《固體物理》課件：ssp701

第七章晶體中電子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)如果晶體中存在電場(chǎng)、磁場(chǎng)或雜質(zhì)勢(shì)場(chǎng)，一般這些外場(chǎng)要比周期性勢(shì)場(chǎng)弱得多，這種情況下，如何處理電子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題？有兩種處理方法：一、解含有外場(chǎng)的薛定諤方程二、把電子看成經(jīng)典粒子，用準(zhǔn)經(jīng)典方法處理

經(jīng)典粒子具有確定的位置和動(dòng)量，但是微觀粒子由于受到測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的限制，不可能同時(shí)具有確定的位置和動(dòng)量?？梢杂貌ò硎揪w中電子的狀態(tài)，此時(shí)，電子的位置和動(dòng)量都具有近似的數(shù)值，其精確度由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系所限制。7.1準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)一、波包和電子速度波包是指粒子空間分布在r0

附近的r范圍內(nèi)，動(dòng)量取值為?k0附近?k范圍內(nèi)，r和?k滿足測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，把波包中心r0稱為該粒子的位置，中心?k0稱為該粒子的動(dòng)量。在晶體內(nèi)，可以用布洛赫函數(shù)組成波包，（由于波包包含能量不同的本征態(tài)，必須考慮時(shí)間因子）把與k0相鄰近的各狀態(tài)疊加起來(lái)就可以組成與量子態(tài)k0相對(duì)應(yīng)的波包，必須很接近于k0

，寫成必須很小組成波包時(shí)必須限制在下列范圍內(nèi)說(shuō)明波函數(shù)主要集中在線度為1/范圍內(nèi)，中心在U=v=w=0,u即若把波包看成一個(gè)準(zhǔn)粒子，則該粒子的速度為

如果有外力F作用在電子上，在dt時(shí)間內(nèi)，外力對(duì)電子所做的功為電子的能量決定于狀態(tài)k，在外力作用下，狀態(tài)必須有相應(yīng)的變化dk二、在外力作用下?tīng)顟B(tài)的變化和準(zhǔn)動(dòng)量三、加速度和有效質(zhì)量與牛頓第二定律具有相同的形式，只是用一個(gè)二階張量代替了1/m，稱其為倒有效質(zhì)量張量。若選擇kxkykz沿張量的主軸方向，則例1.簡(jiǎn)單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶的有效質(zhì)量。7.2恒定電場(chǎng)作用下電子的運(yùn)動(dòng)以一維緊束縛近似的結(jié)果為例，討論晶體中電子在恒定電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)E(k)v(k)m*(k)設(shè)電場(chǎng)力F=-qE沿x軸正方向（電場(chǎng)E沿x軸反方向），由知電子在k空間做勻速運(yùn)動(dòng)（為k空間的速度），使得電子的能量、速度和有效質(zhì)量都周期性的變化－－電子在K空間做循環(huán)運(yùn)動(dòng)。表現(xiàn)在電子速度上是v隨時(shí)間做振蕩的變化。電子速度v隨時(shí)間做振蕩的變化意味著電子在實(shí)空間的振蕩。E-qVE能帶的傾斜xxxABC電子在實(shí)空間的振蕩Eg電子在實(shí)空間的振蕩實(shí)際上很難觀察到，其原因是電子在運(yùn)動(dòng)中將要不斷受到聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射。相鄰兩次散射之間的平均時(shí)間間隔稱為電子平均自由運(yùn)動(dòng)時(shí)間，用τ表示，如果τ很小，電子來(lái)不及完成振蕩就被散射破壞掉了。觀察到上述振蕩的條件為電場(chǎng)越強(qiáng)，振蕩的頻率越高，周期越短，如果遠(yuǎn)小于τ，就可觀察到電子的振蕩如果a=0.3nm,τ=10-13sE>2×105V/cm7.3導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的能帶論解釋一、滿帶電子不導(dǎo)電在一個(gè)完全為電子充滿的能帶中，盡管每一個(gè)電子都荷帶一定的電流-qv，但是k與-k的電子電流正好相互抵消，有一個(gè)k，必有一個(gè)-k，因而總電流為０。即使用外電場(chǎng)也改變不了這種情況，由于所有電子所處的狀態(tài)都按上式變化，k軸上的點(diǎn)都以相同的速度移動(dòng)，并不改變均勻填充各k態(tài)的情況。二、導(dǎo)體和非導(dǎo)體模型部分填充的能帶，在外電場(chǎng)作用下可以產(chǎn)生電流。

