小學(xué)一年級奧數(shù)16個專題

2+18=2012+28=402+18=2012+28=40第一講速算與巧算（一）一、湊十法：同學(xué)們已經(jīng)知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于 10:1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用這些結(jié)果，可以使計算又快又準(zhǔn)。例1計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：對于這道題，當(dāng)然可以從左往右逐步相加：1+2=33+3=66+4=1010+5=1515+6=2121+7=2828+8=3636+9=4545+10=55這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點是麻煩、容易出錯;而且一步出錯，以后步步都錯。若是利用湊十法，就能克服這種缺點。二、湊整法同學(xué)們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如:1+19=2011+9=303+17=2013+37=503+17=2013+37=502+13+25+44+18+37+56+752+13+25+44+18+37+56+754+16=2014+46=605+15=2015+55=706+14=2016+64=807+13=2017+73=908+12=2018+82=1009+11=20又如：15+85=10014+86=10025+75=10024+76=10035+65=10034+66=10045+55=10044+56=100等等巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準(zhǔn)。像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標(biāo)。例2計算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做：例3計算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用湊整法做：例4計算解：用湊整法:三、用已知求未知利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認(rèn)識事物的一般過程，湊十法、湊整法的實質(zhì)就是這個道理，可見把這種認(rèn)識規(guī)律用于計算方面，可使計算更快更準(zhǔn)。下面再舉兩個例子。例5計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3,已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2開始的前10個雙數(shù)之和，巧用這些結(jié)果計算這道題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=100+110(這步利用了例2和例3的結(jié)果)=210例6計算5+6+7+8+9+10解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。5+6+7+8+9+10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10-(1+2+3+4)(熟練后，此步驟可省略)=55-10=45四、改變運算順序在只有加減運算的算式中，有時改變加、減的運算順序可使計算顯得十分巧妙!例7計算5.5.計算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-010-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：這題如果從左到右按順序進(jìn)行加減運算，是能夠得出正確結(jié)果的。但因為算式較長，多次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運算順序，先減后加，就使運算顯得非常“漂亮”。下式括號中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)=1+1+1+1+1=5五、帶著“+”、“-”號搬家例8計算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：這題只有加減運算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法解決。要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個“ +”號或“-”號，搬家時要帶著符號一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)［先減后加］=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運算中,把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，把“+11”搬到了“-10”的前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計算簡便。習(xí)題一1.計算：13+14+15+16+17+252,計算：2+3+4+5+15+16+17+18+203.計算：21+22+23+24+25+26+27+28+294,計算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=10+30-20+50-40+70-60+90-80=10+30-20+50-40+70-60+90-806.6.計算：10-20+30-40+50-60+70-80+9010-20+30-40+50-60+70-80+9010-20+30-40+50-60+70-80+90.計算：(2+4+6+8+10)-(1+3+5+7+9.計算：(2+4+6+---+20)-(1+3+5+?+19).計算：(2+4+6+--+100)-(1+3+5+?+99)習(xí)題一解答.解：見下圖：.解：見下圖：.解：見下圖：.解：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20-(1+2+3+4)=210-10(利用例5的結(jié)果)=200.解：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0=(22-20)+(18-16)+(14-12)+(10-8)+(6-4)+(2-0)=2+2+2+2+2+2=12.解：=10+(30-20)+(50-40)+(70-60)+(90-80)=10+10+10+10+10=50.解：(2+4+6+8+10)-(1+3+5+7+9=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)=1+1+1+1+1=5.