北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊練習(xí)：小專題(十六)　圓的切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用

.@:第5頁小專題〔十六〕圓的切線的性質(zhì)與斷定的綜合運(yùn)用1.〔2019·宿遷〕如圖，AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D.過點A作⊙O的切線與OD的延長線交于點P，PC，AB的延長線交于點F.〔1〕求證：PC是半⊙O的切線；〔2〕假設(shè)∠ABC＝60°，AB＝10，求線段CF的長.解：〔1〕證明：連接OC.∵OD⊥AC，OD經(jīng)過圓心O，∴AD＝CD.∴PA＝PC.在△OAP和△OCP中，eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔OA＝OC，,PA＝PC，,OP＝OP，〕〕∴△OAP≌△OCP〔SSS〕.∴∠OAP＝∠OCP.∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線.〔2〕∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等邊三角形.∴∠COB＝60°.∵AB＝10，∴OC＝5.由〔1〕知∠OCF＝90°，∴CF＝OC·tan∠COB＝5eq\r〔3〕.2.〔2019·西藏〕如圖，在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中點，CA與⊙O相切于點E，CO交⊙O于點D.〔1〕求證：CB是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)∠ACB＝80°，點P是⊙O上一個動點〔不與D，E兩點重合〕，求∠DPE的度數(shù).解：〔1〕證明：連接OE，過點O作OF⊥BC于點F.∵CA與⊙O相切于點E，∴OE⊥AC.∵在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中點，∴OC平分∠ACB.∴OE＝OF.又∵OE是⊙O的半徑，∴OF是⊙O的半徑，∴CB是⊙O的切線.〔2〕∵∠ACB＝80°，OC平分∠ACB，∴∠ACO＝40°.又∵OE⊥AC，∴∠DOE＝90°－40°＝50°.當(dāng)點P在eq\o〔DPE,\s\up8〔︵〕〕上時，∠DPE＝eq\f〔1,2〕∠DOE＝25°；當(dāng)點P在eq\o〔DE,\s\up8〔︵〕〕上時，∠DPE＝180°－25°＝155°.∴∠DPE的度數(shù)為25°或155°.3.如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD＝AB，AD，BC的延長線相交于點E.〔1〕求證：〔1〕AD是半圓O的切線；〔2〕連接CD，求證：∠A＝2∠CDE.證明：〔1〕連接OD，BD.∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO.∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO.∴∠ADO＝∠ABO＝90°.又∵OD是⊙O的半徑，∴AD是半圓O的切線.〔2〕由〔1〕知，∠ADO＝∠ABO＝90°，∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD＝∠DOC.∵AD是半圓O的切線，∴∠ODE＝90°.∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∵BC是⊙O的直徑，∴∠ODC＋∠BDO＝90°.∴∠BDO＝∠CDE.∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO.∴∠DOC＝2∠CDE.∴∠A＝2∠CDE.4.〔2019·黔西南〕如圖，AB為⊙O直徑，D是eq\o〔BC,\s\up8〔︵〕〕的中點，DE⊥AC的延長線于E，⊙O的切線交AD的延長線于F.〔1〕求證：直線DE與⊙O相切；〔2〕DG⊥AB且DE＝4，⊙O的半徑為5，求tanF的值.解：〔1〕證明：連接OD，BC.∵D是弧BC的中點，∴OD垂直平分BC.∵AB為⊙O的直徑，∴AC⊥BC.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD為⊙O的半徑，∴直線DE與⊙O相切.〔2〕∵D是弧BC的中點，∴eq\o〔DC,\s\up8〔︵〕〕＝eq\o〔DB,\s\up8〔︵〕〕.∴∠EAD＝∠BAD.∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE＝4，∴DE＝DG＝4.∵DO＝5，∴GO＝eq\r〔OD2－DG2〕＝3.∴AG＝8.∴tan∠ADG＝2.∵BF是⊙O的切線，∴∠ABF＝90°.∴DG∥BF.∴tanF＝tan∠ADG＝2.5.如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD.〔1〕求證：CD是⊙O的切線；〔2〕過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，BC＝6，eq\f〔AD,BD〕＝eq\f〔2,3〕，求BE的長.解：〔1〕證明：連接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°.∴OD⊥CD.∵OD是⊙O半徑，∴CD是⊙O的切線.〔2〕∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD.∴eq\f〔CD,BC〕＝eq\f〔AD,BD〕.∵eq\f〔AD,BD〕＝eq\f〔2,3〕，BC＝6，∴CD＝4.∵CE，BE是⊙O的切線，∴BE＝DE，BE⊥BC.∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝〔4＋BE〕2.解得BE＝eq\f〔5,2〕.6.如圖，AB是⊙O的直徑，點P在⊙O上，且PA＝PB，點M是⊙O外一點，MB與⊙O相切于點B，連接OM，過點A作AC∥OM交⊙O于點C，連接BC交OM于點D.〔1〕求證：OD＝eq\f〔1,2〕AC；〔2〕求證：MC是⊙O的切線；〔3〕假設(shè)MD＝8，BC＝12，連接PC，求PC的長.解：〔1〕證明：∵AC∥OM，∴△BOD∽△BAC.∴eq\f〔OD,AC〕＝eq\f〔OB,AB〕＝eq\f〔1,2〕.∴OD＝eq\f〔1,2〕AC.〔2〕證明：連接OC.∵AC∥OM，∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠BOM＝∠COM.在△OCM和△OBM中，eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔OC＝OB，,∠COM＝∠BOM，,OM＝OM，〕〕∴△OCM≌△OBM.又∵M(jìn)B是⊙O的切線，∴∠OCM＝∠OBM＝90°.∵OC是⊙O的半徑，∴MC是⊙O的切線.〔3〕∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠APB＝90°，∵AC∥OM，∴OD⊥BC.∴CD＝BD＝eq\f〔1,2〕BC＝6.∴∠OCD＋∠MCD＝∠CMD＋∠MCD＝90°，∴∠OCD＝∠CMD.∵∠OCM＝∠CDO＝∠CDM＝90°，∴△CDO∽△MDC.∴CD2＝OD·DM.∴OD＝eq\f〔9,2〕.∴OC＝eq\f〔15,2〕.∴AB＝