3線性系統(tǒng)的能控性與觀測性

1第三章線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性2能控性與能觀測性的基本概念線性定常系統(tǒng)能控性及其判據(jù)線性定常系統(tǒng)能觀性及其判據(jù)離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性能控性與能觀測性的對(duì)偶關(guān)系能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)能控性和能觀測性與零極點(diǎn)的關(guān)系主要內(nèi)容3第一節(jié)能控性與能觀測性的基本概念一、能控性的基本概念系統(tǒng)能控性關(guān)心的核心問題是，系統(tǒng)的狀態(tài)變量能否被控制。圖3-1為電阻-電容組成的橋式電路，如果選取電容兩端的電壓為狀態(tài)變量，

即由《電路》可知，當(dāng)圖3-1電容兩端電位相等，而且，無論輸入電壓如何改變，電容兩端電位始終不變，即始終

從控制的觀點(diǎn)看，就是狀態(tài)變量不受輸入量的控制，或者說，

該電路的狀態(tài)是不能控的。，電橋平衡，4當(dāng)電橋不平衡時(shí)，電容兩端的電位不相等，而且，電容電壓始終跟著輸入電壓的變化而變化。從控制的觀點(diǎn)看，就是狀態(tài)變量受輸入量的控制，或者說該電路的狀態(tài)是能控的。系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控的模擬結(jié)構(gòu)圖，如圖3-2所示。圖3-2不能控系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖5圖3-2中，系統(tǒng)有兩個(gè)狀態(tài)變量。從圖中可看出：

，換句話說，輸入量的變化會(huì)引起與系統(tǒng)的輸入量無關(guān)，

或者說，因此，該系統(tǒng)狀態(tài)是不完全能控的。不受系統(tǒng)輸入量的控制。的變化，即該變量被輸入量所控制；

受控于系統(tǒng)的輸入量6圖3-3是能控系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，從圖中可看出，系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量圖3-3能控系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖都受控于系統(tǒng)的輸入量，因此，該系統(tǒng)的狀態(tài)都是能控的。從上面的例子可看出，系統(tǒng)的狀態(tài)是否能控，不但與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而且與輸入量的作用點(diǎn)也有關(guān)。7二、能觀測性的基本概念系統(tǒng)能觀測性關(guān)心的核心問題是，狀態(tài)變量能否從輸出量y中檢測出來。圖3-4圖3-4的電路，電路中，若選取兩個(gè)電感上的電流和分別作為狀態(tài)變量，，輸入量為，為輸出量。8根據(jù)《電路》知識(shí)，用第一章介紹的方法可求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方程為用第二章介紹的方法可求出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣9狀態(tài)方程的解為于是，系統(tǒng)輸出---電路的初始狀態(tài)。。

為了便于討論，令輸入為零，只考慮初始狀態(tài)下系統(tǒng)的輸出量可得輸出表明：系統(tǒng)的輸出只是與狀態(tài)間的誤差值有關(guān)，也就是說，并不能從系統(tǒng)的輸出值中確定出各個(gè)狀態(tài)值，因此，電路是不能觀測的。10圖3-5為不完全能觀測系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。

從圖中看出，系統(tǒng)的輸出值完全與第3個(gè)狀態(tài)變量無關(guān)，換句話說，不能從系統(tǒng)的輸出值中檢測出第３個(gè)狀態(tài)變量。圖3-5一種不完全能觀測系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖11第二節(jié)線性定常系統(tǒng)的能控性及其判據(jù)一、狀態(tài)能控性定義

