信號與系統(tǒng)課件

1引言LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的分析：建立并求解線性微分方程1．時域分析法：在時間域內(nèi)進行分析，即在分析過程中所涉及的函數(shù)的變量都是時間t特點：直觀、物理概念清楚e(t)

+uＬ

(t)–

Ｌ+C

uc(t)

–+–Ｒ-uR

(t)+i(t)例如圖電路，若要求回路電流，則由電路的基本定律，有兩邊微分，得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型此為一個二階系統(tǒng)*不同性質(zhì)的系統(tǒng)可能具有相同的數(shù)學(xué)模型。2古典解法：微分方程的解＝齊次方程的通解＋特解

齊次方程為通解為：——自然響應(yīng)（自由響應(yīng)）非齊次方程特解的形式由激勵函數(shù)決定——受迫響應(yīng)即（系統(tǒng)）全響應(yīng)＝自由響應(yīng)＋受迫響應(yīng)

此法適合于激勵函數(shù)為直流，正弦或指數(shù)等簡單形式的情況，復(fù)雜函數(shù)激勵時，可用疊加積分法或變換域方法。全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)

只有起始狀態(tài)只有外加激勵由系統(tǒng)自身特性決定由激勵和系統(tǒng)共同決定32．變換域分析法：為了便于求解微分方程而將時間變量變換成其它變量如頻率、復(fù)頻率等----求零狀態(tài)響應(yīng)用頻域分析法、復(fù)頻域分析法等。零輸入響應(yīng)是自由響應(yīng)的一部分；受迫響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)的一部分；自由響應(yīng)中除了零輸入響應(yīng)之外的那部分加上受迫響應(yīng)就是零狀態(tài)響應(yīng)。

零輸入響應(yīng)的求解類似自由響應(yīng)的求法；零狀態(tài)響應(yīng)的求取在時域一般采用疊加積分法。

4本章內(nèi)容：系統(tǒng)方程的算子表示法奇異函數(shù)（信號）系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)卷積積分及其性質(zhì)LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域求解5（一）微分算子及其運算規(guī)則

引進算子

令微分算子

,

積分算子

于是,微分方程：

可寫為：

或簡化為：

一、系統(tǒng)方程的算子表示法

6討論：

①

電容、電感的等效算子符號

對電感：

對電容：

——感抗

——容抗

②引進p后，微分方程

→

代數(shù)方程，一般情況下，代數(shù)方程的運算規(guī)則也適用于算子方程，但有例外：

其一，對算子多項式可進行因式分解，但不能進行公因子相消，如：

7其二，算子的乘除順序不可隨意顛倒，即

因為

(二）轉(zhuǎn)移算子

n階線性微分方程為：

即

但對于算子方程

兩邊的算子符號因子p不能消去。

8

則有

定義

——轉(zhuǎn)移算子

于是系統(tǒng)方程可寫成：

令

求零輸入響應(yīng)時，此時方程為齊次方程：算子形式的微分方程與其拉普拉斯變換式形式相似！利用初始條件求解此方程即得零輸入響應(yīng)9A0

t0

t10t(一）階躍函數(shù)(信號)

1.單位階躍函數(shù)(信號)

定義

2.延遲的階躍函數(shù)(信號)

二、奇異函數(shù)(信號)階躍函數(shù)具有切除的作用！101

0tt

110=+-13.利用階躍函數(shù)(信號)表示矩形脈沖

即于是若在一電容的兩端施加一單位階躍電壓，則電容電流為：11矩形脈沖寬度為，高為，面積為

（1）

此極限情況即為單位沖激函數(shù)，記為。

定義：

或定義:

在時，函數(shù)值均為零，在處函數(shù)值為無限大，而脈沖面積為1。

即

（二）沖激函數(shù)(信號)

1.單位沖激函數(shù)(信號)

122.沖激函數(shù)的性質(zhì)

（1）的抽樣性質(zhì)

延遲的單位沖激函數(shù)：

d(t-t0）

（1）0t0t

Ad(t）

（A）0

t例13注意：在積分區(qū)間（1，2）內(nèi)，被積函數(shù)為0(2)單位沖激函數(shù)的積分是單位階躍函數(shù)

(3)單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)

14(4)單位沖激函數(shù)是偶函數(shù)(5)尺度變換15164.單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激偶:求導(dǎo)如單位階躍函數(shù)的積分是單位斜變函數(shù)：

110103.奇異函數(shù)的若干次積分和若干次微分也都是奇異函數(shù)

17此外，還可以定義的n階導(dǎo)數(shù)1818定義：則任意函數(shù)可近似表示為:5.任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)的積分

當時，于是:19

任意波形的信號也可以近似表示為無窮多個階躍信號之和（分解過程略）：t利用后面將要介紹的卷積性質(zhì)，可以很方便地證明這一結(jié)論。20三、

系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

（一）零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的概念

解：（1）建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：

即

（2）求系統(tǒng)的響應(yīng)

例如圖電路，電容兩端有初始電+

R++壓,激勵為,

求t>0時系統(tǒng)的響應(yīng)

。---兩邊乘以

21兩邊求積分：

得

:只與電容兩端的初始狀態(tài)有關(guān)，與輸入激勵無關(guān)

零輸入響應(yīng)（即當激勵時，系統(tǒng)的響應(yīng)）

：與初始狀態(tài)無關(guān)，只與激勵有關(guān)

