第六章第六章二次型及其形

第六章1 二次型及其矩陣定義含有n個變量x1,x2 ,xn的二次齊次多x,x

ax2ax

ax2 x x

2an1,n稱為二次型2f(x,y)x24xy5f(x,y,z)2x2y2xz

f(x1,x2,x3,x4)x1x2x2x3x2f(x,y)x2y2f(x,y)2x2y22

3aija

,2aijxixjaijxix

ajixix則二次型可以表 f x2 xx

x2 a xx

xx n n

i,

aijxixx1(a11x1a12x2 a1n)x2(a21x1a22x2 a2n)xn(an1x1an2x2 ann)5a11x1a12

a1n x

x

(x,x ,

n 2)

x

x x na x a1nx1 x(x,x ,

2n 2 2

a a

x xnn n6

a1n

A

2n

xx 2x a a n n

nn

x x n二次型的矩陣則x二次型的矩陣則x其中A為對稱矩陣7例如f(x,x,x)x23x

4x1x2x2

012 1012(x1,x2,x3)

2 12 3 312 8 xAxfxAx

9定義2：

f x則對稱矩陣A稱為二次型f 二次型f稱為對稱矩陣A的二次型，對稱矩陣A的秩稱為二次型f的秩。例1：求二次型f的 fx22x27x22x 解

2x2x34x3 00 0 A 2 7 例2A所對應(yīng)的二－2 1A 0 －1 解f2x2x2x

6x1x22x1§6.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和x1c11y1c12

x y x y

2

cn1y1cn2y2

ycyx cyx

1n

1

1 記C

2n xx

2,

2 n

nn

n n 則線性變換2)可寫成：xC 若Cx

Cy若C是正交矩陣，則稱線性變換 C二次型的主要問C求可逆線性變換x 把二次型fCx fx ky2k y2若通過可逆線性變換x

Cy將二fxTAx化f

k

2

y2

y2x

y 稱之為二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形（其中 ,kn可正為0）.如果k1, ,kn只在1，-1，0則稱ky2ky2 ky2為二次型f的規(guī)范形 矩陣若有可逆線性變換x

x

y(CAC) yfx

則有(1B R(B)R(使得CACB則稱矩A與矩B.【注】⑴如果矩陣A和B合同，則A和B反之未必為交陣，則BTC1AC 2.法 【定理6.1 二次型fxT

,總存

ff

2

2 y2 Py，

其中1,2 ,n是實對稱矩陣A的特征值【上章5.7設(shè)A為n階實對稱陣，則必有正交陣P，使 P1APPTAP ，其中 ,為A的特征值 n Py求正交變換xPy

f為標(biāo)準(zhǔn)形①寫出二次型的矩陣A（A為實對稱矩陣③寫出正交變換x

，以ff

2

2 y2, 其中1,2 ,n是矩陣A的特征值

化二次Pf4x24x24x24xx4xP 為標(biāo)準(zhǔn)形。(經(jīng)典+傳統(tǒng)題型 2

4x2【解 f的矩陣為A 2 44422因A242(2)2(224令(2)2(8)得A特征值為18,232 當(dāng)8時，求方程組(A8E)x0的基礎(chǔ)解系為 (1,1,1)T1當(dāng)2時，方程組A

0的基礎(chǔ)解系 3

2E)(1,1,0)T (1,0,1T 將(1,1,0)T,(1,0,1)T正交 (1,1,0)T(1,1, 3331將(1,1,1)T單位化(1,1,1)T3331然后將(1,1,0)T,(1,1,2)T單位化 666 2666222p ,0)T222

p3 ) 1326 326 1令P

p1,p2,p3

P為正交陣326 3260 206 6 經(jīng)過正交變換xPyf化為標(biāo)準(zhǔn)f8y22y22y2 對照【上章例1 2“設(shè)A 2，求正交陣P，使得P1AP為對角陣。 4 的解題過程，發(fā)現(xiàn)首尾有點變化，中間過程完全一樣 （2）配方法 ①含平方f4x24x24x 用配方法化為

4x1x24x1x34x2f4x2x

xx)4x24x24x4[(x1x1x)21x21xx1x2

4x22

4x24x 4(x1x1x)23x23x22x 4[x1x1x]23[x1x]28x2， yx1x1x xy1y1y

1

1令 x x

即 y y,

y3

x3

y3f4y23y28y 2f8y22y22y2 f4y23y28y2不一樣。為什么？ ②不含4】用配方法化二次型f2x1x24x1x3成標(biāo)準(zhǔn)形并求所用的變換矩陣。x1y1y2 x1 0y1【解】先令 yy,即x 0y，

2

2 y

x

y 3 3f2y22y24yy4y 2(yy)22(yy)2 z1y1y3 y1z1z3,y1 1z1再令 yy

即yzz,y

1z

2

2 y

y z,y

1z

3

x1 0 1z1 0z1x

0

1z

2z 2

2

2x

1z

z 3

3 f2z22z2

3234的解題過程表明⑴正交變換法和配方法所得的標(biāo)準(zhǔn)形未必相同⑵配方法中，配方的方式不唯一，最后所得的標(biāo)準(zhǔn)形也不唯一。那么，同一個二次型的不同標(biāo)準(zhǔn)形之間有什么關(guān)系【定理6.2設(shè)有實二次

f

其秩xAx,有兩個可逆

xCy,x分別把二次型變 fky2ky2 及fz2z2 z (及 則k1,k2, ,kr與1,2, ,r中正數(shù)的個數(shù)相等。其中負(fù)數(shù)的個數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù) 【推論1】

fxTAx,f的正（負(fù)慣性指數(shù)等于實對稱矩陣A的正（負(fù)）特征值定

設(shè)二

fxT

若對任意x0f xAx若對0 fxTAxf為負(fù)定二次型,A為負(fù)定定理6.5

fx)xf

為正定二次的充要條件

f的標(biāo)準(zhǔn)n個系數(shù)全是正的即其正慣性指數(shù)是。 。 f( f(Cy)y2

y2

y2 對稱矩A為正定的充要條件A的特:A的各階順序主子式全是正的 即a11

推論：對稱矩陣A為負(fù)定的充要條件f 總結(jié)：

xAx(1

x0x

f AxA的特征 Axf的正慣性指數(shù)為A的各階順 即a11

AUTU,其中UA與E合同1】判別二次f5x26y24z24xy4xz是否正定.【答案】非正

方法f(00,1)4 2方法二：A 0的一階順序主子式為- 4 2】fxxx2x2x2x22x 為正定二次型，求t的取值

tx2x3， 0 t22【答案】A 22

，221

t 3】設(shè)A3實對稱矩陣且滿足A22A0,已R(A)求A當(dāng)k為何值時，矩陣AkE為正定矩陣,其中E為階單位矩（1）由