中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五-幾何最值的解題策略課件

屠園實(shí)驗(yàn)學(xué)校伏建明中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五-------幾何最值的解題策略屠園實(shí)驗(yàn)學(xué)校伏建明最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無(wú)論是代數(shù)問(wèn)題還是幾何問(wèn)題都有最值問(wèn)題,在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論(如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)以及用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值問(wèn)題.宿遷中考在2015,2016年連續(xù)2年都出現(xiàn)幾何問(wèn)題的最值問(wèn)題,考生得分率普遍不高,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起關(guān)注,預(yù)計(jì)2017年宿遷中考會(huì)出現(xiàn)幾何最值問(wèn)題的選擇題或解答題.最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無(wú)論是代數(shù)問(wèn)題還是幾何問(wèn)題都有1.在求幾何圖形中的周長(zhǎng)或線段長(zhǎng)度最值時(shí),解決此類問(wèn)題的方法一般是先將要求線段(要求的量)用未知數(shù)x表示出來(lái),建立函數(shù)模型(一般所表示的式子為一次函數(shù)解析式或二次函數(shù)解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函數(shù)關(guān)系式,再用函數(shù)的增減性或最值來(lái)求解即可.2.利用對(duì)稱的性質(zhì)求兩條線段之和最小值的問(wèn)題,解決此類問(wèn)題的方法為:如圖,要求直線l上一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A,B距離之和的最小值,先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,則A'B與直線l的交點(diǎn)即為P點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱性可知此時(shí)A'B的長(zhǎng)即為PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.1.在求幾何圖形中的周長(zhǎng)或線段長(zhǎng)度最值時(shí),解決此類問(wèn)題的方法題型1

三角形中最值問(wèn)題典例1

(2016·江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),將△CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是

.

題型1三角形中最值問(wèn)題【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計(jì)算.由于FP的長(zhǎng)度是不變的,于是P點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),由此可確定點(diǎn)P在什么位置時(shí)到邊AB的距離最小.如圖,當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),PF的長(zhǎng)固定不變,即PF=CF=2.∴點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB交☉F于P,垂足為H,此時(shí)PH最短,此時(shí)△AFH∽△ABC,∴

【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計(jì)算.由于FP的長(zhǎng)度是不題型2

四邊形中最值問(wèn)題典例2

(2016·江蘇常州)如圖,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC,則四邊形PCDE面積的最大值是

.

題型2四邊形中最值問(wèn)題【解析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、不等式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí),根據(jù)題意建立不等式、轉(zhuǎn)化不等式是解答此題的關(guān)鍵.△APB中,因?yàn)锳B=2,∠APB=90°,所以AP2+PB2=AB2=4,因?yàn)?AP-PB)2≥0,所以AP2+PB2≥2AP·PB,所以2AP·PB≤4,AP·PB≤2,因?yàn)椤鰽BD,△APE和△BPC都是等邊三角形,所以AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PE·PC≤2,又∠EAP=∠DAB=60°,所以∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB,所以△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC,同理EP=DC,所以四邊形PCDE是平行四邊形,所以EP∥DC,因?yàn)椤螮PA=∠CPB=60°,∠APB=90°,所以∠EPC=360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°,因?yàn)镋P∥DC,∠DCP+∠EPC=180°,所以∠DCP=180°-∠EPC=30°,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥DC于點(diǎn)Q,因?yàn)椤螾QC=90°,所以PQ==1,所以四邊形PCDE面積的最大值是1.【答案】1【解析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、不等式、平行四邊形的判定與【方法歸納】本題借助不等式“a2+b2≥2ab”通過(guò)代換轉(zhuǎn)化來(lái)求平行四邊形面積的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和整體思想的運(yùn)用.【方法歸納】本題借助不等式“a2+b2≥2ab”通過(guò)代換轉(zhuǎn)化題型3

圓中最值問(wèn)題典例3

在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點(diǎn)P在BC上,點(diǎn)Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如圖1,當(dāng)PQ∥AB時(shí),求PQ的長(zhǎng)度;題型3圓中最值問(wèn)題思考與分析【解析】本題考查解直角三角形與勾股定理等知識(shí).(1)連接OQ,在Rt△OPB中求出OP的長(zhǎng),在Rt△OPQ中求出PQ的長(zhǎng)即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的長(zhǎng)為定值,則OP最小時(shí),PQ最大,此時(shí)OP⊥BC,即可求解.思考與分析【解析】本題考查解直角三角形與勾股定理等知識(shí).(1中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五--------幾何最值的解題策略課件中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五--------幾何最值的解題策略課件【歸納總結(jié)】此題綜合性強(qiáng),解題方法很多,考查范圍較廣,與初中數(shù)學(xué)很多內(nèi)容有關(guān),如勾股定理、圓周角定理及推論、垂徑定理、相似、三角函數(shù)、二次函數(shù)、垂線段的性質(zhì)、二次根式的計(jì)算與化簡(jiǎn)等.考查了多種數(shù)學(xué)思想,如建模思想、化歸思想等.此題難度中等,有一定的靈活性,考生不易拿滿分.【歸納總結(jié)】此題綜合性強(qiáng),解題方法很多,考查范圍較廣,與初中21345671.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為

()【解析】設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P',連接BD,P'D.∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P'處時(shí),PD+PE最小.∵正方形ABCD的面積為16,∴AB=4,又∵△ABE是等邊三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值為4.C21345671.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE21345673.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+2上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,以AC為對(duì)角線作矩形ABCD,連接BD,則對(duì)角線BD的最小值為

.

