函數(shù)單調(diào)性的判定方法(高中數(shù)學(xué))

5例6.利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)f(x)x1；g(x)2x； h(x) 2xx1在［-3,3］上的單調(diào)性。分析：觀察三個(gè)函數(shù)，易見h(x)f(x)g(x),作圖一般步驟為列表、描點(diǎn)、作圖。首先作出f(x)x和g(x)2x的圖像，再利用物理學(xué)上波的疊加就可以大致作出 h(x) 2xx1的圖像，最后利用圖像判斷函數(shù)h(x)2xx1的單調(diào)性。解：作圖像1-2如下所示：由以上函數(shù)圖像得知函數(shù) f(x)x1在閉區(qū)間［-3,3］上是單調(diào)增函數(shù)；g(x)2x在閉區(qū)間［-3,3］上是單調(diào)增函數(shù)；利用物理上波的疊加可以直接大致作出 h(x) 2xx1在閉區(qū)間［-3,3］上圖像，即h(x)2xx1在閉區(qū)間［-3,3］上是單調(diào)增函數(shù)。事實(shí)上本題中的三個(gè)函數(shù)也可以直接用函數(shù)性質(zhì)法判斷其單調(diào)性。用函數(shù)圖像法判斷函數(shù)單調(diào)性比較直觀，函數(shù)圖像能夠形象的表示出隨著自變量的增加，相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢，但作圖通常較煩。對于較容易作出圖像的函數(shù)用圖像法比較簡單直觀，可以類似物理上波的疊加來大致畫出圖像。而對于不易作圖的函數(shù)就不太適用了。但如果我們借助于相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件去作函數(shù)的圖像，那么用圖像法判斷函數(shù)單調(diào)性是非常簡單方便的。復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法定理1：若函數(shù)yf(u)在U內(nèi)單調(diào)，ug(x)在X內(nèi)單調(diào)，且集合{u|ug(x),xX}U(1)若yf(u)是增函數(shù)，ug(x)是增(減)函數(shù)，則yf［g(x)］是增(減)函數(shù)。(2)若yf(u)是減函數(shù)，ug(x)是增(減)函數(shù)，則yf［g(x)］是減(增)函數(shù)。歸納此定理，可得口訣：同則增，異則減(同增異減)

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的四種情形可列表如下:'''''函數(shù)單調(diào)性第①種情形第②種情形第③種情形第④種情形內(nèi)層函數(shù)ug(x)外層函數(shù)yf(u)復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]顯然對于大于2次的復(fù)合函數(shù)此法也成立。推論：若函數(shù)yf(x)是K(K>2),KN)個(gè)單調(diào)函數(shù)復(fù)合而成其中有 mK個(gè)減函數(shù):①當(dāng)m2k1時(shí)，則yf(x)是減函數(shù)；②當(dāng)m2k時(shí)，則y f(x)是增函數(shù)。判斷復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]的單調(diào)性的一般步驟：⑴合理地分解成兩個(gè)基本初等函數(shù) yf(u),ug(x);⑵分別解出兩個(gè)基本初等函數(shù)的定義域；⑶分別確定單調(diào)區(qū)間；⑷若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是同時(shí)單調(diào)遞增或同單調(diào)遞減，則 yf[g(x)]為增函數(shù),若為一增一減，則yf[g(x)]為減函數(shù)(同增異減)；⑸求出相應(yīng)區(qū)間的交集，既是復(fù)合函數(shù) yf[g(x)]的單調(diào)區(qū)間。以上步驟可以用八個(gè)字簡記“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解決一些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題。0且a1)的單調(diào)區(qū)間。例7.求f(x)loga(3x25x2)(0且a1)的單調(diào)區(qū)間。解：由題可得函數(shù)f(x)由題知函數(shù)f(x)的定義域是(loga(3x25x2)是由外函數(shù)ylogau和內(nèi)函數(shù)u3x2解：由題可得函數(shù)f(x)由題知函數(shù)f(x)的定義域是(1，2)(1,

1，2)(1,

3)。內(nèi)函數(shù)u3x5x2在(-,)內(nèi)為增函數(shù)，在(，2)

