圓錐曲線基礎(chǔ)必備20

圓錐曲線必備2.0版--tobeenough第31頁圓錐曲線必背口訣2.0版--tobeenough圓錐曲線必背口訣-橢圓（修正版）一、橢圓定義口訣：橢圓三定義，簡稱和比積.注解：1、定義1：(和)到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡叫做橢圓.定點為焦點，定值為長軸.（定值==焦距）PF1F2如圖，設(shè)為橢圓上一點，和PF1F2式就是橢圓和為定值的定義式.2、定義2：(比)到定點和到定直線的距離之比為定值的點的軌跡叫做橢圓.定點為焦點，定直線為準(zhǔn)線，定值為離心率.（定值=）PF1F2S如圖，設(shè)為橢圓上一點，點到定直線(準(zhǔn)線)的距離為，點到定點(焦點)的距離為，則：PF1F2S式就是橢圓比為定值的定義式.3、定義3：(積)到兩定點連線的斜率之積為定值的點的軌跡是橢圓.PAB定點為短軸頂點，定值為負(fù)值.（定值PAB如圖，設(shè)為橢圓上一點(除外)，為橢圓的兩個短軸頂點.若直線的斜率為，直線的斜率為，則：式就是橢圓積為定值的定義式.證明：設(shè)，則、于是，直線的斜率為：直線的斜率為：那么：=1\*GB3①由橢圓方程：，即：，即：，即：=2\*GB3②將=2\*GB3②代入=1\*GB3①得：.二、橢圓的性質(zhì)定理口訣：長軸短軸與焦距，形似勾股弦定理=1\*GB3①準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，方、方除以=2\*GB3②通徑等于，切線方程用代替=3\*GB3③焦三角形計面積，半角正切連乘=4\*GB3④注解：1、長軸短軸與焦距，形似勾股弦定理長軸，短軸，焦距，則：2、準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，方、方除以準(zhǔn)線方程：(方除以)準(zhǔn)焦距：(焦準(zhǔn)距)焦點到準(zhǔn)線的距離：(方除以)3、通徑等于2，切線方程用代替橢圓的通徑：過焦點垂直于長軸的直線與橢圓的兩交點之間的距離稱為橢圓的通徑.（通徑）過橢圓上點的切線方程，用等效代替橢圓方程得到.等效代替后的是切線方程是：4、焦三角形計面積，半角正切連乘焦三角形：以橢圓的兩個焦點為頂點，另一個頂點在橢圓上的三角形稱為焦三角形.半角是指的一半.則焦三角形的面積為：證明：設(shè)，，則.由余弦定理：即：，即：.即：故：又：所以：橢圓的焦點三角形的面積為.三、橢圓的相關(guān)公式口訣：切線平分焦周角，稱為弦切角定理=1\*GB3①切點連線求方程，極線定理須牢記=2\*GB3②弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距=3\*GB3③細(xì)看中點弦方程，恰似弦中點軌跡=4\*GB3④注解：1、切線平分焦周角，稱為弦切角定理弦切角定理：切線平分橢圓焦周角的外角，平分雙曲線的焦周角.焦周角是焦點三角形中，焦距所對應(yīng)的角.弦切角是指橢圓的弦與其切線相交于橢圓上時它們的夾角，當(dāng)弦為焦點弦時（過焦點的弦），那么切線是兩個焦點弦的角平分線.F1F2F1F2P12設(shè)點的坐標(biāo)為，則：切線的方程：切線的斜率：的斜率：，的斜率：則：=1\*GB3①而：=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②式可得：，即：.即：切線是兩個焦點弦的角平分線.2、切點連線求方程，極線定理須牢記若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線，切點為，則點和切點弦分別稱為橢圓的極點和極線.P0P1P2OP0P1P2O(稱為極線定理)當(dāng)極點在橢圓上時，該點的切線就是極線，切線方程就是極線方程.3、弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距弦指橢圓內(nèi)的一弦.