函數(shù)模型的應用實例

函數(shù)模型的應用實例一、教學內(nèi)容普通高中課程標準實驗教科書（人民教育出版社A版）數(shù)學1（必修），3.2.2函數(shù)模型的應用實例.二、教學目標知識與技能目標：1.能根據(jù)圖象和表格提供的有關信息和數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模型；2.會利用建立的函數(shù)模型解決實際問題；3.培養(yǎng)學生閱讀理解、抽象概括、數(shù)據(jù)處理、語言轉(zhuǎn)換、數(shù)學建模等數(shù)學能力.過程與方法目標：1.通過實例分析，使學生感受函數(shù)的廣泛應用，體會建立函數(shù)模型解決實際問題的思維過程；2.滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)換等數(shù)學思想方法.情感、態(tài)度與價值觀目標：1.讓學生體驗“問題解決”的成功喜悅，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心；2.培養(yǎng)學生的應用意識、創(chuàng)新意識和探索精神，優(yōu)化學生的理性思維和求真務實的科學態(tài)度；3.經(jīng)歷建立函數(shù)模型解決實際問題的過程，領悟“認識來源于實踐又服務于實踐”的辯證觀點.三、教材分析本小節(jié)教材共有4個例題，大致分為兩類，其中例3和例5是根據(jù)圖表信息建立確定性函數(shù)模型解決實際問題；例4和例6是建立擬合函數(shù)模型解決實際問題.本小節(jié)分兩個教學課時，本節(jié)課是第一課時.我以教材例3和例5為基礎，分別在圖形和數(shù)表兩種不同應用情境中，引導學生自主建立函數(shù)模型來解決實際問題.因此，本節(jié)課的教學重點是：根據(jù)圖、表信息建立函數(shù)模型解決實際問題.四、學情分析學生已掌握了一些基本初等函數(shù)的相關知識，并在上一節(jié)《幾類不同增長的函數(shù)模型》的學習中，初步體會了建立函數(shù)模型解決實際問題的過程，這為本節(jié)課的學習奠定了知識基礎.但學生的應用意識、應用能力比較弱，且正確運用數(shù)學知識解決實際問題，需要有較高的抽象概括能力、整體駕馭能力和局部處理能力，這些能力要求對學生的學習造成了一定的困難.因此，本節(jié)課的教學難點是：將實際問題抽象為數(shù)學問題，完成從文字語言、圖表語言向符號語言的轉(zhuǎn)化，并建立函數(shù)模型.五、教學過程（一）交流成果

提出課題

學生交流上節(jié)課作業(yè)題“請舉出生活中函數(shù)模型的應用實例”的成果，提出課題.【設計意圖】讓學生體會函數(shù)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，感受建立函數(shù)模型解決實際問題的必要性，從而激發(fā)他們的學習內(nèi)驅(qū)力，也很自然地引入課題.（二）分析探究

解決實例【例1】一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關系，如圖1所示.（1）求出圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際意義；（2）假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2010km，試建立行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)s(km)與時間t(h【教學活動1】第（1）題：陰影部分面積為五個小矩形的面積之和，那么只要知道求其中一個矩形的面積并知道其實際意義，就能解決整個問題.因此，我借助多媒體設置動畫，引導學生對第一個矩形進行分析，讓學生說出它的長度、寬度各是多少？其實際意義分別是什么？根據(jù)“矩形面積＝長×寬＝速率×時間＝路程”，學生就能很快說出第一個矩形的面積及其實際意義，整個問題也就迎刃而解了.【設計意圖】利用從“局部到整體”、“特殊到一般”的思想分析問題,從而化解難點,教會學生分析問題的方法.【教學活動2】第（2）題：重點分析如何建立s與t的函數(shù)關系式.由于“汽車里程表讀數(shù)s＝2022＋汽車行駛路程”，而汽車行駛的路程＝速率×時間，分析v與t的圖象，得v是t的分段函數(shù)，從而s是t的分段函數(shù).求這個分段函數(shù)的解析式，關鍵是求出前兩段的函數(shù)解析式.其中求第二段函數(shù)解析式是難點.由第一問可知“路程”的幾何意義為“圖形的面積”，于是可以將求路程轉(zhuǎn)化為求圖形的面積.設置多媒體動畫重點分析：t在0至2小時內(nèi)變化時，s與t的函數(shù)解析式變化，使得有效突破難點.然后讓學生自主完成整個題目的解答，并利用實物投影儀展示學生的解答過程，師生共同點評，得出下列結(jié)論：（1）陰影部分的面積為50×1＋80×1＋90×1＋75×1+65×1＝360.陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km.

