第8講.競賽123班.教師版

不定方程不定方程第八講教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中。在以后初高中數(shù)學(xué)的進一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位。因此在小學(xué)階段打下扎實的基礎(chǔ)，無疑很重要。不定方程的試值技巧不定方程的經(jīng)典題例不定方程是指不定方程是指未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)，且對解有一定限制(比如要求解為正整數(shù)等)的方程。數(shù)論中最古老的分支之一。古希臘的丟番圖早在公元世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。②有解時決定解的個數(shù)。③求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究。秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設(shè)，，分別表雞翁、母、雛的個數(shù)，則此問題即為不定方程組的非負(fù)整數(shù)解，，，這是一個三元不定方程組問題。經(jīng)典精講經(jīng)典精講基本基本題型廟里有若干個大和尚和若干個小和尚，已知個大和尚每天共吃個饅頭，個小和尚每天共吃個饅頭，平均每個和尚每天恰好吃一個饅頭。問：廟里至少有多少個和尚?【分析】設(shè)有個大和尚，個小和尚，則共吃個饅頭。由“平均每個和尚每天恰好吃一個饅頭”，可列方程：，化簡為。當(dāng)，時和尚最少，有（個）。把拆成兩個數(shù)的和，一個是的倍數(shù)（要盡量?。粋€是的倍數(shù)（要大），求這兩個數(shù)。【分析】這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題。可列式，要讓取最大值，可把式子變形為，當(dāng)時，。則的拆的兩個數(shù)一是，。這種不定方程的變形求解是較實用的方法。或者直接把除以余，不是的倍數(shù)，只能退出若干個，與余數(shù)合起來是，，，，，直到出現(xiàn)的倍數(shù)為止。馬小富在甲公司打工，幾個月后又在乙公司兼職，甲公司每月付給他薪金元，乙公司每月付給他薪金元．年終，馬小富從兩家公司共獲薪金元．他在甲公司打工_____個月，在乙公司兼職______個月?！痉治觥吭O(shè)馬小富在甲公司打工月，在乙公司兼職月(，、都是不大于的自然數(shù))，則有。若為偶數(shù)，則的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字必為，這時．但時，，這與矛盾，所以必為奇數(shù)．為奇數(shù)時，的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字為，或．但時同樣會導(dǎo)出，與矛盾．所以，．。于是馬小富在甲公司打工個月，在乙公司兼職個月。小花狗和波斯貓是一對好朋友，它們在早晚見面時總要叫上幾聲表示問候。若是早晨見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲。細(xì)心的小娟對它們的叫聲統(tǒng)計了天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面．在這天內(nèi)它們共叫了聲。問：波斯貓至少叫了多少聲?【分析】早晨見面小花狗和波斯貓共叫聲，晚上見面共叫聲。設(shè)早晨見面次，晚上見面次。根據(jù)題意有（，）?？梢詼惓?，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。因為小花狗共叫聲，越大，小花狗叫得越多，波斯貓叫得越少，所以，時波斯貓叫得最少，共叫(聲)。藍(lán)天小學(xué)舉行“迎春”環(huán)保知識大賽，一共有名男女選手參加初賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，最后確定了參加決賽的人選。