西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù) 留數(shù)講解

復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）第五章留數(shù)§5.2留數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）1.留數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）定義設(shè)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，f(z)在z0鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)(z-z0)–1的系數(shù)c–1

稱為f(z)在z0的留數(shù)，記作Res[f(z),z0]

或Resf(z0)。由留數(shù)定義,

Res[f(z),z0]=c–1

(1)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）

由上式可知：f(z)在封閉曲線C內(nèi)有唯一孤立奇點(diǎn)時(shí)，積分可以通過(guò)留數(shù)計(jì)算得到

當(dāng)f(z)在封閉曲線C內(nèi)孤立奇點(diǎn)不唯一時(shí)，情形如何？復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）2.留數(shù)定理定理證明復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）Dcznz1z3z2由復(fù)合閉路定理得：用2i除上式兩邊得:得證！復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）

求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。

在從定義出發(fā)求留數(shù)的方法之外是否有更簡(jiǎn)便的途徑？

復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）

一般求Res[f(z),z0]是采用將f(z)在z0鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù)c–1的方法,但如果能先知道奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利。以下就三類孤立奇點(diǎn)進(jìn)行討論：3.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）規(guī)則I復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）規(guī)則II當(dāng)m=1時(shí)，式(5)即為式(4).復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）規(guī)則III復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）4.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算規(guī)則定義

設(shè)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，注：1）積分路線方向是負(fù)方向，即C取順時(shí)針的值與C無(wú)關(guān)，則積分稱此值為f(z)在點(diǎn)∞的留數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）

定理二

如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)(包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi))，設(shè)為z1，z2，…，zn，∞，則f(z)在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零。用途？復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）5.留數(shù)定理應(yīng)用舉例例5

計(jì)算積分

,C為正向圓周

例6

計(jì)算積分

,C為正向圓周

復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）例7解復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）例8解復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）故由留數(shù)定理得：復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）

(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來(lái)求留數(shù)，不要死套規(guī)則。如是f(z)的三級(jí)極點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）---該方法較規(guī)則II更簡(jiǎn)單！復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）

(2)由規(guī)則II的推導(dǎo)過(guò)程知，在使用規(guī)則II時(shí)，可將m取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高，這可使計(jì)算更簡(jiǎn)單。如復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）6.留數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)積分的關(guān)系(1)若被積函數(shù)在封閉曲線C內(nèi)為解析函數(shù)，則在C內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)，故被積函數(shù)的留數(shù)為零。由留數(shù)定理有上式即為復(fù)變函數(shù)積分柯西—古薩基本定理：如果函數(shù)在單連通域B內(nèi)處處解析，那么沿B內(nèi)的任一條封閉曲線C的積分為零。

復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）(2)若被積函數(shù)在積分回路C內(nèi)有n+1級(jí)極點(diǎn)，考察積分其中為C內(nèi)點(diǎn)，則是被積函數(shù)的n+1級(jí)極點(diǎn)。由留數(shù)定理以及n+1級(jí)極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算公式，有也即：

(高階導(dǎo)數(shù)公式

)

復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）小結(jié)：一、留數(shù)和留數(shù)定理留數(shù)定理柯西-古薩基本定理復(fù)合閉路定理柯西積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式1、留數(shù)2、留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）注意：求留數(shù)是要求大家熟練掌握的技能，通過(guò)以上例題的練習(xí)。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于某類型的奇點(diǎn)，一般規(guī)則未必總是最便捷的解決辦法，要求大家對(duì)多種手段靈活運(yùn)用。

復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）作業(yè)P1838（2）（4）（6）

9（1）（2）（5）

10（2）11

（2）

12（1）（3）思考：留數(shù)定理與復(fù)合閉路定理間的關(guān)系？