解：(2+4+6+?+20)-(1+3+5+?+19)=10.解：(2+4+61+100)-(1+3+5+??+99)=50第二講速算與巧算（二）例1哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？解：方法1:先算哥哥共拿了多少塊?再算妹妹共拿了多少塊?72-64=8(塊)方法2:這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8(塊)可以看出方法2要比方法1巧妙！平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運算結(jié)果，非常有助于速算。比如，請同學(xué)記住幾個自然數(shù)相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55例2星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說：“咱們一共10個人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會分？”結(jié)果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？解：按小明提的要求確實無法分。因為要使得每個人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人分到2塊，…第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5（塊）5而小明這包糖一共才 54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得1塊糖，比如說，應(yīng)該得 10塊糖的小朋友只分到了 9塊，但是這樣一來，他就和另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。（注意：“按小明提的要求無法分”就是此題的答案。在數(shù)學(xué)上“無解”也叫問題的答案。）例3時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，……照這樣敲下去，從1點到12點，這12個小時時鐘共敲了幾下？解：這是一道美國小學(xué)奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。方法1：湊十法方法 2：如果能記住從 1到10前十個自然數(shù)之和是 55，計算會更快。（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12=55+11+12=78（下）習(xí)題二1．三個小朋友分 5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？.①把16只小雞分別裝進(jìn)5個籠子里，每個籠子里都要有雞，而且每個籠子里的雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？②按同樣要求，把15只小雞裝進(jìn)5個籠子能辦得到嗎？③按同樣要求，把14只小雞分裝到5個籠子能辦得到嗎？.①把100塊糖分給10個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何分？②把99塊糖按同樣要求分給 10個小朋友，你能分嗎？4．從 1到20這20個數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？小方家的鐘除了幾點鐘敲幾下外，每半點鐘也敲一下。比如說，0點半敲1下，1點鐘敲1下，1點半敲1下，2點敲2下，2點半敲1下，……照這樣敲下去，從夜里0點開始，計到白天中午 12點鐘，在這 12個小時之內(nèi)時鐘共敲了多少下？習(xí)題二解答1．答案是不能分。所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第1個人分1塊，第2個人分2塊，第3個人分塊，這樣三個人共需要有 1+2+3=6（塊），但總的糖塊數(shù)只有 5塊，不夠分。如果第個人也分得 2塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有 2個人分得糖塊數(shù)一樣多了，又不符合分糖的要求了。.①5只籠子裝16只小雞的裝法是1,2,3,4,6。1+2+3+4+6=16（只）②5只籠子裝 15只小雞的裝法是 1，2，3，4，5。1+2+3+4+5=15（只）③5只籠子裝 14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無法分裝。．①記住 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10立即可知0 100塊糖按要求分給 10個人的分法是：各人所得糖塊數(shù)分別為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。②99塊糖按要求分給 10個小朋友無法分。．解：方法1：單數(shù)之和： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100雙數(shù)之和： 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差：110-100=10方法2：改變運算順序（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）-（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10.解：先記錄時鐘敲的整點數(shù)和半點數(shù)如下：列算式求和，并改變運算順序：1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90(下)第三講數(shù)數(shù)與計數(shù)(一)例1請你數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個“X” ?解：①分層數(shù)②先按“實心”三角形計算，再減去“空白”三角形中“X”的個數(shù)(1+3+5+7+9+11+13+15+17-(5+3+1)例2下圖所示的“塔”由4層沒有縫隙的小立方塊壘成，求塔中共有多少小立方塊?從頂層開始數(shù)，各層小立方塊數(shù)是：第一層：1塊;第二層：第二層：3塊；例例4數(shù)一數(shù)下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)各是多少？第三層： 6塊；第四層： 10塊；總塊數(shù) 1+3+6+10=20（塊）。從上往下數(shù)，第一層：1塊；第二層：第一層的1塊加第二層“看得見”的2塊等于第二層的塊數(shù)：1+2=3塊；第三層：第二層的 3塊加第三層“看得見”的 3塊等于第三層的塊數(shù)：3+3=6塊；第四層：第三層的 6塊加第四層“看得見”的 4塊等于第四層的塊數(shù)：6+4=10塊?？