已知參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽的女選手人數(shù)的，而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多。參加決賽的男、女選手各有多少人？【分析】由于參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽時女選手人數(shù)的，所以參加初賽的男選手應(yīng)是的倍數(shù)，參加初賽的女選手應(yīng)是的倍數(shù)。設(shè)參加初賽的男生為人，參加初賽的女生為人。根據(jù)題意可列方程。解得，或。又因為參加決賽的女選手的人數(shù)，比參加決賽的男選手的人數(shù)多。所以第一組解不合適，只有，。故參加決賽的男選手為人，女選手為人。若用相同漢字表示相同數(shù)字，不同漢字表示不同數(shù)字，則在等式“”，“”表示的六位數(shù)最少是______?！痉治觥吭O(shè)“”?！啊?。于是。即，亦即。從而整除，并且整除，為使?jié)M足條件的“”盡可能小，我們應(yīng)該取，，但此時有相同的數(shù)字，不符合題意；再取，，此時滿足條件，于是所求為。某市電話號碼原為位數(shù)，第一次升位是在首位和第二位數(shù)字之間加上成為一個位數(shù)，第二次升位是在首位數(shù)字前加上成為一個位數(shù)，某人發(fā)現(xiàn)他家中的電話號碼升位后的八位數(shù)恰好位原來的六位數(shù)的電話號碼的倍，那么原來的電話號碼是______?！痉治觥吭O(shè)原來的電話號碼的第一位數(shù)是，后五位數(shù)是。根據(jù)題意列方程即因為為數(shù)字，的位數(shù)不超過，推算得，，所以原來的電話號碼是。某男孩在年月日說：“我活過的月數(shù)以及我活過的年數(shù)之差”，到今天為止正好就是?！闭垎枺核窃谀囊惶斐錾?？【分析】設(shè)男孩的年齡為個年和個月，即個月，由此有方程式成立，也就是，，，所以，而且，從年月日那天退回年和個月就是他的生日。年月日?！就卣埂咳舾蓪W(xué)生搬一堆磚，若每人搬塊，則剩下塊未搬走，若每人搬塊，則最后一名學(xué)生只搬塊，那么學(xué)生共有______人?！痉治觥吭O(shè)有個學(xué)生，根據(jù)磚的數(shù)量可得方程，。因為是質(zhì)數(shù)，所以和中一個是，另一個是，因為，所以。學(xué)生人數(shù)為人。不定方程不定方程求解小結(jié)含有兩個未知數(shù)的整系數(shù)不定方程求解的方法一般有兩種：（1）嘗試枚舉法：首先確定其中一個未知數(shù)的取值范圍，再將符合條件的未知數(shù)的值逐個代入方程，求出對應(yīng)的另一個未知數(shù)的值，最后檢驗該組解是否符合題目條件。一般來說，不定方程中（、、都是整數(shù)），較大系數(shù)（或）所對應(yīng)的未知數(shù)可取得的值較少，所以以該未知數(shù)的值進行嘗試枚舉比較方便。（2）整除判斷法，將其中一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)來表示，通過整除和余數(shù)的性質(zhì)判斷另一未知數(shù)可以取得哪些值。多個未知數(shù)多個未知數(shù)不定方程是由于聯(lián)立方程的條件不定方程是由于聯(lián)立方程的條件“不足”而出現(xiàn)的，從一般情況來說，有無數(shù)多個解。不過，我們要注意到它的“預(yù)定義”條件，比如未知項是自然數(shù)，比如在數(shù)位上的數(shù)碼不僅是自然數(shù)，而且是一位數(shù)等等，甚至題干中直接給出限制條件，這樣，就使得不定方程的解“定”下來了。這種情況也不排除它的取值不止一種。不定方程解的情況比較復(fù)雜，有時無法得出方程的解，有時又會出現(xiàn)多個解。如果考慮到題中以一定條件所限制的范圍，會有可能求出唯一的解或幾種可能的解（而這類題的限制范圍往往與整數(shù)的分拆有很大關(guān)系）。解答這類方程，必須要對題中明顯或隱含的條件加以判斷、推理，才能正確求解。