零狀態(tài)響應(yīng)（即當時，系統(tǒng)的響應(yīng)）

22（二）沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

四、卷積積分及其性質(zhì)(一)卷積積分的定義

和是具有相同變量的兩個函數(shù)，它們相卷積后所成的變量為,、和滿足下列運算關(guān)系,這種運算關(guān)系就稱為卷積積分，并表示為：

系統(tǒng)在單位沖激信號激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

。

系統(tǒng)在單位階躍信號激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

。LTI系統(tǒng)：23(二)卷積積分的物理意義

任意信號可表示為沖激函數(shù)的積分:

線性時不變系統(tǒng):

則

當激勵為時，系統(tǒng)的響應(yīng)為：

結(jié)論：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于系統(tǒng)的激勵與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的卷積積分！

LTIe(t)r(t)=?當時，24一個單位沖激響應(yīng)是的LTI系統(tǒng)對輸入信號所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個單位沖激響應(yīng)是的LTI系統(tǒng)對輸入信號所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。（1）交換率:從系統(tǒng)的觀點解釋：(三)卷積的性質(zhì)

1.卷積的代數(shù)運算

h(t)

e(t)r(t)

e(t)

h(t)r(t)25

h1(t)

h2(t)

w(t)r(t)r(t)（2）結(jié)合率：從系統(tǒng)的觀點解釋：

兩個LTI系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于LTI子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積。

26

r(t)

+r(t)（3）分配率：兩個LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和。從系統(tǒng)的觀點解釋：27結(jié)論：在級聯(lián)中次序可以交換只是LTI系統(tǒng)的特性。產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：①系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；②所有涉及到的卷積運算必須收斂。例如：平方乘2乘2平方若交換級聯(lián)次序，即：顯然是不等價的。282.卷積的積分與微分

卷積的微分:

若

則

卷積的積分:若

則

可推得:

293.與沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的卷積從系統(tǒng)的觀點解釋：單位沖激響應(yīng)等于(t)的系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。(1)與（t）的卷積(2)與u(t)的卷積304.函數(shù)延時后的卷積

若

則

(四)卷積的求取

例1函數(shù)x(t)和h(t)的波形如下,求它們的卷積y(t)=x(t)*h(t)

2x(t)1h(t)

012t

0123t-131解:[方法一]用圖示法

步驟如下:

(1)將橫坐標換成τ且反褶h

(τ),得x(τ)和h(-τ)(2)將h(-τ)沿正τ軸平移時間t,得h(t-τ),當參量t的值不同時,h(t-τ)的位置就不同(3)將x(τ)和

h(t-τ)相乘,然后積分,亦即求

x(τ)h(t-τ)曲線下的面積.

x(τ)

h(-τ)-20123τ

t=0

x(τ)h(t-τ)-20123τ

t0<t<1t<1時:x(τ)h(t-τ)=0

32

x(τ)h(t-τ)-201t23τ1<t<2

x(τ)h(t-τ)-2012t3τ2<t<3

x(τ)h(t-τ)-20123t4τ3<t<433

x(τ)h(t-τ)-201234t5τ4<t<5

y(t)

0135τ-2

x(τ)

h(t-τ)-2012345tτ

t≥5t≥5時:x(τ)h(t-τ)=0

34[方法二]利用卷積的性質(zhì)

y(t)=x(t)*h(t)=dx(t)/dt*∫-∞th(x)dx=[2d(t-1)-2d(t-3)]*f

(t)

=2

d(t-1)*f

(t)-2d(t-3)*f

(t)=2f

(t-1)-2f

(t-3)

x(t)h(t)

dx(t)/dt∫-∞th(x)dx=f

(t)

013t012t

y(t)

0135τ-2

2f

(t-1)

-2f

(t-3)恰當?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計算！353637

五、LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域求解LTI

系統(tǒng):全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),r(t)=rZi(t)+rZS(t)系統(tǒng)方程:

D(p)r(t)=N(p)e(t)[H(p)=N(p)/D(p)]零輸入(e(t)=0時)響應(yīng)分量rZi(t)滿足:

D(p)rZi(t)=0若D(p)=(p-l1)(p-l2)…(p-ln)（n個單根）則rZi(t)=C1e

l1t+C2e

l2t+…+Cne

lnt=∑i=1nCie

lit若D(p)=(p-l1)(p-l2)…(p-ln-k)(p-l)k

（有一個k階重根）則rZi(t)=C1e

l1t+C2e

l2t

+…+Cn-ke

ln-kt

+(Cn-k+1+Cn-k+2t+…+Cntk-1)elt零狀態(tài)響應(yīng)分量rZS(t)=h(t)*e(t)38例1描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為:d2r(t)/dt2+3dr(t)/dt+2r(t)=2de(t)/dt+6e(t),已知r(0-)=2,r’(0-)=0,e(t)=e(t),求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)。解(1)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)rZi(t)e(t)=0:

d2rZi(t)/dt2+3drZi(t)/dt+2rZi(t)=0

且滿足r(0-)=2,r’(0-)=0特征方程D(p)=p2+3p+2=(p+1)(p+2)=0

l1=-1,l2=-2

rZi(t)=C1e-t+C2e-2t,t≥0求C1、C2:rZi(0+)=rZi(0-)=r(0-)=2

→C1+C2=2rZi’(0+)=rZi’

(0-)=r’(0-)=0

→-C1-2C2=039→

C1=4,C2=-2→rZi(t)=(4e-t-2e-2t)e(t)(2)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)rZS(t)先求沖激響應(yīng)h(t):系統(tǒng)方程的算子形式(p2+3p+2)r(t)=(2p+6)e(t)H(p)=(2p+6)/(p2+3p+2)=4/(p+1)-2/(p+2)

h(t)滿足:

h(t)=H(p)d(t)=(4e-t-2e-2t)e(t)=rZi(t)

rZS(t)=