中線指弦的中點與原點的連線，即得中線.這兩條直線的斜率的乘積，等于準(zhǔn)線距離去除準(zhǔn)焦距(焦準(zhǔn)距)，其結(jié)果是：OMAB證明：OMAB，上面兩式相減得：即：=1\*GB3①直線的斜率為：=2\*GB3②中點的坐標(biāo)為：則中線的斜率為：=3\*GB3③由=2\*GB3②=3\*GB3③得：=4\*GB3④由=1\*GB3①=4\*GB3④得：.證畢.4、細(xì)看中點弦方程，恰似弦中點軌跡中點弦的方程：在橢圓中，若弦的中點為，弦稱為中點弦，則中點弦的方程就是，是直線方程.5、中點弦的方程的證明：A>設(shè)橢圓方程為：=1\*GB3①中點弦的方程為：=2\*GB3②兩者相交于和，則的中點坐標(biāo)滿足：，=3\*GB3③則：故：=4\*GB3④B>將=2\*GB3②代入=1\*GB3①得：即：即：=5\*GB3⑤C>由韋達(dá)定理得：故：即：=6\*GB3⑥D(zhuǎn)>將=4\*GB3④代入=6\*GB3⑥式得：即：即：故：=7\*GB3⑦E>將=7\*GB3⑦代入=4\*GB3④式得：=8\*GB3⑧將=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧代入=2\*GB3②式得：即：即：即：.證畢.弦中點的軌跡方程：在橢圓中，過橢圓內(nèi)點的弦，其中點的方程就是，仍為橢圓.6、弦中點的軌跡方程的證明:A>設(shè)橢圓方程為：=1\*GB3①過點的直線方程為：即：，記：=2\*GB3②則：=3\*GB3③B>設(shè)中點的坐標(biāo)為則：=4\*GB3④借用上題的結(jié)果：將=4\*GB3④代入上式得：即：即：，故：=5\*GB3⑤C>將=5\*GB3⑤和=2\*GB3②代入=4\*GB3④式得：即：，即：即：=6\*GB3⑥=6\*GB3⑥式就是弦中點的軌跡方程.證畢.中點弦方程和弦中點的軌跡方程，這兩個方程有些相似，要擦亮眼睛，千萬不要搞混了.圓錐曲線必背口訣2.0版--tobeenough圓錐曲線必背口訣-雙曲線(修正版)一、雙曲線定義口訣：雙曲線有四定義，差比交線反比例注解：PF1F2O1、定義1：(差)平面內(nèi)，到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡稱為雙曲線.PF1F2O定點叫雙曲線的焦點.即：就是差為定值的雙曲線的定義式.PF1F2OSL2、定義2：(比)平面內(nèi)，到給定一點及一直線的距離之比為定值的點的軌跡稱為雙曲線.定點叫雙曲線的PF1F2OSL定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線.如圖所示，式就是比為定值的雙曲線定義式.3、定義3：(交線)一平面截一圓錐面，當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線.如圖所示，藍(lán)色線為圓錐面，紅色線為平面，紅色面與藍(lán)色面的交線就是雙曲線.這就是本雙曲線的定義.實際上，橢圓和拋物線也有這樣的定義，所以將它們統(tǒng)一稱為“圓錐曲線”.4、定義4：(反比例)在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象稱為雙曲線.證明：反比例函數(shù)圖象是雙曲線軌跡經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到.