在非導(dǎo)體中，電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各個(gè)能帶全部都是空的，因而并不導(dǎo)電。在導(dǎo)體中，除去完全填滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，后者可以起導(dǎo)電作用，稱為導(dǎo)帶。

半導(dǎo)體的能帶屬于非導(dǎo)體，但禁帶寬度要比絕緣體小，在溫度不是很低的情況下，價(jià)帶中的電子可以通過(guò)熱激發(fā)而進(jìn)入導(dǎo)帶，使導(dǎo)帶中有少數(shù)電子同時(shí)價(jià)帶中又缺少了少數(shù)電子，從而導(dǎo)致了一定的導(dǎo)電性。另外，半導(dǎo)體可以通過(guò)摻雜改變能帶中電子的填充狀況而使半導(dǎo)體具有導(dǎo)電性。

半金屬：在金屬和半導(dǎo)體之間存在一種中間情況，導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂或發(fā)生交疊或具有相同的能量（具有負(fù)帶隙寬度或零帶隙寬度），在這種情況下，在導(dǎo)帶中存在一定數(shù)量的電子，在價(jià)帶中存在一定數(shù)量的空狀態(tài)，其導(dǎo)帶電子的密度比普通金屬少幾個(gè)數(shù)量級(jí)，稱為半金屬。三、近滿帶和空穴為了方便，假設(shè)滿帶上只有在一個(gè)狀態(tài)k沒(méi)有電子，設(shè)I(k)表示此時(shí)整個(gè)近滿帶的總電流，假設(shè)在空的k態(tài)中放入一個(gè)電子，該電子所形成的電流為-qv(k)，但是放入該電子后，能帶被完全填滿，因此，總的電流為零。近滿帶的總電流就如同一個(gè)帶正電荷的粒子，它的速度為空狀態(tài)k的電子速度?？諣顟B(tài)都在滿帶頂附近，m*<0近滿帶的電流變化就如同一個(gè)帶正電荷q和具有正有效質(zhì)量的粒子。結(jié)論：當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài)k時(shí)，整個(gè)能帶中的電流以及電流在外電磁場(chǎng)中的變化完全如同存在一個(gè)帶正電荷q和正有效質(zhì)量，速度為v(k)的粒子一樣，這樣一個(gè)假想的粒子稱為空穴。7.4在恒定磁場(chǎng)中電子的運(yùn)動(dòng)在恒定磁場(chǎng)中電子的運(yùn)動(dòng)理論是分析回旋共振，德．哈斯－范．阿爾芬效應(yīng)的理論基礎(chǔ)。兩種方法討論１準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)近似；２量子理論，解含有磁場(chǎng)時(shí)系統(tǒng)的波動(dòng)方程。一、恒定磁場(chǎng)中的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)以自由電子為例Kz保持不變，在kx，ky平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。電子在實(shí)空間做螺旋運(yùn)動(dòng)，vz不變，在垂直與磁場(chǎng)的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。二、自由電子情況的量子理論沒(méi)有磁場(chǎng)時(shí)，若磁場(chǎng)沿z軸方向，則矢勢(shì)取為（-By,0,0）哈密頓量不顯含x,z，對(duì)易，相應(yīng)的波函數(shù)可選為Px,Pz的本征態(tài)。表明為中心在y0，振動(dòng)頻率ω0為的諧振子波函數(shù)表明：在xy平面的運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)一種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，能量是量子化的，這些量子化的能級(jí)稱為朗道能級(jí)。三、晶體中電子的有效質(zhì)量近似晶體中電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，只要把哈密頓量中的P換為P+qA有解薛定諤方程就可得到能量本征值等，但求解更困難。但在有些情況下，哈密頓量可近似寫為把周期性勢(shì)場(chǎng)的影響概括成有效質(zhì)量的變化，稱為有效質(zhì)量近似，一般半導(dǎo)體導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂附近?？梢圆捎糜行з|(zhì)量近似，此時(shí)，只要用m*代替原來(lái)的m，就可以求出如回旋頻率等。7.5回旋共振回旋共振:在恒定的外磁場(chǎng)作用下，晶體中的電子（或空穴）將做螺旋運(yùn)動(dòng)，回轉(zhuǎn)頻率為，若在樣品上通以電磁波(ω)，當(dāng)ω=ω0，將出現(xiàn)共振吸收，這個(gè)現(xiàn)象稱為回旋共振。從量子力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，回旋共振相當(dāng)于實(shí)現(xiàn)了電子在朗道能級(jí)之間的躍遷。利用回旋共振可以研究Si，Ge等半導(dǎo)體材料導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂附近的有效質(zhì)量。對(duì)n型Si的回旋共振實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：（１）當(dāng)B沿[111]晶軸方向時(shí)，只能觀察到１個(gè)吸收峰；（２）當(dāng)B沿[110]晶軸方向時(shí)，可以觀察到２個(gè)吸收峰；（３）當(dāng)B沿[100]晶軸方向時(shí)，可以觀察到2個(gè)吸收峰；（４）當(dāng)B沿任意方向時(shí)，可以觀察到3個(gè)吸收峰。只有假設(shè)硅的導(dǎo)帶底在[100]方向，等能面是旋轉(zhuǎn)橢球面，才能解釋上面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。7.5德.哈斯－范.阿爾芬效應(yīng)1930年德.哈斯和范.阿爾芬在低溫下強(qiáng)磁場(chǎng)中研究鉍單晶的的磁化率，發(fā)現(xiàn)了磁化率隨磁場(chǎng)變化而呈現(xiàn)出振蕩，而且發(fā)現(xiàn)如果不是對(duì)磁場(chǎng)而是對(duì)磁場(chǎng)的倒數(shù)作圖，則可以清晰的看到磁化率的變化呈周期性結(jié)構(gòu)，有時(shí)還可能有兩個(gè)以至更多的周期。

