專題08 立體幾何（原卷版）

專題08立體幾何一、單選題1．（2021·廣東高三期中）在正方體中，下列直線與成60°角的是（）A． B． C． D．2．（2021·廣東龍崗·高三期中）如圖，在中，，，為的中點，將沿折起到的位置，使得二面角為，則三棱錐的體積為（）A． B．4 C． D．23．（2021·廣東高三期中）中國古代數(shù)學的瑰寶《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上?下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，其高為3，底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧AD長度為弧BC長度的3倍，且，則該曲池的體積為（）A． B． C． D．4．（2021·廣東江門·高三階段練習）已知三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且，分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，則兩點間距離的最小值為（）A． B． C． D．5．（2021·廣東·高三階段練習）已知異面直線、所成的角為，其公垂線段的長度為，長度為的線段的兩端點分別在直線、上運動，則中點的軌跡為（）（注：公垂線段指與異面直線垂直且相交的線段）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線6．（2021·廣東東莞·高三階段練習）已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為（）A． B． C． D．二、多選題7．（2021·廣東·高三階段練習）如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（）A．三棱錐體積的最大值為B．三棱錐體積的最小值為C．存在某個位置，使得D．設二面角的平面角為，且，則8．（2021·廣東惠州·高三階段練習）如圖所示，從一個半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個正四棱錐，則以下說法正確的是（）A．四棱錐的體積是B．四棱錐的外接球的表面積是C．異面直線與所成角的大小為D．二面角所成角的余弦值為9．（2021·廣東·金山中學高三期中）已知直三棱柱中，，，為的中點．點滿足，其中，則（）A．對時，都有B．當時，直線與所成的角是30°C．當時，直線與平面所成的角的正切值D．當時，直線與相交于一點，則10．（2021·廣東福田·高三階段練習）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點，以下說法正確的是（）A．三棱錐的體積為2B．平面C．異面直線EF與AG所成的角的余弦值為D．過點，，作正方體的截面，所得截面的面積是11．（2021·廣東順德·高三階段練習）如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)分別為，BC的中點，設過點E，F(xiàn)，的平面為，則下列說法正確的是（）A．為等邊三角形；B．平面交正方體的截面為五邊形；C．在正方體中，存在棱與平面平行；D．在正方體中，不存在棱與平面垂直；12．（2021·廣東廣雅中學高三階段練習）已知正方體的棱長為2，動點在正方形內(nèi)，則（）A．若，則三棱錐的的外接球表面積為B．若平面，則不可能垂直C．若平面，則點的位置唯一D．若點為中點，則三棱錐的體積是三棱錐體積的一半13．（2021·廣東·高三階段練習）已知四面體ABCD的每個頂點都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，M為AC的中點，，，且，則（）A．平面ACD B．平面ABCC．O到AC的距離為 D．二面角的正切值為14．（2021·廣東·高三階段練習）為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列結(jié)論正確的是（）A．經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為B．平面平面ADEC．直線AD與平面DEF所成的角為D．球面上的點離球托底面DEF的最小距離為15．（2021·廣東·高三階段練習）在長方體中，，，是線段上的一動點，則下列說法中正確的是（）A．平面B．與平面所成角的正切值的最大值是C．的最小值為D．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長是16．（2021·廣東·高三階段練習）在正方體中，下列直線或平面與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．平面 D．平面17．（2021·廣東化州·高三階段練習）如圖1，直角梯形ABCD中，，，，E為AD的中點，將△ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C是直二面角，并連接AC，AD得到四棱錐A-BCDE，如圖2.M，N分別是圖2中BC，AD的中點則下列四個結(jié)論中正確的是（）A．平面BCDE B．平面ABEC． D．18．（2021·廣東·高三階段練習）如圖的正方體中，棱長為2，點是棱的中點，點在正方體表面上運動.以下命題正確的有（）A．側(cè)面上不存在點，使得B．點到面的距離與點到面的距離之比為C．若點滿足平面，則動點的軌跡長度為D．若點到點的距離為，則動點的軌跡長度為19．（2021·廣東·高三階段練習）設是給定的平面，、是不在內(nèi)的任意兩點，則（）A．在內(nèi)存在直線與直線平行 B．在內(nèi)存在直線與直線相交C．在內(nèi)存在直線與直線垂直 D．存在過直線的平面與垂直20．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則下列結(jié)論正確的是（）A．直線DB1與平面AEF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為D．三棱錐A1?AEF的體積等于21．（2021·廣東東莞·高三階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，P為線段上的動點，下列說法正確的是（）A．對任意點P，平面B．三棱錐的體積為C．線段DP長度的最小值為D．存在點P，使得DP與平面所成角的大小為22．（2021·廣東·順德一中高三階段練習）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段BC1上運動，則下列判斷中正確的是（）A．平面PB1D⊥平面ACD1B．A1P∥平面ACD1C．異面直線A1P與AD1所成角的范圍是D．三棱錐D1-APC的體積不變?nèi)?、填空題23．（2021·廣東·高三階段練習）已知三棱錐的所有棱長都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的體積為_______24．（2021·廣東·金山中學高三期中）正三角形的邊長為2，將它沿高翻折，使點與點間的距離為，此時四面體外接球表面積為__________．25．（2021·廣東龍崗·高三期中）已知正方體的棱長為，點為中點，點?在四邊形內(nèi)（包括邊界），點到平面的距離等于它到點的距離，直線平面，則的最小值為___________.26．（2021·廣東·高三階段練習）在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為____________.27．