如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在的有限時(shí)間內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一終端狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是能控的。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。若其中有一個(gè)狀態(tài)不可控，就稱系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是不能控的。兩點(diǎn)說明：（1）對(duì)于初始狀態(tài)，定義中指的是狀態(tài)空間中的任意坐標(biāo)點(diǎn)。若初始狀態(tài)特指是坐標(biāo)原點(diǎn)，控制的目標(biāo)是狀態(tài)空間中的任一終端狀態(tài)，常稱系統(tǒng)是狀態(tài)能達(dá)的。要注意的是，對(duì)于連續(xù)定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性是等價(jià)的，就是說，能控的系統(tǒng)一定是能達(dá)的，能達(dá)的系統(tǒng)一定是能控的，因?yàn)?，連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程12（2）為了計(jì)算和討論的方便，常假定初始時(shí)刻，初始狀態(tài)的坐標(biāo)點(diǎn)在，而終端狀態(tài)指定為坐標(biāo)的原點(diǎn)的終端目標(biāo)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，完全可以通過坐標(biāo)平移，使其在新的坐標(biāo)系下處在狀態(tài)空間中的。如果控制坐標(biāo)原點(diǎn)上，這不會(huì)影響結(jié)果的正確性。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù)，有三種形式。一種是按標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)方程的方二、狀態(tài)能控性判據(jù)法去判定；一種是通過線性變換的方法去判定；第三種是根據(jù)“能控性矩陣的秩”方法去判定。分述如下：13方法1狀態(tài)方程具有某種標(biāo)準(zhǔn)型的判據(jù)若系統(tǒng)矩陣具有標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)方程，則判定系統(tǒng)狀態(tài)是否能控的方法比較簡單。判據(jù)一若系統(tǒng)矩陣為對(duì)角線型，且特征值互不相同則系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是，對(duì)于單輸入-單輸出系統(tǒng)，輸入矩陣沒有零元素；對(duì)于多輸入系統(tǒng)，輸入矩陣無全零行。14判據(jù)的嚴(yán)格證明從略。只通過如下例加于解釋和說明。若系統(tǒng)狀態(tài)方程為寫成微分方程組若均不為0，

從微分方程組可看出，、

與輸入都有關(guān)，

即，都能受到輸入的控制，因此該系統(tǒng)是能控的。15若系統(tǒng)狀態(tài)方程為寫成微分方程組若從微分方程組可看出，與輸入無關(guān)，

即不能受輸入。該系統(tǒng)是不完全能控的，或系統(tǒng)是不能控的。的控制16例3-1有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。系統(tǒng)2系統(tǒng)1解

根據(jù)判據(jù)一，系統(tǒng)（1）不能控；系統(tǒng)（2）能控。系統(tǒng)（1）的模擬狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖：17判據(jù)二

若系統(tǒng)矩陣為約當(dāng)型，且一個(gè)特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊則系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是：輸入矩陣中對(duì)應(yīng)于互異的特征值的各行，沒有一行的元素全為零；2.輸入矩陣中與每個(gè)約當(dāng)塊最后一行相對(duì)應(yīng)的各行，沒有一行的元素全為零。--------------------------------------------------18通過例加于說明和理解。若系統(tǒng)狀態(tài)方程為系統(tǒng)狀態(tài)是能控的。因?yàn)閷?duì)應(yīng)的3個(gè)一階微分方程中，都含有輸入量。--------------

------------------若系統(tǒng)狀態(tài)方程為-----------------------------------輸入矩陣中出現(xiàn)全零行，系統(tǒng)狀態(tài)是不能控的。

實(shí)際上，對(duì)應(yīng)的3個(gè)一階微分方程中，有不含輸入量的。19判據(jù)三若系統(tǒng)的狀態(tài)方程是能控標(biāo)準(zhǔn)型，即則系統(tǒng)一定是狀態(tài)能控的。20方法2

通過線性變換方法的判據(jù)上一章指出，線性變換不會(huì)改變系統(tǒng)特征值，實(shí)際上也不會(huì)改變系統(tǒng)能控性的條件。因此，對(duì)于一般的系統(tǒng)，設(shè)狀態(tài)方程為（3-1）若系統(tǒng)矩陣的特征值互異，則一定可以選取變換矩陣，

并令可使式（3-1）的系統(tǒng)矩陣變換為對(duì)角線型，變換后的狀態(tài)方程為

（3-2）21判據(jù)四若系統(tǒng)矩陣的特征值互異，通過線性變換變成式（3-2）的形式，則系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是，控制矩陣的各行沒有0元素。對(duì)于多輸入系統(tǒng)，控制矩陣的各行元素沒有全為0的。若系統(tǒng)矩陣的特征值有相異也有相同的，則一定可以選取一變換矩陣，并令

可使式（3-1）系統(tǒng)矩陣變換成約當(dāng)型，

變換后的狀態(tài)方程為判據(jù)五

若系統(tǒng)矩陣的特征值有相異也有相同時(shí)，先通過線性變換變成式（3-3）的形式，則系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是（3-3）22

控制矩陣中對(duì)應(yīng)于互異特征值的部分，它的各行元素，沒有全為0的。2.控制矩陣中對(duì)應(yīng)于相同特征值的部分，它與每個(gè)約旦塊最后一行相對(duì)應(yīng)

