高中數(shù)學高考78第十三章 系列4選講 13 1 坐標系與參數(shù)方程 第1課時 坐標系

§13.1坐標系與參數(shù)方程第1課時坐標系最新考綱考情考向分析1.了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程.會求伸縮變換，求點的極坐標和應用直線、圓的極坐標方程是重點，主要與參數(shù)方程相結合進行考查，以解答題的形式考查，難度中檔.1．平面直角坐標系設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，λ>0，,y′＝μ·y，μ>0))的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換．2．極坐標系(1)極坐標與極坐標系的概念在平面內取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系．點O稱為極點，射線Ox稱為極軸．平面內任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從射線Ox到射線OM的角度θ來刻畫(如圖所示)．這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標．ρ稱為點M的，θ稱為點M的．一般認為ρ≥0.當極角θ的取值范圍是[0,2π)時，平面上的點(除去極點)就與極坐標(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一對應的關系．我們設定，極點的極坐標中，極徑ρ＝0，極角θ可取任意角．(2)極坐標與直角坐標的互化設M為平面內的一點，它的直角坐標為(x，y)，極坐標為(ρ，θ)．由圖可知下面關系式成立：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0))，這就是極坐標與直角坐標的互化公式．3．常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓圓心為(r,0)，半徑為r的圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ<\f(π,2)))圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓過極點，傾斜角為α的直線θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線ρcosθ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線概念方法微思考1．平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應關系，在極坐標系中點與坐標也能建立一一對應關系嗎？

2．由極坐標的意義可判斷平面上點的極坐標唯一嗎？題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若點P的直角坐標為(1，－eq\r(3))，則點P的一個極坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).()(2)在極坐標系中，曲線的極坐標方程不是唯一的．()(3)極坐標方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線．()題組二教材改編2．若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標方程為()A．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,2)B．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,4)C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,2)D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,4)3．在極坐標系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))C．(1,0)D．(1，π)題組三易錯自糾4．在極坐標系中，已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，則過點P且平行于極軸的直線方程是()A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝eq\r(3)C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝eq\r(3)5．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，則曲線C的直角坐標方程為．6．在以O為極點的極坐標系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsinθ＝a相交于A，B兩點．當△AOB是等邊三角形時，求a的值．題型一極坐標與直角坐標的互化1．(1)化圓的直角坐標方程x2＋y2＝r2(r>0)為極坐標方程；(2)化曲線的極坐標方程ρ＝8sinθ為直角坐標方程．2．在極坐標系中，已知曲線C1：ρcosθ－eq\r(3)ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ.(1)求曲線C1，C2的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀；(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離．題型二求曲線的極坐標方程例1將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C.(1)求曲線C的標準方程；(2)設直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與直線l垂直的直線的極坐標方程．跟蹤訓練1已知極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，圓C的直角坐標方程為x2＋y2＋2x－2y＝0，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝t))(t為參數(shù))，射線OM的極坐標方程為θ＝eq\f(3π,4).(1)求圓C和直線l的極坐標方程；(2)已知射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．題型三極坐標方程的應用例2在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝2＋sinα))(α為參數(shù))，直線C2的直角坐標方程為y＝eq\r(3)x.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程；(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求eq\f(1,|OA|)＋eq\f(1,|OB|).跟蹤訓練2(2017·全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．1．在以直角坐標系中的原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，已知曲線的極坐標方程為ρ＝eq\f(2,1－sinθ).(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)過極點O作直線l交曲線于點P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直線l的極坐標方程．2．已知曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4cosθ.(1)求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程；(2)若射線θ＝eq\f(π,6)分別與曲線C1，C2交于A，B兩點(異于極點)，求|AB|的值．3．極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C1的極坐標方程為ρ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，曲線C2的極坐標方程為ρsinθ＝a(a>0)，射線θ＝φ，θ＝φ＋eq\f(π,4)，θ＝φ－eq\f(π,4)，θ＝φ＋eq\f(π,2)與曲線C1分別交異于極點O的四點A，B，C，D.(1)若曲線C1關于曲線C2對稱，求a的值，并把曲線C1和C2化成直角坐標方程；(2)求|OA|·|OC|＋|OB|·|OD|的值．4．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosα，,y＝2sinα))(α為參數(shù))，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為ρ(sinθ＋eq\r(3)cosθ)＝eq\r(3).(1)求C的極坐標方程；(2)射線OM：θ＝θ1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤θ1≤\f(π,3)))與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求|OP|·|OQ|的取值范圍．5.如圖，在直角坐標系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(7)cosα，,y＝\r(7)sinα))(α為參數(shù))．以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8cosθ，直線l的極坐標方程為θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)．(1)求曲線C1的極坐標方程與直線l的直角坐標方程；(2)若直線l與C1，C2在第一象限分別交于A，B兩點，P為C2上的動點，求△PAB面積的最大值．6．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(a>b>0，φ為參數(shù))，在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2是圓心在極軸