倝K數(shù) 1+3+6+10=20（塊）例3右圖是由小立方體碼放起來的，其中有一些小立方體被壓住看不見。請你數(shù)一數(shù)共有多少小立方體？解：從右往左數(shù)，并且編號TOC\o"1-5"\h\z第一排： 1塊；第二排： 7塊；第三排： 5塊；第四排： 9塊；第五排：16塊；總數(shù)： 1+7+5+9+16=38（塊）。66．?dāng)?shù)一數(shù)，下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)各是多少？TOC\o"1-5"\h\z面數(shù)： 4棱數(shù)： 6頂點數(shù)： 4面數(shù)： 5棱數(shù)： 8頂點數(shù)： 5習(xí)題三.請你數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少X?2．如下圖所示，一單層磚墻下雨時塌了一處，請你數(shù)一數(shù)，需要多少塊磚才能把墻補(bǔ)好？3．如右圖所示是一個由小立方體構(gòu)成的塔，請你數(shù)一數(shù)并計算出共有多少塊。4．如右圖所示是由小立方體構(gòu)成的“寶塔”，請你數(shù)一數(shù)共多少塊？5．右圖所示是由小立方體堆起來的，請你數(shù)一數(shù)，共有多少小立方體？習(xí)題三解答解：方法1：從最上邊的一行往下數(shù)方法2:假設(shè)“X”填滿整個長方形的圖形，應(yīng)該共有“X”： 20X8=160（個）“空白”三角形處應(yīng)有“X”：2+4+6+8=20（個）?！翱瞻住遍L方形處應(yīng)有“X” :5X4=20（個）。實際上“X”的總數(shù)是：160-20-20=120（個）。解：從下往上數(shù)，墻洞所缺少的磚塊數(shù)是：1+2+2+1+2+2=10（塊）。解： 從上往下數(shù)，注意：不要漏掉那些看不見的小立方體。TOC\o"1-5"\h\z第一層： 1塊； 第二層： 4塊；第三層： 9塊； 第四層： 16塊；總數(shù)： 1+4+9+16=30（塊）。解： 從上往下數(shù)第一層： 1塊； 第二層：9塊；第三層： 25塊；總數(shù)： 1+9+25=35（塊）。解：由前往后數(shù)，并進(jìn)行編號第一排：第一排：5塊；TOC\o"1-5"\h\z第二排： 6 塊；第三排： 8 塊；總數(shù)：5+6+8=19（塊）。解： 圖（ 1）是六棱柱；面數(shù) 8，棱數(shù)18，頂點數(shù) 12。圖（ 2）是由兩個四面體組成；面數(shù) 6，棱數(shù) 9，頂點數(shù) 5。圖（ 3）是五棱柱；面數(shù) 7，棱數(shù) 15，頂點數(shù) 10。圖（ 4）是由兩個四棱錐和一個四棱柱組成；面數(shù) 12，棱數(shù) 20，頂點數(shù) 10第四講數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）數(shù)數(shù)與計數(shù)時，注意不應(yīng)漏掉，不應(yīng)重復(fù)。如果漏掉了，要加上；如果重復(fù)了，要減掉。例1小朋友排隊，小紅前面 4個人，后面 3個人，問這隊共有幾個人？解：這隊的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅，所以是 4+3+1=8（人）。例2排好隊，來報數(shù)，正著報數(shù)我報七，倒著報數(shù)我報九，一共多少小朋友？解：見下圖正著報數(shù)“我”報了一次，倒著報數(shù)“我”又報了一次，所以把兩次報數(shù)加起來時，“我”被加了兩次。因此算這隊的總?cè)藬?shù)時，應(yīng)從兩次報數(shù)之和減 1。7+9-1=15（人）。也可以這樣想：正著報數(shù)報到我為止，倒著報數(shù)時，我就不報了，只報到我的后面相鄰的那個人他應(yīng)該報 8，所以全隊總?cè)藬?shù)是：7+（9-1）=15（人）。例3少先隊員排成隊去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個；從排尾數(shù)起，張英是第23個。已知劉平的前一個是張英。問這隊少先隊員共有多少人？解：畫示意圖，用點代表少先隊員。由圖可見，從排頭數(shù)起時，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時，又把劉平和張英數(shù)了一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點總?cè)藬?shù)時，應(yīng)減去多數(shù)的那一次才對。20+23-2=41（人）。例445個小朋友排成一隊去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19個；從排尾往前數(shù)，小莉是第12個，問小剛和小莉中間有幾個人？解：畫示意圖。用點“?”代表人由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是：45-（19+12）=14（人）。例5一班同學(xué)做花，做紅花的有 38人，做黃花的有 39人，沒有做花的有 3人。如果全班55人，那么既做紅花又做黃花的有多少人？解：畫圖如下：由圖可見，做花的人：55-3=52（人）。圖中陰影部分表示兩色花都做的人:38+39-52=25（人）。習(xí)題四1．學(xué)生排成一隊，在小進(jìn)的前面有 6人，后面有 8人，問這隊共有多少人？2．12輛汽車組成一列車隊向前行進(jìn)。從前面數(shù)起，紅色的小轎車是第7輛。問從后面數(shù)它是第幾輛？3．游泳池里男生都戴藍(lán)帽，女生都戴紅帽。池中一個男生小強(qiáng)邊看邊數(shù)，他看見藍(lán)帽4個，紅帽5個。問池中男女生共多少人？4．說稀奇、道稀奇，鴨子隊里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請你幫助算一算，小鴨一共有幾只？5．一個小組的小學(xué)生共有 5人，已知他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學(xué)作業(yè)。又知做完語文作業(yè)的有 3人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有4人。問語文和數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有幾人？6．在100名學(xué)生中統(tǒng)計，有 65人會騎自行車，有 73人會游泳，有 10人既不會騎自行車又不會游泳。問既會騎自行車又會游泳的人有多少？7．某班有學(xué)生 45人，訂閱《中國少年報》的有 29人，訂閱《小朋友》的有 28人，其中兩種都訂閱的有 16人，問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少？習(xí)題四解答1．解由圖可知：總?cè)藬?shù)是6+8+1=15人。解：方法1:數(shù)一數(shù)；先畫示意圖如下，用?代表紅色小轎車，用。