2022-2023學(xué)年上海市上海中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市上海中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合中，共有（

）個數(shù)是7的整數(shù)倍.A．21 B．22 C．23 D．24【答案】C【分析】由題意可令，求出的范圍即可求解【詳解】令，由題意可得，解得，所以，所以滿足條件的整數(shù)共有個，故選：C2．將12根長度相同的小木棍通過粘合端點的方式（不可折斷），不可能拼成（

）.A．正三棱柱 B．正四棱錐 C．正四棱柱 D．正六棱錐【答案】D【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.【詳解】正三棱柱中9條棱長度可以完全相同，故A成立；正四棱錐中5條棱長度可以完全相同，故B成立；正四三棱柱中12條棱長度可以完全相同，故C成立；因為正六邊形的中心到六個頂點的距離都等于邊長，所以正六棱錐的側(cè)棱長總比底邊長，故D不成立；故選：D.3．已知正五棱錐的外接球的球心為點O，△PAB的外心是點，則異面直線與PA所成角為（

）.A．54° B．60° C．72° D．90°【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)即可求解作答.【詳解】點O為正五棱錐的外接球球心，而點是的外心，即點是球O被平面PAB截得的截面小圓圓心，于是得平面PAB，而平面PAB，因此，所以異面直線與PA所成角為.故選：D4．圖中的十面體的面是由四個正五邊形，四個三角形和兩個正方形組成的，則圖中上正方形面積是下正方形面積的（

