【數(shù)學(xué)競賽】浙江省寧波市海曙區(qū)2021-2022學(xué)年七校競賽聯(lián)考九年級尖子班選拔數(shù)學(xué)卷（含答案）

數(shù)學(xué)競賽----新初三尖子班選拔卷一．選擇題（共10小題，每題5分）1．已知實數(shù)α，β滿足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值為（）A． B． C． D．2．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝75°，∠BAD＝150°，BC＝6，對角線AC⊥AD，P是線段AC上的動點，Q是射線DA上的動點，當(dāng)四邊形BPDQ為平行四邊形時，則平行四邊形BPDQ的面積是（）A．9﹣3 B．6 C．9 D．63．如圖，正方形ABCD的頂點B在原點，點D的坐標(biāo)為（4，4），將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點B落在點B′處，DE⊥BB′于點E，則點E的坐標(biāo)為（）B．C． D．4．如圖，四邊形OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸上，位于第一象限的點A和第二象限的點C分別在雙曲線y＝和y＝的一支上，分別過點A，C作x軸的垂線垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：①ON＝OM；②△OMA≌△ONC；③陰影部分面積是（k1+k2）；④四邊形OABC是菱形，則圖中曲線關(guān)于y軸對稱，其中正確的結(jié)論是（）A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①④5．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝5，BE⊥AD垂足為E，交AC于點F，且DE＝2，S△ADF＝，點G從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線A﹣D﹣C運動，到達(dá)點C終止，設(shè)點G的運動時間為t秒，△FDG的面積為S，則S的最大值為（）A．6.25 B．3.75 C．5.25 D．6．如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上運動（不與點A，B重合），∠DAM＝45°，點F在射線AM上，且AF＝BE，CF與AD相交于點G．連接EC、EF、EG．下列結(jié)論：①∠ECF＝45°；②△AEG的周長為（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④當(dāng)G是線段AD的中點時，BE＝a．正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，M，N分別是AD、BC的中點，AB＝6，CD＝3，則MN的長可能是（）A．3.6 B．4.5 C．1.4 D．5.48．反比例函數(shù)和（k為大于1的定值）在第一象限的圖象如圖所示，點P在上．過點P作PA⊥y軸于點A，與交于點C；過點P作PB⊥x軸于點B，與交于點D，連接OP、OC、OD、AB和CD．四邊形PCOD的面積記為S1，△OCD的面積記為S2．下列結(jié)論不正確的是（）A．S1為定值 B． C．S2不為定值 D．AB∥CD9．代數(shù)式+的最小值是（）A． B． C． D．10．約定：若函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于原點對稱，則把該函數(shù)稱為“黃金函數(shù)”，其圖象上關(guān)于原點對稱的兩點叫做一對“黃金點”．若點A（1，m），B（n，﹣4）是關(guān)于x的“黃金函數(shù)”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一對“黃金點”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線x＝2的右側(cè)，有結(jié)論①a+c＝0；②b＝4；③a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．則下列結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④二．填空題（共8小題，每題6分）11．對于三個實數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個數(shù)中最小的數(shù)．例如：M{1，2，9}＝＝1．請結(jié)合上述材料，解決下列問題：（1）M{32，（﹣3）2，﹣32}＝；（2）若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，則x＝．12．如圖，矩形OABC的頂點A和C分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象過點B，D為AB中點，連接CD，過點O作OE⊥CD于點E，連接AE，若AE＝3，CD＝，則k＝．13．將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，所得新函數(shù)的圖象與直線y＝x+b的圖象恰有2個公共點時，則b的取值范圍為．14．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，連接AE，G為AE上的一點，且∠FGE＝45°，則GF的長為．15．如圖，三個邊長均為的正方形重疊在一起，O1，O2分別是兩個正方形的中心，則陰影（重疊）部分的面積為．16．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．17．若實數(shù)a，b，c滿足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，則a+b+c＝．18．如圖，A，B兩點在雙曲線y1＝（x＞0）上，C，D兩點在雙曲線y2＝（m＞1，x＞0）上，若AC∥BD∥x軸，且BD＝2AC，則△OAB的面積為．三．解答題（共4小題）19．（12分）小明在解方程﹣＝2時采用了下面的方法：由（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有﹣＝2，可得+＝8，將這兩式相加可得，將＝5兩邊平方可解得x＝﹣1，經(jīng)檢驗x＝﹣1是原方程的解．