的一行的元素，沒有全為0的。例3-2有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。系統(tǒng)1系統(tǒng)2解

根據(jù)判據(jù)五，系統(tǒng)1能控；系統(tǒng)2不能控。-------------------------------------------------23方法3

“能控性矩陣秩”判據(jù)能控性矩陣秩判據(jù)，是直接通過系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣構(gòu)造一個(gè)新矩陣，常稱新矩陣為能控性矩陣（3-4）判據(jù)六階系統(tǒng)狀態(tài)方程

則系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是，由和構(gòu)成的能控性矩陣式（3-4）為滿秩，即否則，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)不能控，簡稱系統(tǒng)不能控。設(shè)24例3-3判別如下系統(tǒng)的能控性解構(gòu)造能控性矩陣：25能控性矩陣的秩：因?yàn)椋芸匦跃仃嚨闹纫驳扔?，滿秩，故系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。例4設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為若要求系統(tǒng)狀態(tài)可控，試求的值。26解

構(gòu)造能控性矩陣令即可滿足可控性條件，于是有27通過上面的介紹和討論，有如下結(jié)論：（1）系統(tǒng)的能控性，是由狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣

由于系統(tǒng)矩陣是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的，而輸入矩陣是與控制信號(hào)的

作用點(diǎn)有關(guān)，所以，換句話說，系統(tǒng)的能控性，完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及控制信號(hào)作用點(diǎn)來決定；決定的。（2）在系統(tǒng)矩陣為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，若輸入矩陣出現(xiàn)全0行，則與之對(duì)應(yīng)的是不含輸入量的齊次微分方程，這就意味著該狀態(tài)變量不可能在有限時(shí)間內(nèi)衰減到零狀態(tài)，系統(tǒng)是不能控的。28（3）在系統(tǒng)矩陣為約旦標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，由于前一個(gè)狀態(tài)總是受下一個(gè)狀態(tài)的控制，所以，只有當(dāng)輸入矩陣中相應(yīng)于約旦塊的最后一行的元素出現(xiàn)全0時(shí)，

則與之對(duì)應(yīng)的是不含輸入的一齊次微分程，也就意味著該狀態(tài)不受輸入的控制，因此，系統(tǒng)是不能控的。29三、輸出能控性及其判據(jù)系統(tǒng)輸出能控性所關(guān)心的問題是，系統(tǒng)的輸入量對(duì)系統(tǒng)輸出量的控制能力如何。對(duì)于線性定常系統(tǒng)如果存在控制作用，能在有限時(shí)間內(nèi)，使給定的任一系統(tǒng)初始輸出轉(zhuǎn)移到指定的任一終端輸出，則稱系統(tǒng)輸出是完全能控的。簡稱系統(tǒng)輸出能控。維輸出。能在有限時(shí)具有30可以證明，當(dāng)下面輸出能控性矩陣（3.-12）的秩等于

，即時(shí)，系統(tǒng)輸出是完全能控的。為輸出的個(gè)數(shù)。例3-5己知系統(tǒng)分析系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和輸出能控性。31解

系統(tǒng)的狀態(tài)能控性矩陣因?yàn)?，，所以，系統(tǒng)的狀態(tài)不完全能控。系統(tǒng)的輸出能控性矩陣因?yàn)椋?，系統(tǒng)的輸出完全能控。32第三節(jié)能觀測性及其判據(jù)能觀測性指由系統(tǒng)的輸出y(t)識(shí)別狀態(tài)變量x(t)的能力，它回答了狀態(tài)變量能否由輸出反映出來。系統(tǒng)中的有些狀態(tài)，能夠通過輸出y(t)確定下來，有些狀態(tài)則不能通過y(t)確定下來。能通過y(t)確定下來的狀態(tài)，稱為能觀狀態(tài)；不能通過y(t)確定下來的狀態(tài)稱為不能觀狀態(tài)。一、能觀測性定義如果對(duì)任意給定的輸入u(t)，存在一有限觀測時(shí)間，使得根據(jù)期間的輸出能唯一地確定系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)，則稱狀態(tài)是能觀測的。如果系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程;y=cx

幾點(diǎn)說明：

1、把能觀測性規(guī)定為對(duì)初始狀態(tài)的觀測,是因?yàn)橐坏┐_定了初始狀態(tài),便可依輸入,利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程求出各個(gè)瞬時(shí)的狀態(tài)。