代表其他從后面往前數(shù)一數(shù)，紅色小轎車是第6輛。方法 2：算一算；這隊車共有 12輛，從前面往后數(shù)，紅色小轎車是第7輛，所以紅色小轎車前面有 7-1=6輛車，因此從后面往前數(shù)，紅色小轎車是第12-6=6輛。解：畫示意圖如下：因為男生小強(qiáng)邊看邊數(shù)時，沒有看見自己的藍(lán)帽，他把自己漏數(shù)了。所以算總?cè)藬?shù)時，要把他加上，即4+5+1=10（人）。解：畫示意圖，用。代表小鴨，用?代表小雞。由圖可見，正數(shù)算上了小雞，倒數(shù)也算上了小雞。這樣兩數(shù)之和6+7=13中，把小雞計算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時就要減去兩個小雞。6+7-2=11（只）。解：畫示意圖如下：兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語文作業(yè)的3人中，又算在了做完數(shù)學(xué)作業(yè)的4人中，因此這部分人被多算了一次，（如圖中陰影部分所示）所以兩種作業(yè)都做完的人數(shù)是：3+4-5=2（人）。解：畫圖如下：由圖可知：會騎車或是會游泳的總?cè)藬?shù)是100-10=90（人）。兩種都會的人數(shù)是 65+73-90=48（人）。（圖中陰影部分所示）解：畫示意圖如下：份刊物的人：28+29-16=41（人）。兩種刊物都沒有訂的人：45-41=4（人）。第五講數(shù)數(shù)與計數(shù)（三）例1小朋友，張開手，五個手指人人有。手指之間幾個“空”，請你仔細(xì)瞅一瞅？（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。解：見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知：5個手指間有 4個“空”?！翱铡庇纸小伴g隔”，也就是，人的一只手有 5個手指4個間隔。例2小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔1米種一棵，共種了11棵，問這段馬路有多長？解：畫示意圖如下：由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有 10個“空”，也就是 10個間隔。每個間隔長1米，10個間隔長10米。也就是說這段馬路長 10米。像這類問題一般叫做“植樹問題”?？梢缘贸鲆粋€公式：當(dāng)兩頭都種樹時：例3把一根粗細(xì)一樣的木頭鋸成 5段，需要4分鐘。①如果把這根木頭鋸成 10段，需要幾分鐘？②如果把這根木頭鋸成 100段，需要幾分鐘？解：畫出示意圖：由圖可見，把木頭鋸成 5段，只需鋸 4次。所以鋸一次需 1分鐘。①同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。②同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。例4鼓樓的鐘打點報時，5點鐘打5下需要4秒鐘。問中午 12點時打12下需要幾秒鐘？解：畫示意圖。鐘打一下用一個點代表，打5下畫5個點。由圖可見，鐘打5下中間有4個時間間隔，4個間隔是4秒鐘，每個間隔就是 1秒鐘。由此推理鐘打12下時有12-1=11個時間間隔，故用11秒鐘。習(xí)題五1．一隊男生 8人。老師要求在 2名男生中間插進(jìn) 1名女生，問可插進(jìn)多少女生？2．小冬用12張紙訂成一個本子。從頭數(shù)起，每隔3紙夾進(jìn)一片樹葉，問這個本子內(nèi)共放進(jìn)多少片樹葉？3．在一條20米長的小路兩旁種小松樹，如果每隔5米種一棵，而且兩頭都種樹，問這段小路上共種多少棵？4．一根鋼管長 6米，每分鐘鋸下 1米，幾分鐘鋸?fù)辏?．一根木頭鋸成 4段，要付鋸工費1元。如果要把這根木頭鋸成13段，要付鋸工費多少元？6．小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2層，爸爸上 1層。問小明上到五樓時，爸爸上到幾樓？7．沿著跑道插著 11面旗，旗與旗離得一樣遠(yuǎn)，第一面旗插在起點。運動員從起點起跑經(jīng)過 6秒鐘到達(dá)第6面旗，問運動員到達(dá)第11面旗時，需要跑 11秒鐘嗎？8．三點鐘時，掛鐘打響三下，用了12秒。到六點鐘時，掛鐘打響六下，要用幾秒鐘？習(xí)題五解答解：方法1：按老師要求，在 2名男生中間插進(jìn) 1名女生后，寫出隊伍的排外情況是：男女男女男女男女男女男女男女男數(shù)一數(shù)，可知插進(jìn)的女生共 7人。方法 2：也可以這樣想：這道題中，把男生看成“樹”，把女生看成“間隔”，就能按植樹問題的公式解這道題。因為兩頭都是男生，就像兩頭都有樹一樣，女生數(shù)應(yīng)等于男生數(shù)減 1，即8-1=7（人）。解：畫示意圖如下：可以這樣想：把每 3張紙粘在一起成為一張“厚紙”，12張紙共粘成 4張厚紙。按題目要求，相當(dāng)于每兩張厚紙之間放入一片樹葉，可知共放入3片樹葉。解：畫示意圖如下：（只畫一旁種樹情況）由圖可見，每 5米為一段，20米長的路可分為4段，由于路兩端都要種樹，所以種的棵樹等于段數(shù)加1，即一旁種樹 4+1=5（棵），兩旁共種 5+5=10（棵）。解：畫示意圖如下：由圖可見，把 6米長的鋼管鋸成 1米長的6段，只需鋸 6-1=5（次），題中說，每分鐘鋸下 1米，就是說鋸 1次需要1分鐘，所以鋸 5次需5分鐘即5分鐘把鋼管鋸?fù)?。解：把一根木頭鋸成 4段只需鋸4-1=3次，按題意付鋸工費1元。當(dāng)把這根木頭鋸成13段時只需鋸 13-1=12次，每鋸3次付費1元，鋸12次應(yīng)付鋸工費4元。解：見右圖當(dāng)小明跑五樓時，實際上跑過了4層樓梯，所以爸爸此時只走過了2層樓梯，即走到了三樓。解：畫出示意圖：在起點插著第一面旗，但在起點運動員起跑時，時間是從 0秒開始計時的。運動員跑到第六面旗時，實際上是跑了5段間隔，這時他用了6秒鐘的時間；當(dāng)他跑到第11面旗時，實際上又跑了5段間隔，所以又用了6秒鐘，總起來共用了12秒鐘，而不是11秒鐘。解：“當(dāng)—當(dāng)—當(dāng)”鐘打響了三下，三響之間的間隔是兩次，兩個時間間隔用12秒，一個時間間隔就是12+2=6（秒）。如果鐘打六下，六響之間的間隔是5次,因而鐘打六下要6X5=30（秒）。第六講數(shù)數(shù)與計數(shù)（四）本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍(lán)子里一個一個地往外拿，邊拿邊數(shù)。籃子里的雞蛋拿光了，有多少個雞蛋也就數(shù)出來了。這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。例1用分別寫有數(shù)字 1和2的兩張紙片，能夠排出多少個不同的二位數(shù)？解：用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個二位數(shù)來。它們是：例2用分別寫有數(shù)字 0，1，2的三張紙片能排出多少個不同的二位數(shù)？