《空間向量的運算(1)》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

《空間向量的運算(1)》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷由平面向量的運算和運算規(guī)則推廣到空間向量的運算和運算規(guī)則的過程，體會從二維空間到三維空間的變化，培養(yǎng)學(xué)生遷移的能力；2.掌握空間向量的加減法和數(shù)乘運算．教學(xué)重難點教學(xué)重難點重點：空間向量的加減法和數(shù)乘運算．難點：空間向量加法結(jié)合律的證明．教學(xué)過程教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入情境：有兩個中學(xué)生在一個密閉的房間內(nèi)用塑料子彈練習(xí)打靶，其中一個人直接將槍對準(zhǔn)目標(biāo)射擊，正中靶心；另外一個人在準(zhǔn)備瞄準(zhǔn)時意外“走火”，子彈經(jīng)房頂、墻壁、地面等多次反射，最后居然也打中靶心，不考慮空氣阻力等因素，兩人的子彈起點和終點位置相同，那么它們所對應(yīng)的向量也相同嗎？其中的道理是什么呢？一起來探究吧！設(shè)計意圖：通過實際的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生類比之前學(xué)習(xí)的平面向量進行思考，為講解空間向量的運算作鋪墊．二、新知探究問題1：對于空間中任意兩個向量，總能證明它們是共面的，你能類比平面向量的線性運算，得出空間向量的線性運算及運算律嗎？追問1：平面向量有幾種線性運算，滿足哪些運算律呢？答案：平面向量的線性運算：1.向量的加法；2.向量的減法；3.向量的數(shù)乘；向量的加法和數(shù)乘運算滿足以下運算律：加法交換律：a+b=b+追問2：空間向量的加減法應(yīng)該怎樣定義呢？答案：向量的加法：已知空間向量a，b，過空間任意一點A作AB=a，BC=b，再作向量AC，如圖，把向量AC叫作空間向量a，b即a+b=AB這個求兩個空間向量和的法則，叫作向量求和的三角形法則．當(dāng)空間向量a，b不平行時，過空間任意一點O作OA=a，OB=b，這時O，A，B三點不共線，在平面OAB內(nèi)，以O(shè)A，OB為鄰邊作□OABC．因為由此可見，平面向量求和的平行四邊形法則，對空間向量同樣適用．與平面向量類似，空間向量a，b的差也可以定義為a+-b，記作a-b，其中-b是b的相反向量如圖（1）中，a-b=OA如圖（2）中，DA是B'C'的相反向量，所以AB-思考：空間向量的加法滿足哪些運算律呢？答案：與平面向量的加法滿足的運算律類似，空間向量的加法也滿足如下的運算律：加法交換律：a+b=向量加法交換律的證明相對簡單，同學(xué)們可自行證明，下面我們對向量加法的結(jié)合律進行證明：以平行六面體ABCD-A'B'C'D'一方面：AB+另一方面：AB+所以AB+問題2：你能類比平面向量的數(shù)乘運算得出空間向量的數(shù)乘運算的定義或法則嗎？答案：與平面向量類似，實數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個向量，記作λa．求實數(shù)與空間向量的乘積的運算稱為空間向量的數(shù)乘運算，向量λ（1）λa（2）當(dāng)λ>0時，向量λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時，向量λa與向量a方向相反；當(dāng)λ=0時，根據(jù)以上定義不難得出，對于任意一個非零向量a，當(dāng)λ=1a時，λa=a追問：空間向量數(shù)乘運算的定義也和平面向量一樣，你能將平面向量數(shù)乘運算的運算律，推廣到空間向量的數(shù)乘運算中嗎？答案：空間向量的數(shù)乘運算滿足如下的運算律：（1）λμ（2）λ+μa=（3）λa其中，λ∈R，μ∈問題3：兩個平面向量共線的充要條件是什么？這個充要條件對空間向量也成立嗎？答案：對任意兩個平面向量a，bb≠0，a//b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a=根據(jù)空間向量數(shù)乘運算的定義，λa是與向量a共線的向量，因此，對于空間任意兩個向量a，bb≠0，若存在實數(shù)λ，使得a=λb，則a與b共線，反之，由共線向量的定義，若向量a與b共線且b≠0，則一定存在實數(shù)λ使得a=λb（其中λ=ab，若向量a，b方向相同，則λ>0；若向量a，b也就是說，平面中兩個向量共線的充要條件，對于空間向量同樣成立．定理：空間兩個向量a，bb≠0共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使a=通常把這個定理稱為共線向量基本定理．（也稱“一維向量基本定理”）注意：（1）向量共線等價于向量平行；（2）驗證過程中對b≠0的約束；（3）該定理在用于證明直線平行時，需要注意排除重合的情況．思考：任意給定兩個不共線的向量a，b，若存在實數(shù)x，y，使得向量c=xa+yb，則向量c與答案：根據(jù)平面向量基本定理：若向量a，b是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，則α內(nèi)任意一個向量c，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x，y，使得：可得，空間向量共面的充要條件：兩個向量a，b不共線，那么向量c與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x，y，使得：設(shè)計意圖：類比平面向量，得出空間向量的線性運算，進一步引導(dǎo)學(xué)生對運算律進行推廣，并指出在推廣過程中繼承的運算法則和可能產(chǎn)生的心得運算法則，大膽猜想，小心求證．三、應(yīng)用舉例例1：如圖，已知平行六面體ABCD-A'B'C'D'，化簡下列向量表達式，（1）AB+（2）DD'-（3）AB+解：（1）AB+（2）DD'-（3）設(shè)M為CB'的中點，則AB+化簡后，所對應(yīng)的向量如圖：例2如圖，M，N分別是四面體ABCD的棱AB，CD的中點．求證：MN=證明：取BD的中點E，連接ME，NE．因為M，N分別是四面體ABCD的棱AB，CD的中點，易知：ME=12又MN=四、課堂練習(xí)1．在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，M為A'C'與B'D'的交點．若AB=a，AD=b，A．-12C．-12a2.已知非零向量a，b，且AB=a+2b，BCA．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，D參考答案：1．解：BM=BB'+2.解：因為AD=AB+又直線AB，AD有公共點A，故A，B，D三點共線．故選B．五、課堂小結(jié)空間向量共線的充要條件：對任意兩個向量a，bb≠0，a//b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a=空間向量共面的充要條件：兩個向量a，b不共線，那么向量c與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的