最佳組隊(duì)方案計(jì)劃概率統(tǒng)計(jì)中

PAGE11最佳組隊(duì)方案[摘要]:本文以隊(duì)員的能力及隊(duì)員間的配合為主線,利用概率統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)期望、方差等，對每個(gè)隊(duì)員在所有隊(duì)員中的水平高低用標(biāo)準(zhǔn)分來衡量，使得每個(gè)隊(duì)員的綜合能力的比較更科學(xué)化、合理化。并對每個(gè)組建的隊(duì)伍進(jìn)行一個(gè)綜合能力的比較，并把他們的能力作一個(gè)均衡性比較，得出整體最優(yōu)的組隊(duì)方案。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望;方差;標(biāo)準(zhǔn)分;專項(xiàng)指標(biāo)1問題的提出在一年一度的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中,我校將組隊(duì)去參加,而參賽隊(duì)員是集訓(xùn)隊(duì)員中選出的，現(xiàn)有20名集訓(xùn)隊(duì)員準(zhǔn)備參加競賽,根據(jù)隊(duì)員的能力和水平要選出18名優(yōu)秀隊(duì)員分別組成6個(gè)隊(duì)(每個(gè)隊(duì)3名隊(duì)員)去參加比賽,選拔隊(duì)員主要考慮的條件依次為有關(guān)學(xué)科的成績、智力水平(反映思維能力、分析問題很解決問題的能力等)、動(dòng)手能力(計(jì)算機(jī)的使用和其它方面實(shí)際操作能力)、寫作能力、外語能力、協(xié)作能力(團(tuán)結(jié)協(xié)作能力)和其它特長,每個(gè)隊(duì)員基本條件量化后如表1.表1隊(duì)員基本條件量化數(shù)據(jù)表隊(duì)員條件ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ科學(xué)水平智力水平動(dòng)手能力寫作能力外語能力協(xié)作能力其它特長A6B2C8D8E9F6G9H6I5J4K8.5L6M.57N5O5P6Q7R8S9T6現(xiàn)在的問題是：在20名隊(duì)員中選擇18名優(yōu)秀隊(duì)員參加競賽；確定一個(gè)最佳的組隊(duì)方案；給出由18名隊(duì)員組成6個(gè)隊(duì)的組隊(duì)方案，使整體競賽技術(shù)水平最高，并給出每個(gè)隊(duì)的競賽技術(shù)水平.符號約定模型的建立、求解及結(jié)果分析第一個(gè)問題的解答問題的分析對于第一個(gè)問，要在20名隊(duì)員中選擇18名優(yōu)秀隊(duì)員參加競賽，這里所說優(yōu)秀的概念是指這些隊(duì)員的綜合能力水平（即是指反映題目所給的七種能力的一個(gè)綜合指標(biāo)）較高。我們就是要從這些隊(duì)員中選取一些綜合能力水利最高的隊(duì)員參賽。這里就涉及到各種能力的綜合體現(xiàn)，各項(xiàng)指標(biāo)的能力輕重是一樣的,故我們要從概率的方面處理它，要把各個(gè)隊(duì)員的各個(gè)方面的能力水平與所有的隊(duì)員的相應(yīng)方面的能力聯(lián)系起來，從而得出反映各項(xiàng)能力的綜合指標(biāo)。分析步驟所有隊(duì)員的第j項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望為：而其根方差為：以上只是求出了各個(gè)項(xiàng)目中所有隊(duì)員能力的偏離程度，并未反映到具體的個(gè)人上，故我們構(gòu)造以下式子,它可以完全反映這一特性的指標(biāo).構(gòu)造反映此問題的函數(shù)反映第i個(gè)隊(duì)員的第j項(xiàng)能力在所有隊(duì)員中水平高低的指標(biāo)（相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)分）：反映第i個(gè)隊(duì)員的綜合能力水平的指標(biāo)（7項(xiàng)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)分的平均數(shù)）：我們就可以根據(jù)以上指標(biāo)公式，得出n個(gè)隊(duì)員的綜合能力水平的指標(biāo),然后,我們對這n個(gè)隊(duì)員的各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行比,，選出一些最優(yōu)秀(即綜合指標(biāo)最高)的隊(duì)員去參加比賽.具體問題的求解及結(jié)果分析我們可以用Matlab計(jì)算出這所有20個(gè)隊(duì)員的綜合指標(biāo)，如下表：隊(duì)員號1234567綜合能力隊(duì)員號891011121314綜合能力隊(duì)員號151617181920綜合能力以上數(shù)據(jù)是衡量各個(gè)隊(duì)員的綜合素質(zhì)的指標(biāo),從中我們可以知道隊(duì)員為2、10這兩個(gè)隊(duì)員能力最差,故我們把這兩個(gè)隊(duì)員淘汰出來,故我們在這所有的隊(duì)員中選擇第1、3、4、5、6、7、8、9、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20的隊(duì)員參加競賽.