解：因為“0”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個二位數(shù)，它們是：1作十位數(shù)字，0或2作個位數(shù)字：2作十位數(shù)字，0或1作個位數(shù)字：例3用分別寫有數(shù)字 1，2，3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)？解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個。共6個不同的三位數(shù)。例4小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、冉記、再放回……這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個不同的二位數(shù)？解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9個不同的二位數(shù)。例5有一群人，若規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設(shè)這群人是：①兩個人，②三個人，③四個人解：畫圖。用點“?”代表人。如果兩人握一次手就在兩個點之間連一條線。那么，點和點之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。①兩個人：兩點之間只能連一條線，表示兩個人共握 1次手。②三個人：三點之間有三條連線，表示三個人共握 3次手。③四個人：6次手。例6鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠(yuǎn)近而定的，距離愈遠(yuǎn)，票價愈高。如果一段鐵路上共有五個車站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價共有多少種？解：如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點代表五個車站，各點間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價不同。由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。數(shù)一數(shù)，票價種數(shù)是： 4+3+2+1=10種。例7小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有 a，b，c三條路（如下圖所示）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問有多少種不同的走法？解：共有6種不同的走法，見下圖。習(xí)題六1．用三張數(shù)字卡片多少？可以排出多少個不同的三位數(shù)？其中最大的比最小的大2．有四張數(shù)字卡片同的三位數(shù)？從中抽出三張組成三位數(shù)，問這些卡片可能組成多少個不3．用兩套數(shù)字卡片可組成多少個不同的二位數(shù)？在一次小學(xué)數(shù)學(xué)競賽的領(lǐng)獎臺上有五名同學(xué)上臺領(lǐng)獎，他們每兩個人都互相握了一次手。問他們共握了多少次手？5．全區(qū)六所小學(xué)舉行小足球賽，每個學(xué)校派出一個代表隊，要求規(guī)定每兩個校隊之間都要賽一場，問一共要賽多少場？右圖是小英家和學(xué)校之間的街道圖。問小英去上學(xué)時，共有多少種不同的走法？（不準(zhǔn)故意繞遠(yuǎn)走）7.如右圖所示，一只螞蟻從一個正方體的 A點沿著棱爬向B點，如不故意繞遠(yuǎn)，一共有幾種不同的走法？習(xí)題六解答解：注意，0不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共有4個。它們是：407，470，704，740。最大的數(shù)是 740，最小的數(shù)是 407。最大的數(shù)比最小的數(shù)大 740-407=333。解：注意0不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共 18個。102，104，120，124，140，142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。解：共組成25個不同的二位數(shù)。11，12，13，14，15；21，22，23，24，25；31，32，33，34，35；41，42，43，44，45；51，52，53，54，55。解：畫圖。用點代表人，用兩點之間的連線代表兩個人的一次握手。按這種規(guī)定連線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù)，共有 10條連線，所以共握手10次。解：共賽15場。見下圖。①方法1：如右圖所示這樣數(shù)：TOC\o"1-5"\h\z一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽 5場；二小再和三小、四小、五小、六小共賽 4場；（二小不能再和一小賽，因為它們已經(jīng)比賽過了，下同）三小再和四小、五小、六小共賽 3場；四小再和五小、六小共賽 2場；五小再和六小共賽 1場。比賽場次總數(shù)： 5+4+3+2+1=15（場）。②方法 2：每個學(xué)校都要和其他的五個學(xué)校各賽一場，共 5場。因而六個學(xué)校所賽的場次是5X6=30場。但是這樣計算還有個問題，比如說一小和二小賽了一場，這一場比賽被兩個學(xué)校都計算在了自己所賽的場次里，因而被計了兩次。所以總場數(shù)也就多計了一倍。也就是說，六個學(xué)校實際賽的總場次數(shù)是 30+2=15（場）。解：小英由家到學(xué)校共有 6種走法，見下圖粗黑線所示。解：螞蟻沿著棱由A點爬到B點有6種不同的走法，見下圖粗黑線所示。第七講填圖與拆數(shù)（一）例1如右圖，把 3、4、6、7四個數(shù)填在四個空格里，使橫行、豎行三個數(shù)相加都得14。怎樣填？TOC\o"1-5"\h\z解：先看豎行，最上格中已有個 5。要使 5+（）=14，括號里的數(shù)就要填 9。把 9拆成兩個數(shù)： 9=3+6，（因為3和6是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個空格里。但進(jìn)一步想，應(yīng)該把哪一個填在中間空格里呢？這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應(yīng)填剩下的兩個數(shù) 4和7，因為 4和7相加和為11，而 11+3=14，可見中間空格應(yīng)填 3。例2如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于 12。解：見下圖（1）、（ 2）、（ 3）。