3內(nèi)為減函數(shù)。①若a1,外函數(shù)ylogau為增函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)f(x)在(1 )上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)3，在，2上是減函數(shù)。②若0a1,外函數(shù)ylogau為減函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)f(x)在(1 )上是減函數(shù)；函數(shù)3，f(x)在，2上是增函數(shù)。2.判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法如果一個(gè)函數(shù)沒有給出具體解析式，那么這樣的的函數(shù)叫做抽象函數(shù)。抽象函數(shù)沒有具體的解析式，需充分提取題目條件給出的信息。定義法通過作差(或者作商)，根據(jù)題目提出的信息進(jìn)行變形， 然后與0(或者1)比較大小關(guān)系來判斷其函數(shù)單調(diào)性。通常有以下幾種方法：2.1.1湊差法根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，設(shè)法從題目中“湊出” “f(x1)f(x2)”的形式，然后比較f(x1)”*2)與0的大小關(guān)系。例11.已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)m、n均有f(mn)f(m)f(n),且當(dāng)m0時(shí)，f(m)0,試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。解：由題得f(mn)f(m)f(n),令x1 m n,x2 m,且 x1 x2 ,n x1 x2 0又由題意當(dāng)m0時(shí)，f(m)0 f(xjf(x2)f(n)0,所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)。添項(xiàng)法弄清題目中的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用加減添項(xiàng)或乘除添項(xiàng)，以達(dá)到能判斷“ f(x2)f(x1)”與0大小關(guān)系的目的。例12.(同例11)解:任取x1,x2 R,x1 x2，則x2 x1 0, f(x2) f(x1) f[(x2 x1) x1] f(x1)由題意函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)m、n均有f(mn)f(m)f(n),且當(dāng)m0時(shí),

f(m)0 f(X2)f(X1)f(X2X1)0,所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)。增量法由單調(diào)性的定義出發(fā),任取X1，X2由單調(diào)性的定義出發(fā),任取X1，X2R,X1 X2設(shè)X2xi( 0),然后聯(lián)系題目提取的信息給出解答。例13.(同例11)解：任取X1,X2R,X1X2設(shè)x2X1(0)由題意函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)m、n均有f(mn)f(m)f(n)f(X2)f(X1)f(X1f(X1解：任取X1,X2R,X1X2設(shè)x2X1(0)由題意函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)m、n均有f(mn)f(m)f(n)f(X2)f(X1)f(X1f(X1)f(m0時(shí),f(m)0f(X2)f(X1)f()0(0),所以函數(shù)f(X)為增函數(shù)。2.1.4放縮法利用放縮法，判斷f(X1)與f(X2)的大小關(guān)系，從而得f(X)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。例14.已知函數(shù)f(X)的定義域?yàn)?0,+8),對任意正實(shí)數(shù)m、n均有f(mn)f(m)f(n),且當(dāng)m1時(shí)0f(m)1,判斷函數(shù)f(X)的單調(diào)性.再由解：設(shè)0x1 x2,則X2X11又當(dāng)m1時(shí)0f(m)1,故0f(世)1X1f(mn)f(m)f(n)中令m，一， 1 ,，一， 1 ,，X1時(shí)，一1,由f(1)X一一1 f(X)f(一)易知此時(shí)f(X)X1,故f(x)0恒成立。因此f(X2因此f(X2) f(X2X1) f(-X2-)f(X1)1f(X1) f(X1)X1X1f(X2)f(X1),觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。即f(x)在(0,+°°)上為單調(diào)遞減函數(shù)。,觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。X1,XX1,X2當(dāng)X1X2時(shí)，容易得出f(X1)-f(X2)與0大小關(guān)系的函數(shù)。定義法是最直接的方法，思路也比較清晰，在解題中靈活選擇湊差法、添項(xiàng)法、增量法、放縮法等恰當(dāng)?shù)姆椒?，可使解題過程更加簡單方便。列表法對于比較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，除了用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法外，還可以用列表，將各個(gè)函數(shù)的單調(diào)性都列出來，然后再判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性。例15.已知yf(x)在R上是偶函數(shù)，且在[0,+ )上是增函數(shù)，求f(2x2)是減函數(shù)的區(qū)間解：列表如下函數(shù)表達(dá)式單調(diào)性(，衣)[<2,0)[0,<2)N'2)y2x2yf(u)yf(2x2)由表知f(2x2)是減函數(shù)的區(qū)間(,22),[0,<12)o利用列表法比較直觀，精確、易懂、量與量之間的關(guān)系又很明確。列表法在實(shí)際生活當(dāng)中應(yīng)用也是比較廣泛的。但是列表法也有其局限性：在于適用題型狹窄，求解范圍小，大部分是跟探尋規(guī)律或反映規(guī)律有關(guān)。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)非常重要的性質(zhì)，本文從單調(diào)性的定義入手，總結(jié)了判斷單調(diào)性的常見方法。本文把函數(shù)分為具體函數(shù)和抽象函數(shù)兩大類進(jìn)行討論，對于每類函數(shù)都給出了判定單調(diào)性的若干方法。對于具體的函數(shù)，我們可以