專題34 動態(tài)幾何之面動形成的最值問題

一、選擇題二、填空題1.〔2022四川成都4分〕如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按以下步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC(余下局部不再使用)；第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩局部，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M，線段BC上任意取一點(diǎn)N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩局部；第三步：如圖③，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．(注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊)那么拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為▲cm，最大值為▲cm．三、解答題1.〔2022年天津市10分〕在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A〔－2，0〕，點(diǎn)B〔0，4〕，點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠OBA．〔1〕如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔2〕如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′．①設(shè)AA′=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示，并求出使取得最小值時點(diǎn)E′的坐標(biāo)；②當(dāng)A′B+BE′取得最小值時，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)〔直接寫出結(jié)果即可〕．2.〔2022年廣東梅州11分〕用如圖①，②所示的兩個直角三角形〔局部邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出〕，完成以下兩個探究問題：探究一：將以上兩個三角形如圖③拼接〔BC和ED重合〕，在BC邊上有一動點(diǎn)P．〔1〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到∠CFB的角平分線上時，連接AP，求線段AP的長；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中出現(xiàn)PA=FC時，求∠PAB的度數(shù)．探究二：如圖④，將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，連接MN．在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有最小值？假設(shè)存在，求出它的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，那么AG=BC=，∴PG=CG﹣CP=﹣1=。在Rt△APG中，由勾股定理得：?！?〕由〔1〕可知，F(xiàn)C=．在Rt△AMN中，由勾股定理得：，∴△AMN的周長為：AM+AN+MN=。當(dāng)x=時，有最小值，最小值為?！唷鰽MN周長的最小值為。3.〔2022年四川自貢12分〕將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．〔1〕將圖①中的△A1B1C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn)，求證：CP1〔2〕在圖②中，假設(shè)AP1=2，那么CQ等于多少？〔3〕如圖③，在B1C上取一點(diǎn)E，連接BE、P1E，設(shè)BC=1，當(dāng)BE⊥P1B時，求△P1BE【答案】解答：〔1〕證明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°?！咴凇鰾1CQ和△BCP1中，，∴△B1CQ≌△BCP1〔ASA〕?！郈Q=CP1。4.〔2022浙江衢州12分〕如圖，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．點(diǎn)A〔1，2〕，過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．〔1〕求該拋物線的函數(shù)解析式；〔2〕點(diǎn)P為線段OC上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？假設(shè)存在，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕假設(shè)△AOB沿AC方向平移〔點(diǎn)A始終在線段AC上，且不與點(diǎn)C重合〕，△AOB在平移過程中與△COD重疊局部面積記為S．試探究S是否存在最大值？假設(shè)存在，求出這個最大值；假設(shè)不存在，請說明理由．當(dāng)AG=BH時，四邊形ABPM為等腰梯形，∴，化簡得3t2﹣8t+4=0。解得t1=2〔不合題意，舍去〕，t2=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔〕?！啻嬖邳c(diǎn)P〔〕，使得四邊形ABPM為等腰梯形。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形平移的性質(zhì)以及幾何圖形面積的求法?！痉治觥俊?〕拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O、A、C，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式。〔2〕根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及線段長度的數(shù)量關(guān)系，得到一元二次方程，求出t的值，從而可解。結(jié)論：存在點(diǎn)P〔〕，使得四邊形ABPM為等腰梯形?！?〕求出得重疊局部面積S的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的極值求得S的最大值。5.〔2022江蘇宿遷12分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l1:y=x與直線l2：y=－x+6相交于點(diǎn)M，直線l2與x軸相較于點(diǎn)N.求M，N的坐標(biāo)；在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個單位長度的速度移動.設(shè)矩形ABCD與△OMN的重疊局部的面積為S.移動的時間為t〔從點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時開始計(jì)時，到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時計(jì)時結(jié)束〕。直接寫出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式〔不需要給出解答過程〕；在〔2〕的條件下，當(dāng)t為何值時，S的值最大？并求出最大值.〔3〕當(dāng)0≤t≤1時，S的最大值為，此時t=1。當(dāng)1＜t≤4時，S的最大值為，此時t=4?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，平移問題，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值?！痉治觥俊?〕聯(lián)立兩直線方程即可求得M的坐標(biāo)，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐標(biāo)?！?〕先求各關(guān)鍵位置，自變量t的情況：起始位置時，t=0；當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)O重合時，如圖1，t=1；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時，如圖2，t=4；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時，如圖3，t=5；當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)N重合時，如圖4，t=6；結(jié)束位置時，點(diǎn)A與點(diǎn)N重合，t=7。6.