工程測試與信號分析研究生課件：ch6-02

MEASUREMENTINFORMATIONSIGNALANALYSISINMECHANICALENGINEERING機械工程測試?信息?信號分析

機械科學與工程學院機械電子信息工程系李錫文xiwenli@軒建平j(luò)pxuan@1/11/20231課件資料下載：郵箱地址：jxgccs@163.com

“機械工程測試”每個字拼音的第一個字母

密碼：111111注意下載時不要刪除原始文件1/11/20232第六章數(shù)字信號分析(I)

DFT與FFT1/11/20233§6-5現(xiàn)代譜分析方法-最大熵譜估計§6-3FFT§6-4譜分析與譜估計§6-2離散傅立葉變換DFT第六章主要內(nèi)容§6-1模擬信號離散化時域采樣定理頻域采樣定理周期序列的離散傅立葉級數(shù)1/11/202346-2、離散時間非周期信號頻域分析時域采樣信號是以采樣頻率為周期的周期連續(xù)頻譜按FT的時延性質(zhì)可寫為：或上式即為DTFT，它是以s(或s)為周期的周期函數(shù)，即由于離散時間非周期信號可以看作是離散時間周期信號，當周期N→∞的極限情況，故DTFT的定義式同樣也可從離散時間傅里葉級數(shù)，當周期N→∞時來求得：1/11/202356-2、離散時間非周期信號頻域分析當N→∞，各諧波分量的復振幅X(k0)趨于無限小，因此如同CTFT，可采用頻譜密度來描述頻譜的分布規(guī)律。離散時間非周期信號的頻譜密度函數(shù)，即離散傅里葉變換DTFT的定義式為：當N→∞，0=(2/N)→d，k0→=T，上式可寫為：1/11/202366-2、離散時間非周期信號頻域分析X(ej)表示一個離散時間信號，即非周期序列的頻譜密度函數(shù)。當x(n)為有限長度N的序列，則有DFT：IDTFTDTFT1/11/20237DFT圖解分析1、時域采樣采樣間隔Ts頻譜周期間隔為fs，譜的幅值是X(f)譜的fs倍。Ts減小，fs增大。1/11/20238DFT圖解分析2、時域截斷采樣點數(shù)為N時域截斷時域截斷出現(xiàn)皺波，Gibbs現(xiàn)象產(chǎn)生的能量泄漏1/11/20239DFT圖解分析3、頻域采樣頻域采樣頻域采樣1/11/202310在一個周期內(nèi)，可進行如下變換：DFT簡單推演1/11/202311DFT的簡單推演1/11/202312視作n的函數(shù)，視作k的函數(shù)，這樣,DFT的簡單推演DFT正變換DFT反變換1/11/2023131）將x(t)在t軸上等間隔(T)分段2）將x(n)截短成有限長序列t=0~T0，N個時域采樣對連續(xù)時間非周期信號DFT逼近1/11/2023143）頻域采樣：一個周期分N段，采樣間隔F0，時域周期延拓，周期為T0=1/F0，=2F0頻域采樣1/11/202315對連續(xù)時間非周期信號的DFT逼近過程

1）時域采樣

2）時域截斷

3）頻域采樣近似逼近：對連續(xù)時間非周期信號DFT逼近過程1/11/202316對連續(xù)時間周期信號的DFS逼近1）時域抽樣：將x(t)在t軸上等間隔(T)分段對連續(xù)時間周期信號的DFS逼近1/11/2023172）頻域截斷：長度正好等于一個周期近似逼近：對連續(xù)時間周期信號的DFS逼近1/11/202318頻率響應的混疊失真及參數(shù)的選擇F0-頻率分辨率，T0信號記錄長度，T為采樣間隔1/11/202319同時提高信號最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點數(shù)N。信號最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾信號最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾1/11/202320頻率分辨率提高頻率分辨率方法： 增加信號實際記錄長度

補零并不能提高頻率分辨率1/11/202321信號最高頻率fh的確定1/11/202322三、離散傅里葉變換的性質(zhì)DFT正變換和反變換：1/11/202323DFT的性質(zhì)-線性這里，序列長度及DFT點數(shù)均為N若不等，分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度相等，均為N，且若則1、線性1/11/202324DFT的性質(zhì)-時移特性2、時移特性在時域移位m，在頻域出現(xiàn)相移因子Wmk

若將信號x(t)沿時間軸位移t0，則其FT要乘以因子

e-j2ft01/11/2023253、頻移特性

時間函數(shù)x(n)乘以指數(shù)項ej2ln/N，則DFT就向右圓移l單位DFT的性質(zhì)-頻移特性FT：

DFT：

1/11/202326(1)線卷積

x1(n)的長度為N1(0n

N1-1)x2(n)的長度為N2(0n

N2-1)

x1(n)、x2(n)的線卷積為4、離散卷積1/11/202327的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.1012n1012n3例1：4、離散卷積-線卷積運算步驟：反折、移位、相乘、取和1/11/202328mmm-1-2-31012m4、離散卷積-時域線卷積-舉例1/11/202329mn2103145233211012m4、離散卷積-時域線卷積-舉例1/11/2023304、時域線卷積-舉例2時域線卷積例2：1/11/202331時域圓卷積定理(2)時域圓卷積定理