把 12分拆成三個不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式：12=9+2+112=8+3+112=7+4+112=7+3+212=6+5+112=6+4+212=5+4+3從各式中選擇有一個相同加數(shù)的兩個式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將相同的加數(shù)1填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學(xué)們還可以自己選擇另外的填法。例3如右圖所示。把 1、2、3、4、5五個數(shù)填入五個圓圈里，要求分別滿足以下條件：TOC\o"1-5"\h\z（1）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于 8；（2）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于 9；（3）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于 10。解：見下圖（1）、（ 2）、（ 3）（1）將8分拆成三個數(shù)之和（注意，這三個數(shù)要從 1、2、3、4、5中選?。?=1+2+58=1+3+4因為中間圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應(yīng)把“ 1”填在中間圓圈里其他四個數(shù)填在邊上；（2）解法思路與（ 1）相同，分拆方式如下：9=1+3+59=2+3+4（3）解法思路與（ 1）相同10=1+4+510=2+3+5。習(xí)題七1．如右圖所示。在正方形的空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個數(shù)相加得數(shù)都是 18。2．如右圖所示。在正方形空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個數(shù)相加都得 34。3．如右圖所示。把適當(dāng)?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個圈中的數(shù)相加都是10。4．如圖所示。從 2、3、4、5、6中選取適當(dāng)?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個大圓上的小圓圈中的四個數(shù)的和①都等于15,②都等于16。5．如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都等于10。15。615。7．如下頁圖所示。把 1、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組，填到三個小三角形的各個角上的圓圈里，使每個小三角形的三個角的圓圈里的數(shù)之和都是 15。同時使大三角形三個角的圓圈里的數(shù)之和也是 15。習(xí)題七解答1．在圖中，用較大的黑體字表示方格中原有的已知數(shù)，如 10、6、7三個數(shù)。仔細(xì)觀察可知，可以先在第二橫行右邊空格里填 2，因為要使橫行三個空格里的數(shù)之和是 18，（已有的兩個數(shù)之和是 10+6=16）就需要在這個空格中填上 18-16=2。當(dāng)然，也可以先填左下角空格的那個數(shù)，因為它所在的斜行中已有兩個數(shù) 7和6，而 7+6=13，所以應(yīng)在這個空格里填18-13=5。接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。2．見圖。解法思路與第1題相同。因為要求每行的四個數(shù)之和是 34，而第三橫行已有的三個數(shù)之和為 9+7+12=28，所以此行空格中可填 6。也可先填圖中另一斜行，因這斜行中已有的三個數(shù)之和是 13+10+7=30，所以，這斜行的空格，也就是圖的左下角的空格中應(yīng)填 4。接著，用同樣的思考方法填出其余所有空格。3．見圖。解法與第1題相同。因為三角形的一邊已有兩個數(shù) 3和2，其和為 3+2=5，要使這邊的三數(shù)之和是 10，可知這邊的右下角圓圈中應(yīng)填 10-5=5。其余兩圓圈中的數(shù)可按同樣方法填出。4．見圖。①和是15：因為大圓上有兩個小圓圈中已有了1和7，它們的和是 1+7=8，所以同一個大圓上另外的兩個小圓圈中應(yīng)填的兩個數(shù)之和應(yīng)是 15-8=7，將 7分拆成兩個數(shù)有兩種分拆方式：將2和5填入一個大圓上的兩個空圈中，將 3和4填入另一個大圓上的兩個空圈中。②見右圖。和是16,解法思路和①相同。因為1+7=8，16-8=8將8分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式：將2和6、3和5分別填入大圓上的空圈中。5.解：見下圖（1）?（4）把10分拆成三個不同的數(shù)的和，共有4種分拆方式:10=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+3+5選擇有一個共同加數(shù)的兩個式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構(gòu)成一種填法。本題有 6種符合題目要求的填法，這里只舉其中4種填法，還有 2種填法你能找出來嗎？解見下圖。把 15分拆成三個不同的數(shù)相加之和，共有 12種分拆方式：15=1+2+1215=1+3+1115=1+4+1015=1+5+915=1+6+815=2+3+1015=2+4+915=2+5+815=2+6+715=3+4+815=3+5+715=4+5+6因為題目中已有 2、3、8三個數(shù)填在 3個圓圈里，觀察上面各式，既用到2、3、8這三個數(shù)， 又要有另一個數(shù)是共同的，這樣的式子有如下三個： 15=1+2+12，15=1+3+11，15=1+6+8，將三式中共用的加數(shù)“ 1”寫在中間圓圈里，再在其他三個圓圈里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。解：見下面兩圖，將 15分拆，采取兩步分拆法如下：適當(dāng)選取四組數(shù)，填入四個三角形中（3個小三角形與 1個大三角形），可以得到一些不同的填法。選法的竅門是：先任選一組數(shù)如3、5、7，將它們分別填在大三角形的三個角頂圓圈中，再找分別包含3、5、7的三組數(shù)填在小三角形中，它們是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上圖所示。第八講填圖與拆數(shù)（二）本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。例1如右圖所示。把三個 1、三個 2、三個 3分別填在九個格內(nèi)，使橫行、豎行、斜行三個數(shù)加起來的和都等于6。解：找關(guān)鍵數(shù)先填。因為中間格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān)，所以它是關(guān)鍵數(shù)，確定了它，其他各格就容易填了。