2、能觀測性是研究輸出反映狀態(tài)向量的能力，即通過輸出量在有限時(shí)間內(nèi)的量測，能否把系統(tǒng)的狀態(tài)識(shí)別出來。

由于輸入引起的輸出可計(jì)算，所以分析觀測性時(shí)，常令u恒等于0。35舉例

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下顯然輸出中只有，而無，所以從中不能確定，只能確定。我們稱是可觀測的，是不可觀測的。36

二、能觀測性判據(jù)1、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)（1）A為對(duì)角型線性系統(tǒng)

,則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是輸出矩陣C不含有元素全為零的列。具有兩兩相異的特征值,

37例：考察如下系統(tǒng)的能觀測性：38（2）A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是輸出矩陣中，對(duì)應(yīng)于每個(gè)約當(dāng)塊的第1列元素不全為零。說明:對(duì)于一般的系統(tǒng),可先變換成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,再用上面方法進(jìn)行判別。39例]：考察如下系統(tǒng)的能觀測性：40412、秩判據(jù)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是其能觀測性判別矩陣：滿秩即：42例

判別如下系統(tǒng)的能觀測性解構(gòu)造能觀測性判別矩陣43故此系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能觀測。:44例判別如下系統(tǒng)的能觀測性.解構(gòu)造能觀測性判別矩陣，并判斷其秩故此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的451、離散系統(tǒng)的能控性定義若存在控制序列{u(0)，u(1)，…，u(l-1)}(ln)能將某個(gè)初始狀態(tài)x(0)=x0在第l步上到達(dá)零態(tài)，即x(l)＝0，則稱此狀態(tài)是完全能控的。

如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)：一、離散系統(tǒng)的能控性第四節(jié)

離散系統(tǒng)的能控性與能觀測性46即：線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是其能控性判別矩陣：2、離散系統(tǒng)的能控性判據(jù)滿秩47例：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。解首先構(gòu)造能控判別陣48能控性判別陣為：能控性判別陣的秩：故系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。49如果根據(jù)有限個(gè)采樣周期內(nèi)測量的y(0)，y(1)，…，y(l)，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x0

，則稱x0為能觀測狀態(tài)。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的。二、離散系統(tǒng)的能觀測性對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)：1、離散系統(tǒng)的能觀測性定義502、離散系統(tǒng)的能觀測性判別

對(duì)于線性離散定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能觀測的充要條件是其能觀測性判別矩陣：滿秩即：51[例]：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程如下，試判斷其能觀測性[解]：系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測52三、采樣周期對(duì)離散化系統(tǒng)能控性和能觀測性的影響思考：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，離散化后其狀態(tài)能控性和能觀測性是否發(fā)生變化。[例]：是狀態(tài)完全能控且能觀測的。寫出其離散化方程，并確定使相應(yīng)的離散化系統(tǒng)能控且能觀測的采樣周期T的范圍。[已知連續(xù)系統(tǒng)：53解：先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：所以：54要使系統(tǒng)狀態(tài)能控，則能控判別陣的行列式非零，即：要使系統(tǒng)狀態(tài)能觀測，則能觀測判別陣的行列式非零，即：聯(lián)立上2式可知，要使離散化后系統(tǒng)能控且能觀測，T必須滿足：551）、對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是不能控和不能觀測的，則其離散化

后的系統(tǒng)也必是不能控和不能觀測的。2）、對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是能控和能觀測的，則其離散化后的

系統(tǒng)不一定是能控和能觀測的。3）、離散化后的系統(tǒng)能否保持能控和能觀測性，取決于采樣周期T的選擇。故，線性連續(xù)定常系統(tǒng)離散化后，系統(tǒng)的能控和能觀測性變差了。.結(jié)論：56第五節(jié)

能控性與能觀測性的對(duì)偶關(guān)系

線性系統(tǒng)的能控性與能觀測性之間存在著一種內(nèi)在聯(lián)系，它就是系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系。這種聯(lián)系是由Kalman（卡爾曼）提出，并得到了論證。一、對(duì)偶系統(tǒng)定義給定兩個(gè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)1系統(tǒng)2若滿足關(guān)系（3-22）則稱這兩個(gè)系統(tǒng)為互為對(duì)偶系統(tǒng)。57對(duì)偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖3-7所示。圖3-7對(duì)偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖a)系統(tǒng)1b)系統(tǒng)2