〔2022四川廣安10分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AB=3，tan∠AOB=，將△OAB繞著原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA1B1；再將△OA1B1繞著線段OB1的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA2B1，拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過點(diǎn)B、B1、A2．〔1〕求拋物線的解析式．〔2〕在第三象限內(nèi)，拋物線上的點(diǎn)P在什么位置時，△PBB1的面積最大？求出這時點(diǎn)P的坐標(biāo)．〔3〕在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB1的距離為？假設(shè)存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕∵AB⊥x軸，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4?！郆〔﹣4，0〕，B1〔0，﹣4〕，A2〔3，0〕。∵拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過點(diǎn)B、B1、A2，∴，解得?！鄴佄锞€的解析式為：。當(dāng)xQ=﹣1時，yQ=﹣4；當(dāng)xQ=﹣3時，yQ=﹣2。7.〔2022四川南充8分〕在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B，(1)求證：MA=MB(2)連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值，假設(shè)存在，求出最小值，假設(shè)不存在。請說明理由?！敬鸢浮拷猓骸?〕證明：連接OM?！逺t△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，∴PQ=4，OM=PM=PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=450?！摺螾MA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，∴∠PMA=∠OMB?！唷鱌MA≌△OMB〔ASA〕。∴MA=MB。(2)△AOB的周長存在最小值。理由如下:8.〔2022四川南充8分〕如圖，⊙C的內(nèi)接△AOB中，AB=AO=4,tan∠AOB=,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)與點(diǎn)〔-2，6〕〔1〕求拋物線的函數(shù)解析式．〔2〕直線m與⊙C相切于點(diǎn)A交y軸于點(diǎn)D，動點(diǎn)P在線段OB上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動;同時動點(diǎn)Q在線段DA上，從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為每秒1個單位長，點(diǎn)Q的速度為每秒2個單位長，當(dāng)PQ⊥AD時,求運(yùn)動時間t的值〔3〕點(diǎn)R在拋物線位于x軸下方局部的圖象上，當(dāng)△ROB面積最大時，求點(diǎn)R的坐標(biāo).【答案】解：〔1〕把點(diǎn)A(4，0)與點(diǎn)〔-2，6〕代入拋物線，得：，解得，?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元一次方程組，直線與圓相切的性質(zhì)，弦和弧的關(guān)系，垂徑定理，平行的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，一元二次方程根的判別式。【分析】〔1〕將點(diǎn)A(4，0)與點(diǎn)〔-2，6〕代入拋物線y=ax2+bx，得方程組，解之即可得出解析式。9.〔2022遼寧丹東14分〕拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔－1，0〕，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；〔3〕如圖1，D為y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且OD=2，以O(shè)D為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運(yùn)動過程中，設(shè)正方形ODEF與△OBC重疊局部的面積為s，運(yùn)動的時間為t秒〔0＜t≤2〕.求：①s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；②在運(yùn)動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．〔4〕如圖2，點(diǎn)P〔1，k〕在直線BC上，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？假設(shè)存在，請直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】解：〔1〕∵A〔－1，0〕,，∴C〔0，－3〕?！邟佄锞€經(jīng)過A〔－1，0〕,C〔0，，3〕，∴，解得?！鄴佄锞€的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x2－2x－3。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定?！痉治觥俊?〕求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可根據(jù)A，C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式?！?〕求出點(diǎn)B的坐標(biāo)〔3，0〕，即可由待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式?！?〕①分0＜t≤1和1＜t≤2討論即可。②由于在0＜t≤2上隨t的增大而增大，從而在運(yùn)動過程中，s是存在最大值：當(dāng)t=2秒時，S有最大值，最大值為。10.〔2022山東德州12分〕如下圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合〕將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．〔1〕求證：∠APB=∠BPH；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；〔3〕設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？假設(shè)存在，求出這個最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC?！唷螦PB=∠BPH?！?〕△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q。由〔1〕知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP〔AAS〕?！郃P=QP，AB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH〔HL〕。∴CH=QH?！唷鱌HD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。〔3〕如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，那么FM=BC=AB。又∵EF為折痕，∴EF⊥BP?！唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°?！唷螮FM=∠ABP。又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA〔ASA〕?！郋M=AP=x．∴在Rt△APE中，〔4﹣BE〕2+x2=BE2，即?！?。又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，∴。∵，∴當(dāng)x=2時，S有最小值6?！究键c(diǎn)】翻折變換〔折疊問題〕，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥俊?〕根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案?！?〕先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值?！?〕利用得出△EFM≌△BPA，從