設(shè)x1(n)和x2(n)均為長度為N的有限長序列，且1/11/202332(2)時域圓卷積過程步驟：反折、移位、相乘、取和Y(0)Y(1)Y(2)Y(3)線卷積與圓卷積結(jié)果不一致，需補零補零擴展條件LN1+N2-1選取的L不夠大，使卷積首尾交疊混淆時域圓卷積過程1/11/202333補零時域圓卷積1/11/202334離散時域卷積定理兩個周期為N的時域周期采樣函數(shù)，它們的卷積的離散FT等于它們的離散FT的乘積對有限長序列求線卷積的問題，可轉(zhuǎn)化為圓卷積求解，為FFT計算時域卷積提供依據(jù)1/11/202335離散頻域卷積定理兩個周期為N的時域周期采樣函數(shù)，它們的乘積的離散FT等于它們的離散FT的卷積1/11/202336

DFT計算連續(xù)時間信號誤差1、用DFT計算連續(xù)時間信號的FT可能造成的誤差

(1)混疊現(xiàn)象為避免混疊，由采樣定理可知，須滿足fS2fh

其中，fS為采樣頻率;fh為信號的最高頻率分量；或者

其中，T為采樣間隔。1/11/202337[例]有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已知條件為（1）頻率分辨率為10Hz

，（2）信號的最高頻率4KHz，試確定以下參量：（1）最小記錄長度

Tp；(2)抽樣點間的最大時間間隔T;(3)在一個記錄中的最小點數(shù)N。解：（a）最小記錄長度（b）最大的抽樣時間間隔T(c)最小記錄點數(shù)N舉例1/11/202338(2)頻譜泄漏在實際應用中，通常將所觀測的信號限制在一定的時間間隔內(nèi)，也就是說，在時域?qū)π盘栠M行截斷操作，或稱作加時間窗，亦即用時間窗函數(shù)乘以信號，由卷積定理可知，時域相乘，頻域為卷積，這就造成拖尾現(xiàn)象，稱之為頻譜泄漏。1/11/202339頻譜泄漏改善方法：對時域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為泄漏1）增加x(n)長度2）緩慢截短(加窗)1/11/202340柵欄效應(3)柵欄效應用DFT計算頻譜時，能計算頻率F=1/Tp的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個譜線之間的頻譜無法確定，這相當通過一個柵欄觀察景象一樣，故稱作柵欄效應。解決方法：增加頻域采樣點數(shù)N（時域補零），使譜線更密。補零即加大周期Tp，可使F變小來提高分辨力，以減少柵欄效應。1/11/202341DFT與FT的關(guān)系DFT與FT之間是一個近似，存在差異。DFT需要采樣與截斷。1、頻域有限的周期信號，時域截斷長度等于周期時當截斷長度等于其周期時，DFT與FT之間的差別僅僅是一個比例因子TSDFT與FT等價條件：(1)時間函數(shù)x(t)是周期性的；(2)x(t)是頻域有限信號；(3)采樣頻率至少是x(t)的上限頻率的2倍；(4)截斷函數(shù)u(t)必須正好在x(t)的一個周期內(nèi)是非零的1/11/202342頻域有限的周期信號其時域截斷長度等于周期截斷時域頻域頻域卷積定理δ函數(shù)卷積特性頻域卷積定理δ函數(shù)卷積特性時域卷積定理δ函數(shù)乘積特性δ函數(shù)卷積特性1/11/202343頻域有限的周期信號其時域截斷長度等于周期時域頻域P46圖2-39脈沖序列與矩形脈沖的卷積1/11/202344頻域有限的周期信號其時域截斷長度等于周期時域頻域幅值變化1/11/202345頻域有限周期信號其時域截斷長度不等于周期截斷時域頻域頻域卷積定理δ函數(shù)卷積特性頻域卷積定理δ函數(shù)卷積特性時域卷積定理δ函數(shù)乘積特性δ函數(shù)卷積特性DFT與FT出現(xiàn)差異T0T0’零頻率處出現(xiàn)波形，1/T0,2/T0,…處不為零頻率間隔T0’過零點是1/T0,2/T0產(chǎn)生具有間斷點的周期函數(shù)，時域截斷等效于一個Sa函數(shù)與單個脈沖的卷積是個頻率的連續(xù)函數(shù)。泄漏效應1/11/2023463、時域有限而頻域無限信號存在頻混現(xiàn)象。TS要求足夠小，可減少頻混誤差1/11/2023474、一般周期信號5、任意信號1/11/2023486-2、用DFT對模擬信號作頻譜分析信號的頻譜分析：計算信號的傅里葉變換xa(t)抽樣t=nTsx

(n)截短FTXa(j)周期延拓s=2/Tsx

(n