證明：因為的對稱軸是,，而的對稱軸是軸，軸，所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為（，順時針）則有：，取，則：而，所以，即：()或()由此證得，反比例函數(shù)其實就是雙曲線的一種形式，只不過是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式.二、雙曲線的性質(zhì)定理口訣：實軸虛軸與焦距，形似勾股弦定理=1\*GB3①準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，方、方除以=2\*GB3②通徑等于2，切線方程用代替=3\*GB3③焦三角形計面積，半角余切連乘=4\*GB3④注解：1、實軸虛軸與焦距：形似勾股弦定理實軸，虛軸，焦距，則：與勾股弦定理形似.2、準(zhǔn)線方程準(zhǔn)焦距，方、方除以準(zhǔn)線方程：（方除以）準(zhǔn)焦距(焦準(zhǔn)距)：焦點到準(zhǔn)線的距離：（方除以）3、通徑等于2，切線方程用代替雙曲線的通徑：過焦點垂直于長軸的直線與雙曲線的兩交點之間的距離稱為雙曲線的通徑.（通徑）過雙曲線上點的切線方程，用等效代替雙曲線方程得到，等效代替后的是切線方程是：4、焦三角形計面積，半角余切連乘焦三角形：以雙曲線的兩個焦點為頂點，另一個頂點在橢圓上的三角形稱為焦三角形.半角是指的一半.雙曲線的左右焦點分別為，點為雙曲線上異于頂點任意一點，則雙曲線的焦點三角形滿足：其面積為；.證明：設(shè)，則在中，由余弦定理得：即：即：即：即：即：那么，焦點三角形的面積為：故：同時：，故：雙曲線的焦點三角形的面積為：.三、雙曲線的相關(guān)公式口訣：切線平分焦周角，稱為弦切角定理=1\*GB3①切點連線求方程，極線定理須牢記=2\*GB3②弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距=3\*GB3③細(xì)看中點弦方程，恰似弦中點軌跡=4\*GB3④注解：1、切線平分焦周角，稱為弦切角定理弦切角定理：切線平分橢圓焦周角的外角，平分雙曲線的焦周角.焦周角是焦點三角形中，焦距所對應(yīng)的角.弦切角是指雙曲線的弦與其切線相交于雙曲線上時它們的夾角，當(dāng)弦為焦點弦時（過焦點的弦），則：切線是兩個焦點弦的角平分線.如圖，是焦點三角形，為焦周角，為雙曲線的切線.則平分.證明：設(shè)在雙曲線上，則：即：=1\*GB3①點的切線方程為：切線的斜率為：=2\*GB3②的斜率為：=3\*GB3③的斜率為：=4\*GB3④設(shè)直線與的夾角為，直線與的夾角為則：=5\*GB3⑤將=2\*GB3②=3\*GB3③代入=5\*GB3⑤得：將=1\*GB3①式和代入上式得：=6\*GB3⑥而：=7\*GB3⑦將=2\*GB3②=4\*GB3④代入=7\*GB3⑦式得：將=1\*GB3①式和代入上式得：=8\*GB3⑧由=6\*GB3⑥和=8\*GB3⑧式得：由于，故：即：切線是兩個焦點弦的角平分線.證畢.2、切點連線求方程，極線定理須牢記若在雙曲線外，以包含焦點的區(qū)域為內(nèi)，不包含焦點的區(qū)域為外，則過作雙曲選的兩條切線，切點為、，則點和切點弦分別稱為雙曲線的極點和極線，切點弦的直線方程即極線方程是：（稱為極線定理）3、弦與中線斜率積，準(zhǔn)線去除準(zhǔn)焦距弦指雙曲線內(nèi)的一弦.中線指弦的中點與原點的連線，即得中線.這兩條直線的斜率的乘積，等于準(zhǔn)線距離去除準(zhǔn)焦距(焦準(zhǔn)距)其結(jié)果是：證明：如圖所示，因為在雙曲線上，故：，上面兩式相減得：即：=1\*GB3①直線的斜率為：=2\*GB3②中點的坐標(biāo)為：則中線的斜率為：=3\*GB3③由=2\*GB3②=3\*GB3③得：=4\*GB3④由=1\*GB3①=4\*GB3④得：.證畢.4、細(xì)看中點弦方程，恰似弦中點軌跡中點弦的方程：在雙曲線中，若弦的中點為，稱弦為中點弦，則中點弦的方程就是：，它是直線方程.