對以下兩個(gè)問題的討論,我們需要對原來已有的數(shù)據(jù)進(jìn)行一些變動(dòng)：n(為篩選出來的隊(duì)員數(shù),而這里n=18),我們對上一個(gè)問題篩選出來的隊(duì)員進(jìn)行重新排序得出新的隊(duì)員名單次序，并按照新的次序?qū)Φ趇個(gè)隊(duì)員的第j項(xiàng)指標(biāo)的能力進(jìn)行重新賦值.則原來的隊(duì)員好變化了,如下表：新隊(duì)員號123456789原隊(duì)員號ACDEFGHIK新隊(duì)員號101112131415161718原隊(duì)員號LMNOPQRST而以后我們對以下問題的討論,均以新隊(duì)員號來計(jì)算.第二個(gè)問題的解答a)問題的分析第二個(gè)問題是要求從上問篩選出來的n個(gè)隊(duì)員中再次挑選出3個(gè)隊(duì)員組成一個(gè)最優(yōu)秀的隊(duì)伍,我們在這個(gè)問題的討論中假設(shè)已經(jīng)選出了一支最優(yōu)秀的隊(duì)伍,隊(duì)員號分別是:b)分析步驟這個(gè)隊(duì)的這支隊(duì)中的第j項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望為:反映第j項(xiàng)指標(biāo)中三個(gè)隊(duì)員的能力偏離程度（方差）為：而其根方差為：反映第個(gè)隊(duì)員的第j項(xiàng)能力在整個(gè)隊(duì)中水平高低的指標(biāo)（相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)分）：反映第個(gè)隊(duì)員的綜合能力水平的指標(biāo)（m項(xiàng)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)分的平均數(shù)）：c)構(gòu)造反映問題的函數(shù)反映整個(gè)隊(duì)的綜合能力水平的量是：反映整個(gè)隊(duì)里各個(gè)隊(duì)員的專長特點(diǎn)的量是：d)建立數(shù)學(xué)模型于是，我們就可以得出求解此問題的一個(gè)雙目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型（Ⅱ）：具體問題的求解及結(jié)果分析以上模型（Ⅱ）是一個(gè)雙目標(biāo)規(guī)劃，故我們必須給這兩個(gè)目標(biāo)一個(gè)權(quán)重,運(yùn)用Saatry比較尺度法(即1—9標(biāo)度法)令的取值范圍為則以上雙目標(biāo)規(guī)劃問題就進(jìn)一步變?yōu)橐粋€(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題,列出這一個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃模型:以上規(guī)劃,我們可以用Matlab編制程序，得出每一個(gè)取定值的9個(gè)單目標(biāo)函數(shù)規(guī)劃，并求解出相應(yīng)的各個(gè)方案及函數(shù)的最大值，數(shù)據(jù)如下表：6,7,106,7,106,7,106,7,106,7,106,7,106,7,106,7,106,7,10從上面的數(shù)據(jù),可以知道我們在，…，范圍內(nèi)取值時(shí),我們都得出相同的答案6、7、10隊(duì)員組隊(duì),但我還對=1時(shí),進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果是第3、6、10隊(duì)員組隊(duì)(其中),不過此方案純粹是考慮隊(duì)員的能力之和，并未體現(xiàn)出他們各自的專長特點(diǎn)。故我們確定一個(gè)隊(duì)員名單為6、7、10的組隊(duì)方案為最佳的組隊(duì)。我們看下表，這支隊(duì)不但顯示了每個(gè)隊(duì)員具有很強(qiáng)的能力，而且充分體現(xiàn)了隊(duì)員們在專長特色方面都各有千秋。隊(duì)員條件ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ科學(xué)水平智力水平動(dòng)手能力寫作能力外語能力協(xié)作能力其它特長6976106第三個(gè)問題的解答問題的分析在第三個(gè)問題中,要求把第一個(gè)問中選出的n名隊(duì)員組成c個(gè)隊(duì),給出一個(gè)組隊(duì)方案，使整體競賽技術(shù)水平最高，并給出了每個(gè)隊(duì)的競賽技術(shù)水平,此問的要求其實(shí)是兩點(diǎn):1、各個(gè)隊(duì)的綜合實(shí)力要盡量的接近,2、每個(gè)隊(duì)中的各個(gè)隊(duì)員的專長要不同，意指盡量地把專長各不相同的人組在一個(gè)隊(duì)中，以下我們就要構(gòu)造出能反映以上兩點(diǎn)要求的一個(gè)雙目標(biāo)規(guī)劃模型出來。