(2)據(jù)v與t的關系圖，有這個函數(shù)的圖象如圖2所示.【設計意圖】通過本例的教學，讓學生體會建立分段函數(shù)模型的思維過程，培養(yǎng)學生讀圖、識圖、解圖、畫圖的能力，滲透數(shù)形結(jié)合、分類整合的數(shù)學思想，養(yǎng)成自主探究與合作交流相結(jié)合的學習習慣.

【例2】某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關系如下表所示：銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？【教學活動】對本例的教學，重點解決如下三個問題：（1）指導學生審題后提煉出題目中的已知條件與要解決的任務.已知：固定成本為200元；每桶水的進價是5元；銷售單價與日均銷售量之間的數(shù)據(jù)表格；任務：定價為多少時利潤最大？（2）指導學生分析表格數(shù)據(jù)，建立日均銷售量與銷售單價之間的函數(shù)模型；從而建立利潤與售價之間的函數(shù)關系；（3）實際問題中自變量取值范圍的確定.為此我設計了下列問題，引導學生自主探究、討論交流：①利潤與哪些量有關？試用等式表示.利潤＝銷售的金額－銷售成本－固定成本（或利潤＝單桶水的銷售利潤×銷售量－固定成本）.②分析表格數(shù)據(jù)，日均銷售量隨銷售單價的變化規(guī)律是什么？銷售單價在6元基礎上每漲價1元銷售量就減少40桶.③當銷售單價為x元/桶時，銷售量為多少？銷售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).④銷售單價x受哪些條件的制約？其取值范圍是什么？x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18.在解決上述問題后要求學生自主完成本例的解答，再用實物投影儀展示學生的解題作品.考慮到本例的自變量還可以是每桶水在進價基礎上的增加量，因而我設置了鏈接，以達到預設與生成的和諧統(tǒng)一.【設計意圖】讓學生體驗解決實際問題的過程和方法.培養(yǎng)學生分析歸納、概括能力.從而初步體驗解應用題的規(guī)律和方法.通過上述分析，預設學生得出以下兩種解法：解法一：設每桶水定價為x元時，日均銷售利潤為y元.因為銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶，則日均銷售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).由于x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18，所以y＝(720－40x)(x－5)－200＝－40x2＋920x－3800，5＜x＜18.易知，當x＝時，y有最大值.故將銷售單價定為元，就可獲得最大的利潤.解法二：設每桶水在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元.因為銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶，則日均銷售量＝480－40(x－1)＝520－40x(桶).由于x＞0且520－40x＞0，即0＜x＜13，所以y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.易知，當x＝時，y有最大值.故將銷售單價定為元，就可獲得最大的利潤.【設計意圖】通過本例的教學，使學生感知提取數(shù)表信息、抽象函數(shù)關系的思維過程，領悟建立函數(shù)模型解決最值問題的基本方法，滲透化歸轉(zhuǎn)換的數(shù)學思想.（三）反思過程

發(fā)現(xiàn)規(guī)律【教學活動】通過比較、概括上述兩個實例的求解過程，我引導學生總結(jié)出建立函數(shù)模型解決實際問題的思維流程：【設計意圖】學會歸納、總結(jié)解決數(shù)學問題的思維方法，掌握建立函數(shù)模型解決實際問題的一般規(guī)律，提高理性思維能力.（四）反饋調(diào)控