由圖3-7可見，互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，輸入端與輸出端的位置互換，信號(hào)傳遞方向相反，信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對(duì)應(yīng)矩陣互為轉(zhuǎn)置。58二、對(duì)偶系統(tǒng)原理

互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，它們的能控性和能觀測性也是對(duì)偶的，即系統(tǒng)1的能控性等價(jià)于系統(tǒng)2的能觀測性，系統(tǒng)1的能觀測性等價(jià)于系統(tǒng)2的能控性。證明

設(shè)系統(tǒng)2為n維線性定常連續(xù)系統(tǒng)，若能控性判別矩陣（3-23）的秩即滿秩，則系統(tǒng)2為狀態(tài)能控系統(tǒng)。59若系統(tǒng)1與系統(tǒng)2是對(duì)偶系統(tǒng)，將式（3-22）代入式（3-23），有（3-24）

式（3-24）說明，系統(tǒng)2的能控性判別矩陣就是系統(tǒng)1的能觀測判別矩陣。因此，系統(tǒng)1是能觀測的，即系統(tǒng)2的能控性等價(jià)于系統(tǒng)1的能觀測性。同理可證，系統(tǒng)2的能觀測性等價(jià)于系統(tǒng)1的能控性。三、對(duì)偶系統(tǒng)的基本特性（1）對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，傳遞函數(shù)（矩陣）互為轉(zhuǎn)置(3-25)60（2）互為對(duì)偶系統(tǒng)的特征方程和特征值相同。

有了對(duì)偶原理，研究一個(gè)系統(tǒng)的能控性問題可以通過它的對(duì)偶系統(tǒng)的能觀測性問題去研究；而系統(tǒng)的能觀測性問題可以通過它的對(duì)偶系統(tǒng)的能控性問題去研究。這在控制理論的研究上有一定的意義。(3-26)61例

3-13線性定常系統(tǒng)式中判別系統(tǒng)的能觀測性。解

（1）對(duì)偶系統(tǒng)的分析方法原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)為62判定對(duì)偶系統(tǒng)的能控性。原系統(tǒng)為3維,能控性判別矩陣及其秩為對(duì)偶系統(tǒng)能控。根據(jù)對(duì)偶原理，原系統(tǒng)能觀測。(2)原系統(tǒng)的能觀測性分析方法

原系統(tǒng)的能觀測性判別矩陣為原系統(tǒng)是能觀測的。63第六節(jié)

能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型

第一章指出，同一物理系統(tǒng)由于狀態(tài)變量的選擇不同，其狀態(tài)空間表達(dá)式也不同。由于在采用狀態(tài)空間法分析與綜合系統(tǒng)時(shí)，若將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為某種特定的“標(biāo)準(zhǔn)型”或稱為“規(guī)范型”時(shí)，往往可簡化系統(tǒng)的分析與綜合。例如，采用“能控標(biāo)準(zhǔn)型”，可方便對(duì)系統(tǒng)實(shí)施狀態(tài)反饋；采用“能觀測標(biāo)準(zhǔn)型”，能方便進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)以及系統(tǒng)參數(shù)的辯識(shí)。所以有必要介紹和討論有關(guān)系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的問題。64

把非標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型的前題是，只有狀態(tài)完全能控（或完全能觀測）的系統(tǒng)才能化為能控標(biāo)準(zhǔn)型（或能觀測標(biāo)準(zhǔn)型）。主要的方法是，系統(tǒng)的非奇異線性變換；理論的依據(jù)是，非奇異線性變換，系統(tǒng)的特征值、傳遞函數(shù)(矩陣)、能控性、能觀測性等重要性質(zhì)均保持不變。

單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型，具有唯一型式。多輸入-多輸出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型，型式不為一。本節(jié)只討論單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)內(nèi)容，有關(guān)多輸入-多輸入系統(tǒng)的相關(guān)內(nèi)容，請參閱有關(guān)文獻(xiàn)。65一、能控標(biāo)準(zhǔn)型1.