分析步驟我們在這個(gè)問題的討論中假設(shè)已經(jīng)選出了六支優(yōu)秀的隊(duì)伍,用來表示第k個(gè)隊(duì)中第d個(gè)隊(duì)員的隊(duì)員號，其中第k個(gè)隊(duì)中每個(gè)隊(duì)員的第j項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望為：反映第k個(gè)隊(duì)中的三個(gè)隊(duì)員在第j項(xiàng)指標(biāo)的能力的偏離程度（方差）為：則所有組建的隊(duì)伍中的各個(gè)專項(xiàng)指標(biāo)偏離程度之和為：第k個(gè)隊(duì)中第d個(gè)隊(duì)員的綜合能力水平的指標(biāo)(7項(xiàng)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)分的數(shù)學(xué)期望)(我在求解第一個(gè)問時(shí)已求出,即),則反映第k個(gè)隊(duì)中隊(duì)員的綜合能力之和：所有組建隊(duì)伍的綜合能力的數(shù)學(xué)期望為：所有這些隊(duì)伍的綜合能力的偏離程度（方差）：構(gòu)造反映此問題的函數(shù)反映每一個(gè)隊(duì)里各個(gè)隊(duì)員的專長特點(diǎn)的量是：反映各個(gè)隊(duì)的綜合能力的均衡程度的量是：建立數(shù)學(xué)模型于是，我們就可以得出求解此問題的一個(gè)雙目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型（Ⅰ）：具體問題的求解及結(jié)果分析先給這兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)一個(gè)權(quán)值，則使得上模型由雙目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)為單目標(biāo)規(guī)劃模型,目標(biāo)函數(shù)為用matlab編程計(jì)算即可得出最優(yōu)解,目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則分隊(duì)原則為下表：隊(duì)號123隊(duì)員號11417471061213隊(duì)號456隊(duì)員號2916381551118各隊(duì)的綜合實(shí)力比較為：隊(duì)號123456綜合實(shí)力可以看出各隊(duì)的綜合實(shí)力都比較平均，而且各隊(duì)中的各個(gè)隊(duì)員的能力及各項(xiàng)專長均達(dá)到了很好的配合，真正達(dá)到了最優(yōu)組隊(duì)的原則.模型的評價(jià)及推廣本模型運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識,從數(shù)學(xué)期望、方差方面著手,得出一系列隊(duì)員綜合能力更科學(xué)的比較，并運(yùn)用方差的作為各隊(duì)員單項(xiàng)能力的比較，得出該隊(duì)的專長的偏離程度的比較，并對具體的問題建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，用數(shù)學(xué)軟件求解出答案.本模型可以很容易推廣到n個(gè)隊(duì)員的情況，并可以自由的增加或減少能力的項(xiàng)數(shù)。本模型是一個(gè)最佳組隊(duì)方案，故可以由原來的數(shù)學(xué)建模組隊(duì)推廣到其它方面的最優(yōu)組隊(duì)，比如中國國家足球、籃球隊(duì)的篩選最優(yōu)組隊(duì)問題，因?yàn)檫@里涉及到各個(gè)隊(duì)員的配合問題及個(gè)人的技術(shù)問題，故運(yùn)用本題的模型即可以組成一支進(jìn)攻、防守、配合方面均一流的球隊(duì)。參考文獻(xiàn)：[1]牛映武等.運(yùn)籌學(xué)[M].西安.西安交通大學(xué)出版社.1998,1[2]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.北京.高等教育出版社.2001,3[3]嚴(yán)蔚敏等.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C語言版)[M].北京.清華大學(xué)出版社.2001,1[4]王庚.實(shí)用計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模.安徽.安徽大學(xué)出版社.2000,11[5]龔劍等.MATLAB入門與提高.北京.清華大學(xué)出版社.2000,3TheBestProjectOfMakingUpTheTeam(DepartmentofMathematics,ShaoguanUniversity,Kewenfeng512005,China)Abstract:Thetextusingabilityofteammemberandteammember’sconjugateasmasterstroke,makeuseofmathematicsexpectation,squareetcwhatiscontainedinProbabilityStat.Scalingtheabilityofeachteammemberusingthestandardhomemakingthecompareofthecolliga