（1）嘗試法：若中間填“1”，再填其他格，如右圖。結(jié)果有一條斜線上的數(shù)都是1，其和為 3，不合題目要求。若中間格填“3”，再填其他格，如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是 3，其和為 9，不合題目要求。若中間格填“ 2”，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。（2）分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個“ 1”或一個“ 3”。因為若填兩個1后，即使再填一個最大的 3，這一行的這三個數(shù)之和才是 5，小于 6，不符合題目要求；同樣，若填兩個 3后，即使再填一個最小的數(shù) 1，這一行的三個數(shù)之和就是 7，大于 6，也不符合題目要求。如果在一行里填入兩個“ 2”，即使在此行里再填一個 2，這一行的三個數(shù)之和也可等于 6，符合題要求。由此得出，中間方格必須填“ 2”。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填出了。例2如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個數(shù)相加之和都是8。解：中間圓圈里的數(shù)是個關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該首先確定它。如何確定它呢？這樣想：假如我們已經(jīng)按題目要求把 1、2、3、4、5填入了五個圓圈中，這樣每條斜線上的三個數(shù)相加都得 8。那么當(dāng)我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應(yīng)為 8+8=16，但是五個圓圈中所填數(shù)之和應(yīng)為1+2+3+4+5=15，兩個和數(shù)之差是 1，即：16-15=1。這個差是如何產(chǎn)生的呢？這是因為把兩條斜線上的和數(shù)相加時，中間圓圈中的數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了1，可見此數(shù)是 1。然后，再求每條斜線兩端的數(shù)?？汕蟪鰞蓴?shù)之和應(yīng)為8-1=7把7分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式：

把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。例3如圖所示。把 1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)填在右圖中的七個圓圈里，每個數(shù)只能用一次，使每條線上的三個數(shù)相加之和都等于 12。解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該如何確定它呢？與例2的想法類似。假設(shè)已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條線上的三個圓圈中的數(shù)相加應(yīng)該都得 12。我們?nèi)绻M(jìn)一步把三條直線上的數(shù)都加起來，得數(shù)應(yīng)為： 12+12+12=36。不難看出，這樣就把中間圓圈里那個數(shù)加了三次。因而它比七個圓圈中的數(shù)相加之和： 1+2+3+4+5+6+7=28多了36-28=8也就是8應(yīng)是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應(yīng)是 8的一半，即8+2=4下面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù)，方法如下：12-4=8例4如圖所示。把 1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于9圈里，使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于9。解：見圖。三個角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因為它們中的每個都是兩條邊上共有的數(shù)。先確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想：六個數(shù)之和是 1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個數(shù)之和是 9，9+9+9=27這樣算每個角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個圓圈中的數(shù)之和是27-21=6把6分拆成三個數(shù)之和： 6=1+2+3；把1、2、3分別填入三個角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。習(xí)題八1．見圖。把 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9、 10、11填入右圖空白圓圈內(nèi)，使每個大圓上四個小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是 29。你能填嗎？2．見圖。把 2、 3、 4、 6、 7、 10、 11分別填入大圓上的小圓圈內(nèi)，使每個圓上四個小圓圈中的數(shù)字和都是 24。你能填嗎？3．見圖。把 2、3、4、5、6填入右圖的五個方格里，使橫行、豎行的三個數(shù)之和等于：①11、②12、③13。4．見圖。把 5、6、7、8、9、10六個數(shù)分別填入右圖中的六個圓圈里，使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于21。5．見圖。把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)分別填入圓圈里，使每個正方形的四個數(shù)相加之和都等于 24。6．見圖。把 1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個圓7．見圖。把 11、12、13、14、15、16、17七個數(shù)填入右圖的圓圈中，使橫行、豎行的圓圈中的每三個數(shù)之和都是 42。8．見圖。把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11這十一個數(shù)，分別填入圖中空格內(nèi)，使相鄰的兩個或三個空格內(nèi)的和等于① 14、②15。9．把1、2、3、4、5、6、7、8、9各數(shù)分別填入“七一”圖形中的九個空格內(nèi)，使每一橫行、豎行的四個、三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都等于 13。（見下圖）10．見下圖。