能控標(biāo)準(zhǔn)型的表達(dá)式

本章第二節(jié)已提及過“能控標(biāo)準(zhǔn)型”。單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)空間表達(dá)式為（3-27）若狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣具有如下型式(3--28)則稱式（3-27）為系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型，且該系統(tǒng)一定具有完全能控性?？梢?，能控標(biāo)準(zhǔn)型只針對(duì)狀態(tài)方程的參數(shù)矩陣和輸入矩陣

有要求。A662.非能控形轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)形方法設(shè)階線性定常系統(tǒng)

,狀態(tài)空間表達(dá)式(3-29)若系統(tǒng)能控性矩陣的秩為滿秩，即則一定存在非奇異線性變換，或?yàn)樽儞Q矩陣，能將式（3-29）系統(tǒng)變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型.67式中(3-30)如何尋找變換矩陣？.常常采用先構(gòu)建其逆矩陣,然后對(duì)其求逆的方法得到

。的構(gòu)建為（3-31）68式（3-31）中的行向量，為系統(tǒng)能控性判別矩陣的逆矩陣的最后一行,即(3-32)證明略。

因此,通過線性非奇異變換把一般能控型轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型時(shí),可先根據(jù)式(3-31)確定出變換矩陣的逆矩陣,再對(duì)其求逆得到。69例3-14把下面系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。

其中70解

(1)判別系統(tǒng)能控性系統(tǒng)為3維，具有能控性，能轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。(2)求變換矩陣71(3)求能控標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)矩陣(4)系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型72二、能觀測標(biāo)準(zhǔn)型1.

能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的表達(dá)式單輸入-單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)空間表達(dá)式為（3-33）若系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣具有如下型式則稱式（3-33）為系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型，且該系統(tǒng)具有完全能觀測性?？梢?，能觀測標(biāo)準(zhǔn)型只對(duì)狀態(tài)方程的參數(shù)矩陣A和輸出矩陣c有要求。732.非能觀標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形方法線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式(3-34)若系統(tǒng)能觀測矩陣滿秩。.則一定存在非奇異線性變換，，

為變換矩陣，能將式（3-34）具有能觀測性系統(tǒng)，變換成能觀測標(biāo)準(zhǔn)型：式中(3-35)74變換矩陣的構(gòu)建為（3-36）.式（3-36）中的列向量，為系統(tǒng)能觀測判別矩陣的逆矩陣的最后一列，即

(3-37)因此，在通過非奇異線性變換把狀態(tài)完全能觀測系統(tǒng)，轉(zhuǎn)變?yōu)槟苡^測標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，應(yīng)先根據(jù)式（3-36）確定出變換矩陣

。75例3-15系統(tǒng)狀態(tài)空間方程其中判別系統(tǒng)能觀測性；若能觀測，轉(zhuǎn)換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。76解

(1)判別系統(tǒng)能觀測性系統(tǒng)具有能觀測性，能轉(zhuǎn)換為能觀測性標(biāo)準(zhǔn)型。

(2)計(jì)算變換矩陣77(3)能觀標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)矩陣(4)系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型78第七節(jié)

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解，是狀態(tài)空間分析中的一個(gè)重要內(nèi)容。結(jié)構(gòu)分解，就是對(duì)于不完全能控和（或）不完全能觀測的系統(tǒng)，把能控和（或）能觀測的狀態(tài)作為子系統(tǒng)分解出來。.

結(jié)構(gòu)分解的基本方法，也是通過引入合適的非奇異線性變換。一、按能控性分解狀態(tài)不完全能控的線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)空間式（3-38）式中，為維向量，，為維向量，維向量，為維向量，為為維向量。79若其能控性判別矩陣（3-39）的秩，則存在非奇異變換矩陣

，對(duì)式（3-38）系統(tǒng)進(jìn)行非奇異變換，將式（3-38）系統(tǒng)進(jìn)行能控性結(jié)構(gòu)分解（3-40）式中，（1），其中，為維狀態(tài)能控向量；為維狀態(tài)不能控向量。80（2）其中,分別為維子矩陣；為維子矩陣；分別為維子矩陣。變換矩陣的構(gòu)成：（3-41）式中，的維列向量中，至常由式（3-38）能控性判別矩陣中選取個(gè)線性無關(guān)的列構(gòu)成，另外的列向量，在確保為非奇異矩陣的條件下任意選取。81

可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)空間式（3-38）變換為式（3-40）后，就被分解成能控和不能控兩部分了，其中能控的維子系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為（3-42）而不能控的維子系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為（3-43）能控性結(jié)構(gòu)分解示意圖，如圖3-8所示。82圖3-8能控性結(jié)構(gòu)分解

