2022-2023學(xué)年人教A版 必修第二冊 余弦定理、正弦定理 第3課時 教案

6.4.3余弦定理、正弦定理第3課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例三角形中的幾何計算問題主要包括長度、角、面積等，常用的方法就是構(gòu)造三角形，把所求的問題轉(zhuǎn)化到三角形中，然后選擇正弦定理、余弦定理加以解決，有的問題與三角函數(shù)聯(lián)系比較密切，要熟練運(yùn)用有關(guān)三角函數(shù)公式.課程目標(biāo)1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語；2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：方位角、方向角等概念；2.邏輯推理：分清已知條件與所求，逐步求解問題的答案；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：解三角形；4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，從實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解．重點(diǎn)：由實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實(shí)際問題的解；難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖.教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，但是沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。那么運(yùn)用正弦定理、余弦定理能否解決這些問題？又怎么解決？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本48-51頁，思考并完成以下問題1、方向角和方位角各是什么樣的角？2、怎樣測量物體的高度？3、怎樣測量物體所在的角度？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量中，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)方位角從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角四、典例分析、舉一反三題型一測量高度問題例1濟(jì)南泉城廣場上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征．李明同學(xué)想測量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場的A點(diǎn)測得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2m，到達(dá)B點(diǎn)，測得泉標(biāo)頂部仰角為80°.你能幫李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1m)【答案】泉城廣場上泉標(biāo)的高約為38m.【解析】如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端．依題意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根據(jù)正弦定理，eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴BD＝eq\f(AB·sin60°,sin20°)＝eq\f(15.2·sin60°,sin20°)≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，即泉城廣場上泉標(biāo)的高約為38m.解題技巧（測量高度技巧）(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用．跟蹤訓(xùn)練一1、乙兩樓相距200m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是多少？【答案】甲樓高為200eq\r(3)m，乙樓高為eq\f(400\r(3),3)m.【解析】如圖所示，AD為乙樓高，BC為甲樓高．在△ABC中，BC＝200×tan60°＝200eq\r(3)，AC＝200÷sin30°＝400，由題意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，∴△ACD為等腰三角形．由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3AD2，AD2＝eq\f(4002,3)，AD＝eq\f(400\r(3),3).故甲樓高為200eq\r(3)m，乙樓高為eq\f(400\r(3),3)m.題型二測量角度問題例2如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))nmile的兩個觀測點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°方向、B點(diǎn)北偏西60°方向的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)nmile的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30nmile/h，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時間？【答案】救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時間為1h.【解析】由題意，知AB＝5(3＋eq\r(3))nmile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即BD＝eq\f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝10eq\r(3)nmile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20eq\r(3)nmile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC)＝eq\r(300＋1200－2×10\r(3)×20\r(3)×\f(1,2))＝30nmile，則救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時間為eq\f(30,30)＝1h.解題技巧：(測量角度技巧)測量角度問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解．跟蹤訓(xùn)練二1、在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile的速度追截走私船．此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.【解析】設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，畫出示意圖，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴BC與正北方向成90°角．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.題型三測量距離問題例3如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．若測得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，試計算AB的長．【答案】A，B兩點(diǎn)間的距離為200eq\r(7)m.【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝200eq\r(7)(m)．即A，B兩點(diǎn)間的距離為200eq\r(7)m例4如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測出A，B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測出A，C的距離m，再借助儀器，測出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.若測出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________m.【答案】20eq\r(6).【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(60×sin45°,sin60°)＝20eq\r(6)(m)．即A，B兩點(diǎn)間的距離為20eq\r(6)解題技巧（測量距離技巧）當(dāng)A，B兩點(diǎn)之間的距離不能直接測量時，求AB的距離分為以下三類：(1)兩點(diǎn)間不可通又不可視(如圖①)：可取某點(diǎn)C，使得A，B與C之間的距離可直接測量，測出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).(2)兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)(如圖②)：可選取與B同側(cè)的點(diǎn)C，測出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用內(nèi)角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)兩點(diǎn)都不可到達(dá)(如圖③)：在河邊測量對岸兩個建筑物之間的距離，可先在一側(cè)選取兩點(diǎn)C，D，測出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟蹤訓(xùn)練三1.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測得CD＝a，同時在C，D兩點(diǎn)分別測得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計算出AC和BC，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB.若測得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離．【答案】A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6),4)km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8).∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．∴A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6