【解析】本題考查拋物線性質(zhì)和矩形性質(zhì).由拋物線y=x2-2x+2=(x-1)2+1得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),∵四邊形ABCD是矩形,∴BD=AC,∴當(dāng)BD最小時(shí)AC最小.∵點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+2上,∴當(dāng)點(diǎn)A是拋物線的最低點(diǎn),即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)時(shí),AC最小為1,∴BD的最小值為1.

121345673.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在拋物線y=2134567【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問(wèn)題.當(dāng)PM⊥AB時(shí),PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB.對(duì)于直線y=

2134567【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問(wèn)題.21345675.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,點(diǎn)M,N分別在邊OA,OB上,且OM=1,ON=3,點(diǎn)P,Q分別在邊OB,OA上,則MP+PQ+QN的最小值是

.

【解析】如圖,作點(diǎn)M關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)M‘,點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N’,連接M‘N’分別交ON,OA于點(diǎn)P,Q,此時(shí)MP+PQ+QN的值最小.由對(duì)稱性質(zhì)知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.連接ON‘,OM’,則∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M'N'=

21345675.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,21345677.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180°),記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P.(1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí),線段BD1的長(zhǎng)等于

,線段CE1的長(zhǎng)等于

.(直接填寫結(jié)果)

(2)如圖2,當(dāng)α=135°時(shí),求證:BD1=CE1,且BD1⊥CE1.(3)①設(shè)BC的中點(diǎn)為M,則線段PM的長(zhǎng)為

;②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為

.

21345677.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB2134567解:(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),∴AE=AD=2,∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180°),∴當(dāng)α=90°時(shí),AE1=2,∠E1AE=90°,

2134567解:(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,2134567(2)當(dāng)α=135°時(shí),∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到,∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°,在△D1AB和△E1AC中,∴△D1AB≌△E1AC(SAS),∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA,記直線BD1與AC交于點(diǎn)F,∴∠BFA=∠CFP,∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.

2134567(2)當(dāng)α=135°時(shí),2134567(3)①如圖①,∵∠CPB=∠CAB=90°,BC的中點(diǎn)為M,2134567(3)①如圖①,∵∠CPB=∠CAB=90°,2134567②如圖②,作PG⊥AB,交AB所在直線于點(diǎn)G,∵D1,E1在以A為圓心,AD為半徑的圓上,當(dāng)BD1所在直線與☉A相切時(shí),直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大,

2134567②如圖②,作PG⊥AB,交AB所在直線于點(diǎn)G,屠園實(shí)驗(yàn)學(xué)校伏建明中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五-------幾何最值的解題策略屠園實(shí)驗(yàn)學(xué)校伏建明最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無(wú)論是代數(shù)問(wèn)題還是幾何問(wèn)題都有最值問(wèn)題,在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論(如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)以及用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值問(wèn)題.宿遷中考在2015,2016年連續(xù)2年都出現(xiàn)幾何問(wèn)題的最值問(wèn)題,考生得分率普遍不高,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起關(guān)注,預(yù)計(jì)2017年宿遷中考會(huì)出現(xiàn)幾何最值問(wèn)題的選擇題或解答題.最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無(wú)論是代數(shù)問(wèn)題還是幾何問(wèn)題都有1.在求幾何圖形中的周長(zhǎng)或線段長(zhǎng)度最值時(shí),解決此類問(wèn)題的方法一般是先將要求線段(要求的量)用未知數(shù)x表示出來(lái),建立函數(shù)模型(一般所表示的式子為一次函數(shù)解析式或二次函數(shù)解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函數(shù)關(guān)系式,再用函數(shù)的增減性或最值來(lái)求解即可.2.利用對(duì)稱的性質(zhì)求兩條線段之和最小值的問(wèn)題,解決此類問(wèn)題的方法為:如圖,要求直線l上一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A,B距離之和的最小值,先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,則A'B與直線l的交點(diǎn)即為P點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱性可知此時(shí)A'B的長(zhǎng)即為PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.1.在求幾何圖形中的周長(zhǎng)或線段長(zhǎng)度最值時(shí),解決此類問(wèn)題的方法題型1

三角形中最值問(wèn)題典例1

(2016·江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),將△CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是

.