例3-16系統(tǒng)方程如下要求進(jìn)行能控性結(jié)構(gòu)分解。83解（1）判別系統(tǒng)的能控性系統(tǒng)為3維。由于秩為2，系統(tǒng)不（完全）能控。(2）構(gòu)造非奇異變換矩陣從能控性判別矩陣選擇再補(bǔ)充一個(gè)列向量，且與其線性無關(guān)，84于是非奇異變換矩陣(3)對(duì)原系統(tǒng)線性變換85于是，能控的2維子系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為不能控的維子系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為86二、按能觀性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)方程（3-44）式中，維向量；，；，，

維向量；，，維向量；為為維向量；維向量。若其能觀測判別矩陣的秩，則存在非奇異變換矩陣，對(duì)式（3-44）系統(tǒng)進(jìn)行線性非奇異變換87，將式（3-44）系統(tǒng)作能觀性結(jié)構(gòu)分解（3-45）式中，（1）其中，為維狀態(tài)能觀測向量；為維狀態(tài)不能觀測向量。（2）（3-46）88式中,

分別為維子矩陣；分別為維子矩陣；維子矩陣。為非奇異變換矩陣，通常先求出其逆矩陣后再求逆獲得。而其逆矩陣的1構(gòu)造是，在能觀性判別矩陣中選取個(gè)線性無關(guān)行，記為

、至;另外的個(gè)行向量，在確保為非奇異矩陣的條件下，完全可任意選取，（3-47）89

可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)空間式（3-44）變換為式（3-45）后，就被分解成能觀和不能觀兩部分了，其中能觀的維子系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為而不能觀維子系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為90能觀測性結(jié)構(gòu)分解示意圖，如圖3-9所示。圖3-9能觀測性分解91例3-17己知系統(tǒng)方程能否按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。92解

（1）判別能觀性

系統(tǒng)為3維。由于秩為2，說明系統(tǒng)中線性獨(dú)立的行向量只有2行，系統(tǒng)不（完全）能觀。（2）構(gòu)造非奇異變換矩陣先構(gòu)建其逆矩陣。從能觀性判別矩陣中任選兩個(gè)行向量，例如93再補(bǔ)充一個(gè)與之線性無關(guān)的行向量，非奇異變換矩陣的逆矩陣（3）相關(guān)矩陣

代入于是，能觀性結(jié)構(gòu)分解為94三、

按能控性和能觀性分解維線性定常系統(tǒng)

是狀態(tài)不完全能控和不完全能觀測的。對(duì)于這種系統(tǒng)可采用如下逐步分解的方法進(jìn)行。（1）先將系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解。（2）將能控的子系統(tǒng)按能觀測性進(jìn)行分解。（3）將不能控的子系統(tǒng)按能觀測性進(jìn)行分解。

95圖3-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解圖96例3-18己知系統(tǒng)方程進(jìn)行系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解。解（1）能控、能觀性判別

系統(tǒng)為3維。由于秩均為2，說明系統(tǒng)不（完全）能控不（完全）能觀。97(2）按能控性結(jié)構(gòu)分解按上面方法構(gòu)造非奇異變換矩陣，選取對(duì)原系統(tǒng)線性變換98于是，能控的2維子系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為（2）對(duì)能控的2維子系統(tǒng)再作能觀測結(jié)構(gòu)分解能觀測判別矩陣表明能控的2維子系統(tǒng)中有一狀態(tài)是能觀測的，有一狀態(tài)是不能觀測的。99按上面方法構(gòu)造非奇異變換矩陣逆矩陣，選取能控的子系統(tǒng)按能觀測結(jié)構(gòu)分解的狀態(tài)空間表達(dá)式為100（3）不能控的子系統(tǒng)作能觀測結(jié)構(gòu)分解由系統(tǒng)能控性分解可知，不能控的子系統(tǒng)

可見，不能控的子系統(tǒng)只有一維，輸出是能觀測的，無須再對(duì)其作能觀測結(jié)構(gòu)分解了，于是不能控的子系統(tǒng)作能觀測結(jié)構(gòu)分解狀狀態(tài)空間表達(dá)式為101結(jié)合上面分析，原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解后的狀態(tài)空間表達(dá)式為102第八節(jié)傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)問題1、實(shí)現(xiàn)的基本屬性2、能控性實(shí)現(xiàn)和能觀測性實(shí)現(xiàn)3、最小實(shí)現(xiàn)主要內(nèi)容103一、實(shí)現(xiàn)的基本屬性對(duì)于給定的傳遞函數(shù)陣