2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試卷與答案

絕密★啟用前2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A.B.C.D.2.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A.B.C.D.3.設有下面四個命題若復數(shù)滿足，則；若復數(shù)滿足，則；若復數(shù)滿足，則；若復數(shù)，則.其中的真命題為A.B.C.D.4．記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2 C．4 D．85．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是A． B． C． D．6.展開式中的系數(shù)為A.15B.20C.30D.357.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A.10B.12C.14D.168.右面程序框圖是為了求出滿足3n-2n>1000的最小偶數(shù)n，則在和兩個空白框中，可以分別填入A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A1000和n=n+1D.A1000和n=n+29.已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，則下面結(jié)正確的是A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C210.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1及C交于A、B兩點，直線l2及C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16B．14C．12D．1011.設xyz為正數(shù)，且，則A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z12.幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們退出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是26，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.則該款軟件的激活碼是A.440 B.330 C.220 D.110二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=.14.設x，y滿足約束條件，則的最小值為.15.已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A及雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點。若∠MAN=60°，則C的離心率為________。16.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。學科網(wǎng)（一）必考題：60分。17.（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.19．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)．（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學期望；學科&網(wǎng)（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i=1,2,…,16．用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ（精確到0.01）．附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ–3σ<Z<μ+3σ)=0.9974，0.997416≈0.9592，．20.（12分）已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設直線l不經(jīng)過P2點且及C相交于A，B兩點.若直線P2A及直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.21.（12分）已知函數(shù)=ae2x+（a﹣2）ex﹣x.討論的單調(diào)性；若有兩個零點，求a的取值范圍.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4-4，坐標系及參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.（1）若a=-1，求C及l(fā)的交點坐標；（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a.23.[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）當a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍.2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）理科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。已知集合，則（）A． B．C． D．A，∴，，選A如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）A． B． C． D．B設正方形邊長為，則圓半徑為則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為則此點取自黑色部分的概率為故選B設有下面四個命題（）：若復數(shù)滿足，則；：若復數(shù)滿足，則；：若復數(shù)滿足，則；：若復數(shù)，則．A． B． C． D．B設，則，得到，所以.故正確；若，滿足，而，不滿足，故不正確；若，，則，滿足，而它們實部不相等，不是共軛復數(shù)，故不正確；實數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故正確；記為等差數(shù)列的前項和，若，則的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．8C聯(lián)立求得得選C函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）A．B．C．D．D因為為奇函數(shù)，所以，于是等價于|

又在單調(diào)遞減

故選D展開式中的系數(shù)為A．B．C．D．C.

對的項系數(shù)為

對的項系數(shù)為，∴的系數(shù)為故選C某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個面中有若干是梯形，這些梯形的面積之和為A．B．C．D．B由三視圖可畫出立體圖

該立體圖平面內(nèi)只有兩個相同的梯形的面故選B右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)，則在和兩個空白框中，可以分別填入A．和 B．和C．和 D．和D因為要求大于1000時輸出，且框圖中在“否”時輸出

∴“”中不能輸入

排除A、B

又要求為偶數(shù)，且初始值為0，

“”中依次加2可保證其為偶

故選D已知曲線，，則下面結(jié)論正確的是（）A．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線D，首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導公式處理．．橫坐標變換需將變成，即．注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號外面，這時平移至，根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．已知為拋物線：的交點，過作兩條互相垂直，，直線及交于、兩點，直線及交于，兩點，的最小值為（）A． B． C． D．A設傾斜角為．作垂直準線，垂直軸

易知同理，

又及垂直，即的傾斜角為

而，即．，當取等號

即最小值為，故選A設，，為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．D取對數(shù)：.

則，故選D幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件，為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，在接下來的三項式，，，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪．則該款軟件的激活碼是（）A． B． C． D．A設首項為第1組，接下來兩項為第2組，再接下來三項為第3組，以此類推．設第組的項數(shù)為，則組的項數(shù)和為

由題，，令→且，即出現(xiàn)在第13組之后第組的和為

組總共的和為若要使前項和為2的整數(shù)冪，則項的和應及互為相反數(shù)

即→則故選A填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知向量，的夾角為，，，則________．∴設，滿足約束條件，則的最小值為_______．不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由得，求的最小值，即求直線的縱截距的最大值當直線過圖中點時，縱截距最大由解得點坐標為，此時已知雙曲線，（，）的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓及雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為_______．如圖，，∵，∴，∴又∵，∴，解得∴如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，、、為元上的點，，，分別是一，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱錐．當?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_______．由題，連接，交及點，由題，，即的長度及的長度或成正比

設，則，

三棱錐的高則令，，令，即，則

則體積最大值為解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為．（1）求；（2）若，，求的周長．本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎知識的綜合應用.

（1）面積.且由正弦定理得，由得.

（2）由（1）得，

又，，

由余弦定理得①

由正弦定理得，②由①②得，即周長為（12分）如圖，在四棱錐中，中，且．（1）證明：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值．（1）證明：∵∴，又∵，∴又∵，、平面∴平面，又平面∴平面平面（2）取中點，中點，連接，∵∴四邊形為平行四邊形∴由（1）知，平面∴平面，又、平面∴，又∵，∴∴、、兩兩垂直∴以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設，∴、、、，∴、、設為平面的法向量由，得令，則，，可得平面的一個法向量∵，∴又知平面，平面∴，又∴平面即是平面的一個法向量，∴由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為（12分）為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，實驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（=1\*ROMANI）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性：（=2\*ROMANII）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到）．附：若隨機變量服從正態(tài)分布,則．，．（1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為，落在之外的概率為．由題可知（2）（i）尺寸落在之外的概率為，由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理．（ii）

，需對當天的生產(chǎn)過程檢查．因此剔除剔除數(shù)據(jù)之后：．（12分）已知橢圓：，四點，，，中恰有三點在橢圓上．（1）求的方程；（2）設直線不經(jīng)過點且及相交于、兩點，若直線及直線的斜率的和為，證明：過定點．（1）根據(jù)橢圓對稱性，必過、

又橫坐標為1，橢圓必不過，所以過三點

將代入橢圓方程得，解得，∴橢圓的方程為：．

（2）當斜率不存在時，設

得，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足．

當斜率存在時，設聯(lián)立，整理得，則

又，此時，存在使得成立．∴直線的方程為當時，

所以過定點．（12分）已