（2021·廣東·高三階段練習）已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面平面SCB，，，三棱錐的體積為9，則球O的表面積為______．28．（2021·廣東江門·高三階段練習）已知圓錐底面的半徑為1，側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的高為___________.29．（2021·廣東·高三階段練習）已知正四面體的棱長為4，點為該四面體表面上的動點，若是該四面體的內(nèi)切球的一條動直徑，則的取值范圍是________.30．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習）在正三棱錐V—ABC內(nèi)，有一半球，其底面與正三棱錐的底面重合，且與正三棱錐的三個側(cè)面都相切，若半球的半徑為2，則正三棱錐的體積最小時，其高等于__________．31．（2021·廣東·順德一中高三階段練習）等腰三角形ABC腰長為3，底邊BC長為4，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為2，此時四面體ABCD外接球表面積為____.四、解答題32．（2021·廣東湛江·高三階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，點是棱的中點.（1）證明：平面平面.（2）若求二面角的余弦值.33．（2021·廣東惠州·高三階段練習）如圖所示的多面體是由一個直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.34．（2021·廣東·湛江二十一中高三階段練習）如圖，在三棱柱中，平面，為的中點，交于點，，.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.35．（2021·廣東·高三階段練習）如圖①，在菱形中，且，為的中點，將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點，求二面角的余弦值.36．（2021·廣東·金山中學高三期中）如圖，在四棱錐中，底面，，，，．點為棱的中點．

（1）證明：平面；（2）若為棱上一點，滿足，求二面角的正弦值．37．（2021·廣東·高三階段練習）如圖所示的幾何體由三棱錐和正四棱錐拼接而成，平面，，，，，O為四邊形對角線的交點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．38．（2021·廣東·高三階段練習）已知四邊形滿足，，是的中點，將沿著翻折成，使平面平面，為的中點．（1）求四棱錐的體積；（2）求平面與平面所成角的正弦值．39．（2021·廣東龍崗·高三期中）已知矩形滿足，，點為的中點，連接?，交于點.將沿折起，點翻折到新的位置，得到一個四棱錐.（1）證明：平面；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.40．（2021·廣東·高三階段練習）如圖，在直三棱柱中，，，M為AB的中點，N為的中點，P是與的交點．（1）證明：；（2）在線段上是否存在點Q，使得∥平面？若存在，請確定Q的位置；若不存在，請說明理由．41．（2021·廣東順德·高三階段練習）某商品的包裝紙如圖1，其中菱形的邊長為3，且，，，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進行翻折后，點E，F(xiàn)，M，N匯聚為一點P，恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹．（1）證明底面；（2）設點T為BC上的點，且二面角的正弦值為，試求PC與平面PAT所成角的正弦值．42．（2021·廣東實驗中學高三階段練習）如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，.（1）證明:在同一個平面上;（2）設直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角為，判斷與的大小關系，并說明理由.43．（2021·廣東廣雅中學高三階段練習）如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，其它四個側(cè)面都是側(cè)棱長為的等腰三角形，E為的中點．（1）在側(cè)棱上找一點F，使平面，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值．44．（2021·廣東·高三階段練習）如圖，在棱長為3的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD上一點，且.（1）證明：平面C1DE.（2）求BC1與平面C1DE所成角的正弦值.45．（2021·廣東·高三階段練習）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，為中點.（1）若，求證：平面；（2）當直線與平面所成角最大時，求三棱錐的體積.46．（2021·廣東·高三階段練習）如圖1，在平面五邊形中，，且，，，，將沿折起，使點到的位置，且，得到如圖2所示的四棱錐.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.47．（2021·廣東·高三階段練習）如圖，在四棱錐中，二面角是直二面角，為等腰直角三角形的斜邊，，，，為線段上的動點.（1）當時，證明：平面；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.48．（2021·廣東化州·高三階段練習）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點．（1）求證：平面MND⊥平面PCD；（2）求點P到平面MND的距離．49．（2021·廣東江門·高三階段練習）如圖1，已知五邊形，其中是邊長為2的等邊三角形，為等腰梯形，且，現(xiàn)沿著其中一條對角線將向上翻折成四棱錐，設為棱的中點.（1）如圖2，當點在底面的射影恰好在線段上時，求證：平面EAB；（2）如圖3，當四棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.50．（2021·廣東·高三階段練習）如圖，已知四邊形為正方形，平面，，，，為線段上的動點，為的中點.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值的取值范圍.51．（2021·廣東·高三階段練習）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形﹒再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并做答：（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值﹒條件①：；條件②：；條件③：平面平面﹒注：如果選擇多種方案分別解答，那么按第一種方案解答計分﹒52．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，SAD為等腰直角三角形，SA=SD=，AB=2，F(xiàn)是BC的中點，二面角S?AD?B的大小等于120°.（1）在AD上是否存在點E，使得平面SEF⊥平面ABCD，若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明理由.（2）求直線SA與平面SB