）倍.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由圖形分析出上下底面正方形的邊長，即可求解【詳解】觀察兩個相鄰的正五邊形，它們的組成的圖形是對稱的，由于它們的一側(cè)可以夾一個正方形，所以另一側(cè)也可以加一個正方形，因此，圖中的三角形為等腰直角三角形，不妨設(shè)正五邊形的邊長為，則等腰直角三角形的斜邊為，所以下底面正方形的邊長為1，上底面正方形的邊長為，所以上底面正方形的面積為2，下底面正方形的面積為1，所以上正方形面積是下正方形面積的2倍，故選：B二、填空題5．已知等差數(shù)列{}滿足，則___．【答案】##0.5【分析】設(shè)公差為，由已知遞推式有求公差，進(jìn)而可得的值.【詳解】若數(shù)列{}的公差為，而，故，又.故答案為：6．已知向量與垂直，則m的值為______.【答案】【分析】直接根據(jù)向量垂直計算得到答案.【詳解】，解得.故答案為：7．在正方體中，______.【答案】##【分析】根據(jù)給定條件，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合空間向量運(yùn)算求解作答.【詳解】在正方體中，，所以.故答案為：8．已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則這個圓錐的表面積等于______．【答案】【分析】根據(jù)圓錐軸截面的定義結(jié)合正三角形的性質(zhì)，可得圓錐底面半徑長和高的大小，由此結(jié)合圓錐的表面積公式，能求出結(jié)果．【詳解】∵圓錐的軸截面是正三角形，邊長等于2∴圓錐的高，底面半徑.∴這個圓錐的表面積：.故答案為．【點睛】本題給出圓錐軸截面的形狀，求圓錐的表面積，著重考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓錐的軸截面等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．已知球的表面積為，則它的體積為__________.【答案】【分析】先計算球的半徑，再求體積【詳解】設(shè)球的半徑為R,則故答案為：10．已知，與、的夾角都是60°，且，，，則______.【答案】【分析】利用向量模的計算公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】因為，與、的夾角都是60°，且，，，所以，所以，所以，故答案為：.11．已知等差數(shù)列滿足，，記表示數(shù)列的前n項和，則當(dāng)時，n的取值為______.【答案】【分析】根據(jù)題意得到，，計算得到，，得到答案.【詳解】，故，，故，故，，.，故.故答案為：12．一個正三棱柱各面所在的平面將空間分成______部分．【答案】21【分析】三棱柱三個側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱兩個平行的底面又在這個基礎(chǔ)上分成3大部分，由此可得解.【詳解】三棱柱三個側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱兩個平行的底面又在這個基礎(chǔ)上分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面將空間分成部分故答案為：21【點睛】思路點睛：本題考查將空間分成幾部分的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意三棱柱的結(jié)構(gòu)特征及平面的基本性質(zhì)及推論的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.13．設(shè)正四面體ABCD的棱長為1，點M、N滿足，，則______.【答案】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求兩點間的距離.【詳解】如圖,將正四面體ABCD放在正方體中,則正方體的邊長為,因為，,所以,所以,所以.故答案為：.14．將邊長為24、20、16的三角形沿三條中位線折疊成一個四面體，則該四面體的體積為______.【答案】【分析】由題意可知該四面體的四個面都是一個邊長分別為的三角形，故該四面體可放置與一個長方體中，即可求解【詳解】由題意可知該四面體的四個面都是一個邊長分別為的三角形，故該四面體可放置與一個長方體中，即圖中的三棱錐，不妨設(shè)，則，設(shè)，則，解得，所以，所以，故答案為：15．已知的三邊長為4、4、3，它的外接圓恰好是球O的一個大圓，P為球面上一點.若點P到的三個頂點的距離相等，則三棱錐的體積為______.【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，求出球O的半徑，過P作平面于點，證明與點O重合作答.【詳解】依題意，不妨令，則，有，因此的外接圓半徑，即球O的半徑為，過點P作平面于點，如圖，因，于是得，即點是外心，與點O重合，又點P在三棱錐的外接球球面上，則點P是球O直徑的一個端點，即有，，所以三棱錐的體積是.故答案為：416．在一個的長方體黑盒內(nèi)，每個面的內(nèi)壁都裝有平面鏡，八個角均鑿了小孔，一束激光從某個孔射入，入射光線與該孔所對應(yīng)的三條棱的夾角均彼此相同，則該束光線經(jīng)過______次反射后穿出盒外.【答案】21【分析】作出空間直角坐標(biāo)系，得出三個坐標(biāo)軸坐標(biāo)的變化規(guī)律，得出光束的路徑，進(jìn)而求出光反射的次數(shù).【詳解】解：由題意，在的長方體中，入射光線與該孔所對應(yīng)的三條棱的夾角均彼此相同∴沿對角線入射，∴各坐標(biāo)變化規(guī)律如下：建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：假設(shè)光線從點射入，則光線路徑如下：根據(jù)光線路徑可知，共經(jīng)過了21次反射.∴該束光線經(jīng)過了21次反射.故答案為：21.三、解答題17．如圖，已知該幾何體由底面半徑均為3的圓柱和圓錐粘合而成，它們的母線長均為5，求該幾何體的體積.【答案】【分析】由圓錐與圓柱的體積公式求解即可【詳解】由題意可知圓錐的高為，所以圓錐的體積為，圓柱的體積為，所以該幾何體的體積為18．已知空間中三點、、.(1)當(dāng)與的夾角為鈍角時，求k的范圍；(2)求原點O到平面ABC的距離.【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）求出向量坐標(biāo)，再利用向量夾角為鈍角，結(jié)合向量數(shù)量積列式求解作答.（2）求出平面ABC的法向量，利用點到平面距離公式計算作答.【詳解】（1）因點、、，則，，，因當(dāng)與的夾角為鈍角，則，且與不共線，當(dāng)時，，解得，當(dāng)與共線時，存在實數(shù)t，有，于是得，解得，因此與不共線，則，所以k的范圍是.（2）由（1）知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以原點O到平面ABC的距離19．如圖，正四棱錐的底面面積為4，一條側(cè)棱長為.(1)求PA和DC的所成角的余弦值；(2)求側(cè)棱PA和側(cè)面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）因為，則PA和DC的所成的角為或其補(bǔ)角，由余弦定理求解即可；（2）連接交于點，連接，則易知兩兩垂直，故以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可【詳解】（1）因為正四棱錐的底面面積為4，一條側(cè)棱長為，所以，又，所以PA和DC的所成的角為或其補(bǔ)角，因為，所以PA和DC的所成角的余弦值為；（2）連接交于點，連接，則易知兩兩垂直，故以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，設(shè)PA和平面PBC所成的角為，則，所以PA和平面PBC所成角的正弦值為20．已知底面ABCD為菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截后的幾何體如圖所示，若，，.(1)求BE的長；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)1(2)【分析】（1）由面面平行性質(zhì)可得AEFG為平行四邊形，根據(jù)即可得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求得平面BEC和平面AEC的法向量，利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）由題意底面ABCD為菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截幾何體，因為面面，面面，面面，由面面性質(zhì)定理可知，同理，即四邊形AEFG為平行四邊形，，∴，即，∴.（2）以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，過O平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，即，，，設(shè)面AEC法向量為，則，∴，設(shè)，則，設(shè)平面BEC法向量為，則，設(shè)，則，所以，由圖知二面角的余弦值為.21．在四面體ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點，E、F分別是AB、BC邊上的點，且.(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)若平面EFGH截四面體ABCD所得的五面體的體積占四面體ABCD的，求k的值.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行的傳遞性證明即可；（2）延長，則必交于點，利用相似比求解即可【詳解】（1）連接，因為H、G分別是AD、CD的中點，所以，又，所以，