當(dāng)不定方程（組）中所包含的未知數(shù)超過個時，通過聯(lián)立各條方程，進行消元，將多元方程組轉(zhuǎn)化為二元整系數(shù)不定方程進行處理。有一項工程，甲單獨做需天，乙單獨做需要天完成，丙單獨做需要天完成，現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了______天。【分析】設(shè)這項工程用了天，丙休息了天。，，。由上式，因為與都是的倍數(shù)，所以必須是的倍數(shù)，所以是的倍數(shù)，在的條件下，只有，一組解，即丙休息了天。頭牛賣個金幣，頭豬賣個金幣，只羊賣個金幣。有人用個金幣買了三種牲畜共頭（只），問牛、豬、羊各買了多少頭（只）？【分析】如果用未知數(shù)、、分別表示所買的牛、豬、羊的頭（只）數(shù)，則可以根據(jù)它們的總數(shù)是頭（只）和三種牲畜的總價之和是個金幣，分別列出方程。由，得。即。因、、都是自然數(shù)，所以可取、、，相應(yīng)地，的取值是、、。把、,、、、分別代入，依次可取、、。因此有三種買法：牛頭，豬頭，羊只；牛頭，豬頭，羊只；牛頭，豬頭，羊只。注：題說“有人用個金幣買了三種牲畜共頭”表示三種牲畜都買了，所設(shè)的、、必不包括。某次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備了支鉛筆作為獎品發(fā)給一、二、三等獎的學(xué)生，原計劃一等獎每人發(fā)給支，二等獎每人發(fā)給支，三等獎每人發(fā)給支，后來改為一等獎每人發(fā)支，二等獎每人發(fā)支，三等獎每人發(fā)支．那么獲二等獎的有___人?！痉治觥浚ǚㄒ唬└鶕?jù)“后來改為一等獎每人發(fā)支”，可以確定獲一等獎的人數(shù)小于。否則僅一等獎就要發(fā)不小于支鉛筆，已超過支，這是不可能的。分別考慮一等獎有人或者人的情況：獲一等獎有人時，改變后這人共多得支。而每個二等獎與每個三等獎的合在一起，仍然共得支鉛筆，這表明三等獎應(yīng)比二等獎多人，他們少得的鉛筆數(shù)正好是一等獎多得的，但，所以這種情況不可能發(fā)生。獲一等獎有1人時，類似前種情況的討論，可以確定獲三等獎的人數(shù)比二等獎多人，獲二等獎的有(人)。經(jīng)檢驗，獲一等獎人，獲二等獎人，獲三等獎人符合題目要求。（法二）設(shè)一、二、三等獎的人數(shù)分別有、、人，則有方程組：將消元，則有，顯然的該屆方程的正整數(shù)解只有，繼而可得到。所以獲一、二、三等獎的人數(shù)分別有、、人。某次聚餐，每一個男賓付元，每一位女賓付元，每帶一個孩子付元，現(xiàn)在的成人各帶一個孩子，總共收了元，問：這活動共有多少人參加（成人和孩子）？【分析】設(shè)男賓有人，女賓有人，則由題意得方程，即，有四組解：，，和，但能被整除，只能取后兩組。所以，這活動共有人或人參加?！就卣埂繂挝坏穆毠さ浇纪庵矘?，其中有男職工，也有女職工，并且有三分之一的職工各帶一個孩子參加。男職工每人種棵樹，女職工每人種棵樹，每個孩子都種棵樹，他們一共種了棵樹，那么其中有多少名男職工？【分析】因有的職工各帶一個孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是的倍數(shù)。設(shè)男職工有人，女職工人。則職工總?cè)藬?shù)是人，孩子是人。得到方程：。化簡得：。因男職工與女職工的人數(shù)都是整數(shù)。所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)，。，是的倍數(shù)。符合題意。，不是的倍數(shù)。不合題意。所以其中有12名男職工?！就卣埂坑袃尚《汛u頭，如果從第一堆中取出塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍。如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么乙一隊將是第二堆的倍。問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？【分析】設(shè)第一堆磚有塊，則第二堆磚有塊。再設(shè)從第二堆中取出塊放在第一堆，第一堆將是第二堆的倍，可列方程，。因為是整數(shù)，與互質(zhì)，所以應(yīng)是的倍數(shù)，最小是。推知最小是，所以，磚頭最少有塊。