請你學(xué)習(xí)小明的方法，解下面的方程：（1）方程的解是；（2）解方程+＝4x．20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A（2，4）和點B（m，﹣2）．（1）（2分）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）直線AB與x軸交于點D，與y軸交于點C．①（4分）過點C作CE∥x軸交反比例函數(shù)y＝的圖象于點E，連接AE，試判斷△ACE的形狀，并說明理由；②（6分）設(shè)M是x軸上一點，當(dāng)∠DCO＝2∠CMO時，直接寫出點M的坐標(biāo)．21．（12分）正方形ABCD中，E、F是AD上的兩個點，AE＝DF，連CF交BD于點M，連AM交BE于點N，連接DN．如果正方形的邊長為2．（1）求證：BE⊥AM；（2）求DN的最小值．22．（16分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點A（1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x＝﹣．（1）（3分）求拋物線的解析式；（2）（5分）在直線BC上方的拋物線上有一動點M，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，交直線BC于點D；是否存在點M，使得MD+DC取得最大值，若存在請求出它的最大值及點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）（8分）如圖2，若點P是拋物線上另一動點，且滿足∠PBC+∠ACO＝45°，請直接寫出點P的坐標(biāo)．?dāng)?shù)學(xué)競賽卷答案一．選擇題（共10小題）1．A．2．B．3．D．4．D．5．A．6．B．7．A．8．C．9．B．10．C．二．填空題（共8小題）11．（1）3．（2）﹣2或﹣3．12．12．13．﹣3＜b＜1或b＞134．14．315．4．16．22．17．-52．18．三．解答題（共4小題）19．解：（1）（x2+42+=(＝（x2+42）﹣（x2+10）＝32∵x2∴x2+42-x2+10∴x∵(x2+42)2∴x＝±39，經(jīng)檢驗x＝±39都是原方程的解，∴方程x2+42+x2故答案為：x＝±39．（2）（4x2+6x-5=(＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x∵4x2+6x-5∴4x2+6x-5-4x2-2x-5∴4x2∵(4x∴4x2+6x﹣5＝4x2+4x+1，∴2x＝6，解得x＝3，經(jīng)檢驗x＝3是原方程的解，∴方程4x2+6x-5+4x220．解：（1）∵點A（2，4）和點B（m，﹣2）都在反比例函數(shù)y=k∴2×4＝﹣2m＝8＝k2，∴m＝﹣4，∴B（﹣4，﹣2），將點A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y＝k1x+b得，2k∴k1∴y＝x+2，∴反比例函數(shù)解析式為y=8x，一次函數(shù)解析式為y＝x（2）①在y＝x+2中，當(dāng)x＝0時，y＝2，∴C（0，2），∵CE∥x軸，∴C點的縱坐標(biāo)為2，∴8x∴x＝4，∴E（4，2），作AH⊥CE于H，∴CH＝AH＝HE＝2，∴∠HCA＝∠HAC＝∠HAE＝∠HEA＝45°，∴CA＝EA，∠CAE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，②當(dāng)點M在D點左側(cè)時，由①知，△COD是等腰直角三角形，∵∠DCO＝2∠CMO，∴∠DMC＝∠DCM，∴DM＝CD，∵OD＝OC＝2，∴CD＝MD＝22，∴M（﹣2﹣22，0），根據(jù)對稱性可知，當(dāng)點M在點D右側(cè)時，M（2+22，0），綜上：M（﹣2﹣22，0）或（2+22，0）．21．（1）證：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝DC，∠BAE＝∠CDF＝90°，又AE＝DF，∴△ABE≌△DCF，∴∠ABE＝∠DCF，∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∠CDM＝∠ADM，∴△ADM≌△CDM∴∠DCM＝∠DAM，∴∠ABE＝∠DAM，∴∠ABE+∠BAM＝∠DAM+BAM＝90°，∴∠ANB＝90°，則BE⊥AM；（2）解：取AB中點P，連PN、PD，由（1）知：△ABN、△APD均為直角三角形，∴PN=12AB＝1，PD∴DN≥PD﹣PN=5-則DN的最小值為5-122.解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=-3∴-b∴b＝3a，∴y＝ax2+3ax+c，將A（1，0）、C（0，4）代入y＝ax2+3ax+c，∴a+3a+c=0c=4∴a=-1c=4∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）存在點M，使得MD+22令y＝0，則﹣x2﹣3x+4＝0，∴x＝﹣4或x＝1，∴B（﹣4，0），∵OB＝OC＝4，∴∠CBO＝45°，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴b=4-4k+b=0∴k=1b=4∴y＝x+4，設(shè)M（m，﹣m2﹣3m+4），則D（m，m+4），∵M(jìn)N⊥x軸，∴MD＝﹣m2﹣4m，如圖1，過點D作DG⊥y軸交于點G，∵∠DCG＝45°，∴CD2＝2DG2，∴DG=22∵DG＝﹣m，∴MD+22DC＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+52∴當(dāng)m=-52時，MD+22此時M（-52，（3）如圖2，當(dāng)P點在BC上方時，作A點關(guān)于y軸的對稱點E，∵A（1，0），∴E（﹣1，0），∴∠ACO＝∠ECO，∵∠BCO＝45°，∠PBC+∠ACO＝45°，∴∠BCE＝∠PBC，∴EC∥PB，設(shè)直線EC的解析式為y＝k'x+b'，∴b'=4-k'+b'=0∴k'=4b'=4∴y＝4x+4，∴PB的直線解析式為y＝4x+16，聯(lián)立y=4x+16y=-∴x=-3y=4或x=-4∴P（﹣3，4）；如圖3，當(dāng)P點在BC下方