方法遷移【練習】某上市公司股票在30天內(nèi)每股的日交易均價P(元)與時間t(天)組成有序數(shù)對(t，P)，且點(t，P)落在圖中的兩條線段上.該股票在30天內(nèi)（含30天）的日交易量Q(萬股)與時間t(天)的部分數(shù)據(jù)如下表所示：第t天4101622Q(萬股)36302418

（1）寫出這支股票每股的日交易均價P（元）與時間t（天）所滿足的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q(萬股)與時間t(天)的一次函數(shù)關系式；（3）求這30天中第幾天的日交易額最大，最大值為多少萬元？【教學活動】通過前面的學習與思考，學生對解決這類問題已有一定的方法基礎，面對本題表現(xiàn)出一種一展身手的亢奮狀態(tài).我要求學生以自主探索與合作交流相結(jié)合的方式對本問題求解，老師巡視答疑，再抽取幾份不同解答的答卷作實物投影展示，師生一起評價、糾錯，形成共同解答.【解析】(1)當時,設,由圖象得，解得，即；同樣的方法可求得當時，.

綜上可得，(2)設,由題意知：，即，解得.所以：（3）設第t天的日交易額為f(t)萬元，則

即

當時，當時，所以這30天中第15天的日交易額最大，最大日交易額為125萬元.【設計意圖】選擇一個既有圖形，又有數(shù)表的實例，能有效地檢測、反饋學生對兩類建立函數(shù)模型的應用問題的掌握程度，同時培養(yǎng)學生在綜合問題情境中對知識和方法的遷移能力.（五）歸納小結(jié)

深化認識引導學生從總結(jié)解題方法，提煉數(shù)學思想等方面對本節(jié)課所學內(nèi)容進行歸納小結(jié).（1）建立函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟是什么？（2）在本節(jié)課的學習過程中，運用到了哪些數(shù)學思想方法？【設計意圖】啟發(fā)學生對本節(jié)課學習的內(nèi)容進行總結(jié)，提醒學生重視研究問題的方法和過程.（六）布置作業(yè)

鞏固提高課外作業(yè)：必做題：教材P106練習第1題，P107習題3.2A組第3，4題

選做題：P108習題組第2題.【設計意圖】讓學生鞏固函數(shù)建模的思想方法，并進行自我檢測與評價.通過分層作業(yè)，體現(xiàn)對不同能力層次的學生有不同學習要求.《函數(shù)模型的應用實例》教學設計說明一、教材分析“加強數(shù)學應用，形成和發(fā)展學生的數(shù)學應用意識”是新課標數(shù)學教育教學的基本理念之一，為此，新課標實驗教材（人教A版）特將“函數(shù)的應用”獨立成章，其中“函數(shù)模型的應用實例”是本章教材的核心內(nèi)容.從教材體系和內(nèi)容分析，本小節(jié)教材內(nèi)容彰顯如下三個特點：

（1）教材圍繞具體實例展開研究，各例題涉及的實際問題既有社會性，又具有濃郁的生活氣息，在情感上體現(xiàn)了一種親和力，易于學生理解和接受.

（2）在知識層面上本節(jié)教材沒有新增內(nèi)容，要求學生運用已有函數(shù)知識，體會建立函數(shù)模型的過程，感受函數(shù)在生產(chǎn)、生活、科學、社會等領域中的廣泛應用，理解函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，培養(yǎng)數(shù)學建模能力.

（3）本小節(jié)教材是上小節(jié)“幾類不同增長的函數(shù)模型”的延續(xù)和發(fā)展.上小節(jié)主要學習如何根據(jù)給定的幾個函數(shù)模型，通過比較其增長速度，選擇合適的函數(shù)模型解決實際問題.本小節(jié)要求根據(jù)背景材料中的有關信息，建立函數(shù)模型解決實際問題，體現(xiàn)了更高層次的能力要求.

