式取等號．故當(dāng)x＝4，y＝12時，x＋y取得最小值16.答案：164．[利用基本不等式解決恒成立問題]已知a>0，b>0，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，則m的最大值為________．解析：由已知，可得6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝1，∴2a＋b＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2a,b)＝eq\f(2b,a)時等號成立，∴9m≤54，即m≤6.答案：6題型三利用基本不等式解應(yīng)用題[學(xué)透用活][典例3]如圖所示，用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開．(1)設(shè)場地面積為y，垂直于墻的邊長為x，試將y表示成x的表達(dá)式．(2)怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？[解](1)設(shè)場地面積為y，垂直于墻的邊長為x，它的面積y＝x(l－3x)．由x>0，且l－3x>0，可得x的范圍為0<x<eq\f(1,3)l.(2)y＝x(l－3x)＝eq\f(1,3)×3x(l－3x)≤eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋l－3x,2)))2＝eq\f(l2,12)，當(dāng)x＝eq\f(l,6)時，這塊長方形場地的面積最大，這時的長為l－3x＝eq\f(1,2)l，最大面積為eq\f(l2,12).eq\a\vs4\al([方法技巧])求實際問題中最值的解題4步驟(1)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式．(2)把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮基本不等式．(4)回到實際問題中，正確寫出答案．[對點練清]1．[利用基本不等式求實際問題中的最小值]將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2，形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費最少)的是()A．m B．mC．7m D．m解析：選C設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則eq\f(1,2)ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝4＋2eq\r(2)≈(m)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取等號)．因為要求夠用且浪費最少，故選C.2．[利用基本不等式求實際問題中的最大值]某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當(dāng)每臺機(jī)器運轉(zhuǎn)________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元．解析：每臺機(jī)器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為eq\f(y,x)＝18－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，且x>0，故eq\f(y,x)≤18－2eq\r(25)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元．答案：583．[利用基本不等式求實際問題中的最大值]某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場，其總面積為3000m2，其中場地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2m，中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地(其中兩個小場地形狀相同)，塑膠運動場地占地面積為S平方米.(1)分別寫出用x表示y和S的關(guān)系式；(2)怎樣設(shè)計能使S取得最大值，最大值為多少？解：(1)由已知xy＝3000,2a＋6＝y(tǒng)，則y＝eq\f(3000,x)(6＜x＜500)，S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)eq\f(y－6,2)＝(x－5)(y－6)＝3030－6x－eq\f(15000,x)(6＜x＜500)．(2)S＝3030－6x－eq\f(15000,x)≤3030－2eq\r(6x·\f(15000,x))＝3030－2×300＝2430.當(dāng)且僅當(dāng)6x＝eq\f(15000,x)，即x＝50時，“＝”成立，此時x＝50，y＝60，Smax＝2430.即設(shè)計x＝50m，y＝60m時，運動場地面積最大，最大值為2430m2.[課堂一刻鐘鞏固訓(xùn)練]一、基礎(chǔ)經(jīng)典題1．已知x>0，則eq\f(9,x)＋x的最小值為()A．6 B．5C．4 D．3解析：選A∵x>0，∴eq\f(9,x)＋x≥2eq\r(x·\f(9,x))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(9,x)即x＝3時取得最小值6.2．設(shè)a，b為正數(shù)，且a＋b≤4，則()\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1 B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2C．a(chǎn)b≤4 D．a(chǎn)b≥8解析：選C設(shè)a，b為正數(shù)，且a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\