2021-2022學(xué)年安徽省黃山市香港科技大學(xué)校友紀(jì)念中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年安徽省黃山市香港科技大學(xué)校友紀(jì)念中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過拋物線焦點F的一條直線與拋物線交A點（A在x軸上方），且,l為拋物線的準(zhǔn)線，點B在l上且，則A到BF的距離為（

）.A.

B.2

C.

D.參考答案：A2.某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是中心角為的扇形,則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應(yīng)取的項是

（）A．1

B． C．

D．

參考答案：D

略4.為了了解某校高三400名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試成績，制成樣本頻率分布直方圖如圖，規(guī)定不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60參考答案：C【分析】利用頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標(biāo)乘以組據(jù)求出頻率；再利用頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量求出優(yōu)秀人數(shù)．【解答】解：由頻率分布直方圖得，及格率為1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80%優(yōu)秀的頻率=（0.01+0.01）×10=0.2，優(yōu)秀的人數(shù)=0.2×400=80故選C．【點評】本題考查頻率分布直方圖中的頻率公式：頻率=縱坐標(biāo)×組據(jù)；頻數(shù)的公式：頻數(shù)=頻率×樣本容量．5.函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數(shù)的圖象．【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除B，再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步排除，即可得到答案．【解答】解：∵y=f（﹣x）==﹣f（x），∴y=f（x）=為奇函數(shù)，∴y=f（x）的圖象關(guān)于原點成中心對稱，可排除B；又x＞0時，f（x）=，f′（x）=，∴x＞e時，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，0＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，故可排除A，D，而C滿足題意．故選C．6.已知a＞0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)＜ab＜ab2 B．a(chǎn)b＜a＜ab2 C．a(chǎn)b＜ab2＜a D．a(chǎn)b2＜a＜ab參考答案：C【考點】R3：不等式的基本性質(zhì)．【分析】根據(jù)a，b的范圍以及不等式的性質(zhì)，判斷即可．【解答】解：由a＞0，b＜0知，ab＜0，ab2＞0，又由﹣1＜b＜0知0＜b2＜1，所以ab2＜a，故選：C．7.若拋物線上一點到焦點的距離是該點到x軸距離的3倍，則（

）A. B. C.1 D.2參考答案：D【分析】利用拋物線的定義列等式可求出的值.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知，拋物線上一點到焦點的距離為，，解得，故選：D.【點睛】本題考查拋物線的定義，在求解拋物線上的點到焦點的距離，通常將其轉(zhuǎn)化為該點到拋物線準(zhǔn)線的距離求解，考查運算求解能力，屬于中等題.8.點是橢圓上的一點,是焦點,且,則△的面積是A． B． C.

D. 參考答案：A9.正方體－中，下列結(jié)論錯誤的是A．∥

B．C．

D．異面直線參考答案：D10.如果方程表示雙曲線，那么下列橢圓中，與這個雙曲線共焦點的是（

）A

B

C

D參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.4xdx＝________.參考答案：略12.已知是虛數(shù)單位，則

參考答案：-1+i略13.在區(qū)間上任意取一個數(shù)x，則的概率為

.參考答案：略14.在Rt△ABC中，兩直角邊分別為a、b，設(shè)h為斜邊上的高，則=+，由此類比：三棱錐S﹣ABC中的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長度分別為a、b、c，設(shè)棱錐底面ABC上的高為h，則

．參考答案：+【考點】F3：類比推理．【分析】立體幾何中的類比推理主要是基本元素之間的類比：平面?空間，點?點或直線，直線?直線或平面，平面圖形?平面圖形或立體圖形，故本題由平面上的直角三角形中的邊與高的關(guān)系式類比立體中兩兩垂直的棱的三棱錐中邊與高的關(guān)系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，∴PA⊥平面PBC．設(shè)PD在平面PBC內(nèi)部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案為：．15.過點（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程．參考答案：2x﹣y=0或x+y﹣3=0【考點】直線的兩點式方程．

【專題】計算題；分類討論．【分析】分兩種情況考慮，第一：當(dāng)所求直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為0時，設(shè)出該直線的方程為x+y=a，把已知點坐標(biāo)代入即可求出a的值，得到直線的方程；第二：當(dāng)所求直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時，設(shè)該直線的方程為y=kx，把已知點的坐標(biāo)代入即可求出k的值，得到直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程．【解答】解：①當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為0時，設(shè)該直線的方程為x+y=a，把（1，2）代入所設(shè)的方程得：a=3，則所求直線的方程為x+y=3即x+y﹣3=0；②當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時，設(shè)該直線的方程為y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，則所求直線的方程為y=2x即2x﹣y=0．綜上，所求直線的方程為：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案為：2x﹣y=0或x+y﹣3=0【點評】此題考查學(xué)生會根據(jù)條件設(shè)出直線的截距式方程和點斜式方程，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．16.若命題“，”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為

.參考答案：17.對正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xn(1－x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列的前n項和的公式是__________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓：（）的離心率為，為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點.（1）若點的坐標(biāo)為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓的左頂點，為橢圓上一點，且，求直線的斜率.參考答案：（1）解法1：∵橢圓的離心率為∴∴，即∴①又∵點..在橢圓上，∴②由①②解得，，∴所求橢圓的方程為解法2：由題意得，，∴設(shè)，（）則∴，將點代入得，，解得∴，∴所求橢圓的方程為（2）解法1：由（1）可知∴橢圓的方程為即，有，設(shè)，由得，∴，∵點，點都在橢圓：上，∴解得，，∴直線的斜率解法2：由（1）可知，即∴橢圓的方程為，即，有，設(shè)直線的方程為（），，由消去并整理得，∴∵，∴∵，∴，于是設(shè)直線的方程為（）由消去并整理得，解得或（舍去）于是，得又∵∴于是，即即（）解得∴直線的斜率為19.（本小題10分）已知a,b,c是互不相等的實數(shù)，求證：由，,確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點。參考答案：證明：（反證法）假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點（即任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點），

………………2分由，,，得

……4分

上述三個同向不等式相加得，

………………6分

，這與題設(shè)互不相等矛盾，

………………8分因此假設(shè)不成立，從而命題得證。

………………10分略20.已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最值；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性.參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時，，∴．∵的定義域為，∴由得．∴在區(qū)間上的最值只可能在取到，而，∴．

（Ⅱ）．①當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，在單調(diào)遞增；

③當(dāng)時，由得或（舍去）∴在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，在單調(diào)遞減；21.（本小題滿分12分）如圖，F(xiàn)是橢圓(a>b>0)的一個焦點，A,B

是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l1：相切．（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）過點A的直線l2與圓M交于PQ兩點，且

，求直線l2的方程． 參考答案：(1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0)且圓M的方程為(x-c)2+y2=4c2，圓M與直線l1：x+u+3=0相切，∴，解得c=1，22.(本小題滿分12分)如圖橢圓的上頂點為A，左頂點為B,F為右

焦點,過F作平行與AB的直線交橢圓于C、D兩點.作平行四邊形OCED,E恰在橢圓上。（1）求橢圓的離心率；（2）若平行四邊形OCED的面積為,求橢圓的方程.參考答案：解：(1)∵焦點為F(c,0),AB斜