題型1三角形中最值問(wèn)題【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計(jì)算.由于FP的長(zhǎng)度是不變的,于是P點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),由此可確定點(diǎn)P在什么位置時(shí)到邊AB的距離最小.如圖,當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),PF的長(zhǎng)固定不變,即PF=CF=2.∴點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB交☉F于P,垂足為H,此時(shí)PH最短,此時(shí)△AFH∽△ABC,∴

【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計(jì)算.由于FP的長(zhǎng)度是不題型2

四邊形中最值問(wèn)題典例2

(2016·江蘇常州)如圖,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC,則四邊形PCDE面積的最大值是

.

題型2四邊形中最值問(wèn)題【解析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、不等式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí),根據(jù)題意建立不等式、轉(zhuǎn)化不等式是解答此題的關(guān)鍵.△APB中,因?yàn)锳B=2,∠APB=90°,所以AP2+PB2=AB2=4,因?yàn)?AP-PB)2≥0,所以AP2+PB2≥2AP·PB,所以2AP·PB≤4,AP·PB≤2,因?yàn)椤鰽BD,△APE和△BPC都是等邊三角形,所以AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PE·PC≤2,又∠EAP=∠DAB=60°,所以∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB,所以△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC,同理EP=DC,所以四邊形PCDE是平行四邊形,所以EP∥DC,因?yàn)椤螮PA=∠CPB=60°,∠APB=90°,所以∠EPC=360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°,因?yàn)镋P∥DC,∠DCP+∠EPC=180°,所以∠DCP=180°-∠EPC=30°,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥DC于點(diǎn)Q,因?yàn)椤螾QC=90°,所以PQ==1,所以四邊形PCDE面積的最大值是1.【答案】1【解析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、不等式、平行四邊形的判定與【方法歸納】本題借助不等式“a2+b2≥2ab”通過(guò)代換轉(zhuǎn)化來(lái)求平行四邊形面積的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和整體思想的運(yùn)用.【方法歸納】本題借助不等式“a2+b2≥2ab”通過(guò)代換轉(zhuǎn)化題型3

圓中最值問(wèn)題典例3

在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點(diǎn)P在BC上,點(diǎn)Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如圖1,當(dāng)PQ∥AB時(shí),求PQ的長(zhǎng)度;題型3圓中最值問(wèn)題思考與分析【解析】本題考查解直角三角形與勾股定理等知識(shí).(1)連接OQ,在Rt△OPB中求出OP的長(zhǎng),在Rt△OPQ中求出PQ的長(zhǎng)即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的長(zhǎng)為定值,則OP最小時(shí),PQ最大,此時(shí)OP⊥BC,即可求解.思考與分析【解析】本題考查解直角三角形與勾股定理等知識(shí).(1中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五--------幾何最值的解題策略課件中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)五--------幾何最值的解題策略課件【歸納總結(jié)】此題綜合性強(qiáng),解題方法很多,考查范圍較廣,與初中數(shù)學(xué)很多內(nèi)容有關(guān),如勾股定理、圓周角定理及推論、垂徑定理、相似、三角函數(shù)、二次函數(shù)、垂線段的性質(zhì)、二次根式的計(jì)算與化簡(jiǎn)等.考查了多種數(shù)學(xué)思想,如建模思想、化歸思想等.此題難度中等,有一定的靈活性,考生不易拿滿分.【歸納總結(jié)】此題綜合性強(qiáng),解題方法很多,考查范圍較廣,與初中21345671.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為

()【解析】設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P',連接BD,P'D.∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P'處時(shí),PD+PE最小.∵正方形ABCD的面積為16,∴AB=4,又∵△ABE是等邊三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值為4.C21345671.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE21345673.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+2上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,以AC為對(duì)角線作矩形ABCD,連接BD,則對(duì)角線BD的最小值為

.

【解析】本題考查拋物線性質(zhì)和矩形性質(zhì).由拋物線y=x2-2x+2=(x-1)2+1得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),∵四邊形ABCD是矩形,∴BD=AC,∴當(dāng)BD最小時(shí)AC最小.∵點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+2上,∴當(dāng)點(diǎn)A是拋物線的最低點(diǎn),即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)時(shí),AC最小為1,∴BD的最小值為1.

121345673.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在拋物線y=2134567【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問(wèn)題.當(dāng)PM⊥AB時(shí),PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB.對(duì)于直線y=

2134567【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問(wèn)題.21345675.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,點(diǎn)M,N分別在邊OA,OB上,且OM=1,ON=3,點(diǎn)P,Q分別在邊OB,OA上,則MP+PQ+QN的最小值是

.

【解析】如圖,作點(diǎn)M關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)M‘,點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N’,連接M‘N’分別交ON,OA于點(diǎn)P,Q,此時(shí)MP+PQ+QN的值最小.由對(duì)稱性質(zhì)知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.連接ON‘,OM’,則∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M'N'=

21345675.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,21345677.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180°),記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P.(1)如