磁化率隨磁場(chǎng)的倒數(shù)周期性振蕩的現(xiàn)象稱為德.哈斯－范.阿爾芬效應(yīng)。后來(lái)發(fā)現(xiàn)，電導(dǎo)率、比熱容等物理量也有類似的振蕩現(xiàn)象，這些現(xiàn)象同金屬費(fèi)米面附近電子在強(qiáng)磁場(chǎng)中的行為有關(guān)。一、二維自由電子氣模型沒(méi)有外磁場(chǎng)時(shí)，對(duì)自由電子氣有k取值在一個(gè)平面內(nèi)（設(shè)為kx-ky面），當(dāng)加有恒定外磁場(chǎng)時(shí)，能量本征值為一系列朗道能級(jí)

朗道能級(jí)是高度簡(jiǎn)并的，每一朗道能級(jí)包含量子態(tài)的數(shù)目等于原來(lái)連續(xù)譜中能量間隔內(nèi)的態(tài)的數(shù)目。朗道能級(jí)的簡(jiǎn)并度加磁場(chǎng)前加磁場(chǎng)后１．二維電子氣的能態(tài)密度能量小于等于E的電子所占的相體積單位能量間隔的相體積為每相格體積為能態(tài)密度為間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為計(jì)入自旋，則量子態(tài)數(shù)為即一個(gè)朗道能級(jí)所包含的量子態(tài)數(shù)目朗道能級(jí)的簡(jiǎn)并度與B有關(guān)，由于總的量子態(tài)的數(shù)目是一定的，因此，隨著B(niǎo)的變化，電子填充的能級(jí)將發(fā)生變化，系統(tǒng)的能量將隨B發(fā)生變化。這就是德.哈斯－范.阿爾芬效應(yīng)產(chǎn)生的物理機(jī)制。λλ+1λ+1λ+1λ+1λλλ甲乙丙丁

B逐漸減小2．變化的周期設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1時(shí)，第λ能級(jí)恰好完全填滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2時(shí)，第λ+1能級(jí)恰好完全填滿上述兩種情況都對(duì)應(yīng)系統(tǒng)能量的極小值，周期為二、三維自由電子氣模型沒(méi)有外磁場(chǎng)時(shí)，當(dāng)加有恒定外磁場(chǎng)時(shí)，能量本征值為在磁場(chǎng)方向kz取值是準(zhǔn)連續(xù)的，在與磁場(chǎng)垂直的平面內(nèi)能量是量子化的，在