弦中點的軌跡方程：在雙曲線中，過雙曲線外一點的弦，其中點的方程就是：，仍為雙曲線.這兩個方程有些相似，要擦亮眼睛，千萬不要搞混了.5、中點弦的方程的證明：OMABA>設(shè)雙曲線方程為：=1\*GB3①OMAB中點弦的方程為：=2\*GB3②兩者相交于和則的中點坐標(biāo)滿足：，=3\*GB3③則：，故：=4\*GB3④B>將=2\*GB3②代入=1\*GB3①得：即：即：=5\*GB3⑤C>由韋達(dá)定理得：故：即：=6\*GB3⑥D(zhuǎn)>將=4\*GB3④代入=6\*GB3⑥式得：即：即：故：=7\*GB3⑦E>將=7\*GB3⑦代入=4\*GB3④式得：=8\*GB3⑧將=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧代入=2\*GB3②式得：即：即：即：.證畢.6、弦中點的軌跡方程的證明:A>設(shè)雙曲線方程為：=1\*GB3①過點的直線方程為：即：記：=2\*GB3②則：=3\*GB3③B>設(shè)中點的坐標(biāo)為則：=4\*GB3④借用上題的結(jié)果：將=4\*GB3④代入上式得：即：即：故：=5\*GB3⑤C>將=5\*GB3⑤和=2\*GB3②代入=4\*GB3④式得：即：即：即：=6\*GB3⑥=6\*GB3⑥式就是弦中點的軌跡方程.證畢.圓錐曲線必背口訣2.0版--tobeenough圓錐曲線必背口訣-拋物線(修正版)一、拋物線定義口訣：拋物線，有定義，定點定線等距離注解：1、到一個定點和一條定直線距離相等得點的軌跡稱為拋物線.定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準(zhǔn)線.2、二次函數(shù)的圖象是拋物線.3、平面與圓錐相截，除了圓、橢圓、雙曲線外，還有拋物線.二、拋物線性質(zhì)口訣：焦點準(zhǔn)線極點線=1\*GB3①，兩臂點乘積不變=2\*GB3②焦弦切線成直角，切點就是兩端點=3\*GB3③端點投影在準(zhǔn)線，連結(jié)焦點垂直線=4\*GB3④焦弦垂直極焦線=5\*GB3⑤，切線是角平分線=6\*GB3⑥直角梯形對角線，交點就是本原點=7\*GB3⑦焦弦三角計面積，半個方除正弦=8\*GB3⑧注解：1、焦點準(zhǔn)線極點線拋物線的焦點和準(zhǔn)線是一對極點和極線.拋物線方程：，焦點，準(zhǔn)線拋物線的頂點到定點和定直線距離相等.ABF所以，稱為焦準(zhǔn)距ABF焦弦：過焦點的直線與拋物線相交于兩點和，則稱為焦弦.弦中點，，焦弦方程：，為斜率.2、兩臂點乘積不變焦點三角形兩邊和的點乘積為定值，且夾角是鈍角.OABOABFA>焦弦滿足的條件拋物線方程：=1\*GB3①因為焦弦過焦點，故其方程：=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②消去得：即：=3\*GB3③B>方程=3\*GB3③由韋達(dá)定理得：則：則：=1\*GB3①且，即：=2\*GB3②且：.故：焦點三角形兩邊之點乘積為定值.3、焦弦切線成直角，切點就是兩端點即：焦弦兩端點的切線互相垂直.證明：如圖，由拋物線方程：求導(dǎo)數(shù)：，即：故斜率：，于是：由上題=1\*GB3①式代入上式得：即：故：在焦弦端點的切線互相垂直.4、端點投影在準(zhǔn)線，連結(jié)焦點垂直線即：焦弦端點在準(zhǔn)線的投影點與焦點構(gòu)成直角三角形.證明：準(zhǔn)線方程故坐標(biāo),因為焦點故：，于是：將上題=1\*GB3①式代入上式得：故：即：焦弦端點在準(zhǔn)線的投影點，則.即：焦弦端點在準(zhǔn)線的投影點與焦點構(gòu)成直角三角形.5、焦弦垂直極焦線=5\*GB3⑤，切線是角平分線=6\*GB3⑥若焦弦對應(yīng)的極點，則為極焦線，于是：.