本小節(jié)是一節(jié)例題教學課，教材共安排了4個例題(例3～例6)，大致分為兩類，其中例3和例5是根據(jù)圖、表信息建立確定的函數(shù)模型解決實際問題，例4和例6是建立函數(shù)模型對樣本數(shù)據(jù)進行擬合，再根據(jù)擬合函數(shù)模型解決實際問題.本小節(jié)分兩個教學課時，本節(jié)課是第一課時.我將以教材例3和例5為基礎，分別在圖形和數(shù)表兩種不同應用情境中，引導學生自主建立函數(shù)模型來解決實際問題.二、教學目標分析知識與技能目標：1.通過例3的教學，使學生能根據(jù)圖象信息建立分段函數(shù)模型；通過例5的教學，使學生能根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)抽象出函數(shù)模型；2.學生在根據(jù)圖表信息建立函數(shù)模型后，要求會利用所建立的函數(shù)模型解決實際問題，體現(xiàn)函數(shù)建模的應用價值；3.解決數(shù)學應用性問題，是培養(yǎng)學生閱讀理解、抽象概括、數(shù)據(jù)處理、語言轉(zhuǎn)換等數(shù)學能力的良好契機.過程與方法目標：1.函數(shù)模型的應用實例源于生產(chǎn)、生活實際，通過實例分析，學生可感受到函數(shù)的廣泛應用，并體會到建立函數(shù)模型解決實際問題的思維過程；2.在實例的分析和解決過程中，需要運用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)換等數(shù)學思想方法，學生可從中領悟這些數(shù)學思想方法的內(nèi)涵特征.情感、態(tài)度與價值觀目標：1.通過函數(shù)建模解決實際問題，是數(shù)學“問題解決”的教學情境之一，借此可激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，增強學生學好數(shù)學的自信心；2.數(shù)學建模是培養(yǎng)學生的應用意識、創(chuàng)新意識、探索精神和實踐能力的重要途徑，通過函數(shù)建模解決實際問題可以優(yōu)化學生的理性思維和求真務實的科學態(tài)度；3.函數(shù)概念源于生產(chǎn)、生活實際，通過函數(shù)建模又能夠解決實際問題，學生可從中領悟到“認識來源于實踐又服務于實踐”的辯證觀點.三、教學問題診斷高一學生通過數(shù)學必修①前兩章的學習，已經(jīng)理解了函數(shù)的概念，掌握了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對函數(shù)知識有了初步的應用能力，這為本節(jié)課的學習奠定了知識基礎.運用數(shù)學知識解決實際問題，需要有一定的閱讀理解、抽象概括、數(shù)據(jù)處理、語言轉(zhuǎn)換等數(shù)學能力，而高一學生的應用意識和應用能力比較弱，這些要求對學生的學習造成了一定的困難.在思維層面上，學生往往不能深刻理解題意，不善于將實際問題抽象為一個數(shù)學問題來解決.因此在本節(jié)應用實例課的教學過程中，我將重點放在“審題”和“建?！眱蓚€環(huán)節(jié)上，著重引導學生怎樣“審題”，以及如何提煉圖表信息建立函數(shù)模型.本節(jié)課以教材例3和例5為載體展開教學，對例3學生可能遇到的困難是：①不明確行駛速率v與時間t的關系圖中陰影部分的面積的實際含義；②不能正確表達各時間段汽車里程表讀數(shù)s與時間t的函數(shù)關系.對例5學生可能遇到的困難是：①不理解數(shù)據(jù)表格中銷售單價與日均銷售量的函數(shù)關系；②不會用銷售單價x表示日均銷售量和日均銷售利潤；③不能準確寫出函數(shù)的定義域.四、教法特點與預期效果本節(jié)課我將遵循“教師的主導作用和學生的主體地位相統(tǒng)一的教學原則”，采用以問題為載體，以學生中心，以方法