附加題目附加題目碼頭在碼頭的的上游，遙控艦?zāi)拇a頭出發(fā)，在兩個碼頭之間往返航行，已知艦?zāi)Ｔ陟o水中的速度是每分鐘米，水流的速度是每分鐘米，出發(fā)后分鐘，艦?zāi)Ｎ挥诖a頭的下游米。問：碼頭和碼頭之間的距離是多少米？【分析】艦?zāi)拇a頭順流而下米，航行時間（分鐘），（分鐘）。因此，艦?zāi)３霭l(fā)后第分鐘又回到碼頭。所以，在這分鐘中，艦?zāi)ｍ樍餍旭偟穆烦膛c逆流行駛的路程相同。設(shè)在分鐘中，艦?zāi)ｍ樍骱叫械臅r間為，逆流航行的時間是，順流航行的速度為（米/分鐘），應(yīng)當(dāng)有，解得（分鐘）。因此，出發(fā)分鐘后艦?zāi)５目偟暮匠淌牵祝?。?）設(shè)兩個碼頭的距離是米，則，其中是整數(shù)，則。由于，所以，，即，米。所以兩個碼頭之間的距離為米。如圖，小明家和小強家相距千米，小強家與公園相距千米．小明從家騎車出發(fā)去公園，小強從家出發(fā)，步行去公園．當(dāng)小明到達(dá)學(xué)校時，他立即棄車步行；又過了一會兒，當(dāng)小強到達(dá)學(xué)校時，他立即開始騎車．兩人同時于下午到達(dá)公園．如果兩人步行速度相同，騎車速度也相同，那么學(xué)校與公園相距多少千米?【分析】設(shè)相距千米，騎車速度和步行速度為和。那么有：三個未知數(shù)有兩個方程，顯然要么無解，要么有無數(shù)組解。事實上只要注意到：方程滿足時，取任意值，都成立。但是步行速度和騎車速度是不可能相等的。兩方程相加得到：，,代入第一條方程：。因式分解：，因為，所以千米。如圖是一種電腦射擊游戲的示意圖：線段，和的長度都是厘米，，，分別是它們的中點，并且位于同一條線段上，厘米，．已知上的小圓環(huán)的速度是每秒厘米，上小圓環(huán)的速度是每秒厘米，上小圓環(huán)的速度是每秒厘米。零時刻，，，上各有一個小圓環(huán)從左端點同時開始在線段上往返運動。問：此時，從點向發(fā)射一顆子彈，要想穿過三個圓環(huán)，子彈的速度最大為每秒多少厘米？【分析】設(shè)子彈速度是。則有：子彈穿過CD上的圓環(huán)：；①子彈穿過EF上的圓環(huán)：；②子彈穿過GH上的圓環(huán)：．③這里＜＜都是正整數(shù)。解①，得到或代入②，得到：；代入③，得到：，和互質(zhì)，并且，要求速度最大，則正整數(shù)應(yīng)當(dāng)盡可能小，所以，，代入，得到最大速度是。鞏固精練鞏固精練小龍的儲蓄罐里有角、角、元三種硬幣，正好是元，他的儲蓄罐里硬幣的總枚數(shù)有多少種可能？【答案】（種）。袋子里有三種球，分別標(biāo)有數(shù)字，和，小明從中摸出幾個球，它們的數(shù)字之和是。問：小明最多摸出幾個標(biāo)有數(shù)字的球？【分析】設(shè)摸出標(biāo)有數(shù)字，和的球分別為,，個，于是有，得由于，都是正整數(shù)，因此在中，取時．取最大值。個大、中、小號鋼珠共重克，大號鋼珠每個重克，中號每個重克，小號每個重克。問：大、中、小號鋼珠各多少個?【解】設(shè)大、中號鋼珠分別有，個，則小號鋼珠有個。由題意可得，化簡得?？汕蟪稣麛?shù)解，，。張師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，李師傅每天能縫制件上衣或件裙褲，兩人天共縫制上衣和裙褲件，那么其中上衣是多少件？【分析】如果天都縫制上衣，共件，，這就要把上衣?lián)Q成裙褲，張每天可多換件，李每天可多換件，設(shè)張縫制裙褲天，李縫制裙褲天，則，整數(shù)解只有，。因此共縫裙褲件，上衣共件?；@球運動起源于１８９１年，由美國的體育教師詹姆士·奈史密斯博士發(fā)明。１９３６年柏林奧運會上，男子籃球比賽第一次被列為正式比賽項目。女子籃球到１９７６年蒙特利爾奧運會上才被正式納入。奧運會上只設(shè)男子和女子團隊兩塊金牌。