證明：A>因為極線過焦點，焦點與準(zhǔn)線是一對極點和極線，而點是的極點，所以由自極三點形可知：點在準(zhǔn)線上.切線的斜率為：=1\*GB3①焦弦的斜率為：=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②可知，平分，即：=3\*GB3③故：切線是角平分線=6\*GB3⑥B>由拋物線定義知：=4\*GB3④故：=5\*GB3⑤同理：=6\*GB3⑥則：為的中點，故：=7\*GB3⑦C>設(shè)拋物線方程：，直線方程：則：故點滿足的方程為：即：由韋達(dá)定理得：=8\*GB3⑧由于，所以，而故：故：焦弦垂直極焦線=5\*GB3⑤.證畢.6、直角梯形對角線，交點就是本原點即：直角梯形對角線相交于原點即：三點共線；三點共線.用向量法證明：，證明：向量法，如圖由坐標(biāo)，，向量：，各分量之比：，由兩臂點乘積不變得：代入上式得：故：，即：則：三點共線.同理：.三點共線.故：直角梯形對角線相交于原點.8、焦弦三角計面積，半個方除正弦即：焦弦三角形的面積為：(為焦弦的傾角)證明：如圖=1\*GB3①FMEGO如FMEGO則：于是，代入=1\*GB3①得：因為為底邊與的夾角，故面積故：即：焦弦三角計面積，半個方除正弦圓錐曲線必背口訣2.0版--tobeenough附：圓錐曲線必背--極坐標(biāo)(修正版)一、極坐標(biāo)通式圓錐曲線的極坐標(biāo)以焦準(zhǔn)距和離心率來表示常量，以極徑和極角來表示變量.，以焦點為極點(原點)，以橢圓長軸、拋物線對稱軸、雙曲線實軸為極軸的建立極坐標(biāo)系.故準(zhǔn)線是到極點距離為焦準(zhǔn)距、且垂直于極軸的直線.極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的換算關(guān)系是：，或者：，特別注意：極坐標(biāo)系中，以焦點為極點(原點)，而直角坐標(biāo)系中以對稱點為原點得到標(biāo)準(zhǔn)方程.如圖，為極點，為準(zhǔn)線，則依據(jù)定義，到定點(極點)和到定直線(準(zhǔn)線)的距離之比為定值(定值)的點的軌跡為圓錐曲線.所以，對極坐標(biāo)系，請記?。?1\*GB2⑴極坐標(biāo)系的極點是橢圓的左焦點、拋物線的焦點、雙曲線的右焦點；=2\*GB2⑵曲線上的點到焦點的距離是，到準(zhǔn)線的距離是，根據(jù)定義：，即：，即：即：=1\*GB3①這就是極坐標(biāo)下，圓錐曲線的通式.=3\*GB2⑶對應(yīng)不同的，呈現(xiàn)不同的曲線.對雙曲線，只是右邊的一支；對拋物線，開口向右.二、極軸旋轉(zhuǎn)將極軸旋轉(zhuǎn)，將極角加到角上，代入=1\*GB3①式得：=2\*GB3②此時的極坐標(biāo)系下，此時有：=1\*GB2⑴極坐標(biāo)系的極點是橢圓的右焦點、拋物線的焦點、雙曲線的左焦點；=2\*GB2⑵對應(yīng)不同的，呈現(xiàn)不同的曲線.對雙曲線，只是左邊的一支；對拋物線，開口向左.三、極軸旋轉(zhuǎn)=1\*GB2⑴將極軸順時針旋轉(zhuǎn)，將極角加到角上，則情況如圖.圓錐曲線的方程為：=3\*GB3③此時的極坐標(biāo)系下：對應(yīng)于直角坐標(biāo)系下，焦點在軸的情況，且極點對應(yīng)于橢圓下方的焦點，雙曲線上方的焦點，拋物線的焦點.對雙曲線，只是軸上邊的一支；對拋物線，開口向上.=2\*GB2⑵如果將極軸逆時針旋轉(zhuǎn)，將加到極角上代入=1\*GB3①式，則情況如圖.圓錐曲線的方程為：=3\*GB3③此時的極坐標(biāo)系下：對應(yīng)于直角坐標(biāo)系下，焦點在軸的情況，且對應(yīng)于橢圓上方的焦點，雙曲線下方的焦點，拋物線的焦點.對雙曲線，只是軸下邊的一支；對