把 1、2、3、4、5、6、7各數(shù)填入“十一”圖形中的七個空格里，使每一橫行、豎行的三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都是 10。習(xí)題八解答．解：見圖。找關(guān)鍵數(shù)先填。三個大圓相交處的小圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。仔細(xì)觀察。圖中一個大圓上已有 9和7兩個數(shù)，所以這個大圓上A,B兩個小圓圈（如圖示）所填的兩數(shù)之和應(yīng)為 29-（9+7）=13。把13分拆成兩數(shù)之和（注意要選用題中已給的數(shù)）只有11+2和8+5兩種分拆方式可供選用；經(jīng)試驗可知8和5這組數(shù)不合用，只能選用11和2這組數(shù)。最后可確定將 11填入三個大圓相交處的A圈中。接著可較容易地填上其他數(shù)了。．解：見圖。由中間的大圓圈上的三個已知數(shù) 1，5，8，可求出這個大圓上的最后一個數(shù)：24-（1+5+8）=10，這樣還剩下 2、3、4、6、7、11六個數(shù)未被選用。應(yīng)把它們分別填入六個小圓圈。仔細(xì)觀察可知：另外的兩個大圓相交處的小圓圈（B圈）中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。而且有一個大圓上已經(jīng)給出了數(shù) 9，所以該大圓上其余三個小圓圈所填數(shù)之和應(yīng)為 24-9=15。因而將15分拆成三個數(shù)之和（注意必須選用題中所給的數(shù)）15=7+6+2經(jīng)嘗試B圈中只能填6。然后再確定左邊大圓上三個小圓圈應(yīng)填的數(shù)是 11、4和3。．解：見下圖，解題思路與例3相同，略寫如下：2+3+4+5+6=20。TOC\o"1-5"\h\z①11+11-20=2即中間格填 2。②12+12-20=4即中間格填 4。③13+13-20=6即中間格填 6。4相同，略寫如下：4相同，略寫如下：21+21+21=635+6+7+8+9+10=4563-45=18（三個角上的三個數(shù)之和）分拆18=5+6+7即三個角上的三個圓圈里應(yīng)填 5、6、7．解：見圖，找關(guān)鍵數(shù)先填，不難看出，標(biāo)有字母A和B的兩圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因為它們是正方形公用的數(shù)，解法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5524+24+24=7272-55=1717=10+7=9+8（這就是兩組關(guān)鍵數(shù)10和7,以及9和8）。.解：見圖，找關(guān)鍵數(shù)先填。不難看出，中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。求關(guān)鍵數(shù)：1+2+3+4+5+6+7=2812+12+12=3636-28=8（相當(dāng)兩個中間圓圈里的數(shù)之和）8-2=4（就是一個中間圓圈里的數(shù)）12-4=8行三個數(shù)之和他是12。.解：先求關(guān)鍵數(shù)：橫行和豎行公用的兩個圓圈的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。11+12+13+14+15+16+17=9842+42+42=126126-98=28（28是橫行和豎行公用的兩個圓圈里的數(shù)的和）將28分拆：（見下面三個圖）.解：先求關(guān)鍵數(shù)。六字的“點”和“橫”公用的方格中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。方法1：14X5=701+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66公用的方格中的數(shù)是70-66=4再適當(dāng)選擇其他的數(shù)填入其他空格。方法2:見下圖15X5=7575-66=9公用的方格中填9,再適當(dāng)選擇其他各數(shù)填入方格。.解：見下圖，求關(guān)鍵數(shù)即共用方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9=4513X4=5252-45=7.解：見下圖，先確定“十”字中間方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7=2810X3=3030-28=2（中間方格中的數(shù)）第九講分組與組式課本上的算題，多數(shù)是已經(jīng)列好算式要求計算出結(jié)果。但在這一講里，往往是知道結(jié)果或要達(dá)到的目標(biāo)，請你回答如何才能得出這種結(jié)果或達(dá)到目標(biāo)值。為此就要求同學(xué)們在掌握好以前所學(xué)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，還要進(jìn)一步做到：仔細(xì)地觀察，發(fā)現(xiàn)題中給出的一些數(shù)中存在的規(guī)律，并且大膽地進(jìn)行嘗試，培養(yǎng)思維的靈活性和敏捷性。例1如下圖所示把 1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字分成兩部分，再組成兩個數(shù)，填入下面的兩個方框里，使兩個數(shù)的和等于99999解：把九個數(shù)字分成兩部分，組成兩個數(shù)，要求相加之和由五個 9組成，可見一個數(shù)應(yīng)是五位數(shù)，且 9應(yīng)在最高位，另一個是四位數(shù)。把除 9之外的其余八個數(shù)字分成四對，每對的和是 9，它們應(yīng)是 1和8，2和7，3和6，4和5。它們可以組成以下算式，如：可見分組方法是多種多樣的。例2給你1、2、3、4、16、17、18、19這八個數(shù)，要求：①把它們分成四組，使每組的兩個數(shù)相加之和相等。②再用這八個數(shù)組成如下的兩個算式。□+□-□=□□+□-□=□①解：仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)：在這八個數(shù)中，前四個都是一位數(shù)，且后一個數(shù)比前一個數(shù)大1；后四個都是兩位數(shù)，也是后一個數(shù)比前一個數(shù)大 1。因此把它們互相搭配后，可使每組的兩數(shù)之和相等。分組如下：（1，19）；（ 2，18）；（ 3，17）；（ 4，16）。可以看出，每組的兩數(shù)之和都等于 20。②解：如下圖所示，由于1+19=2+18，3+17=4+16因此可以組成符合題目要求的算式如下：注意：符合題目要求的算式不只這些，同學(xué)們自己還可以再寫出一些。例3在1、2、3、4、5、6、7之間放幾個“ +”號，使它們的和等于 100，試試看。1234567=100解：對這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！二是可以先考慮與目標(biāo)值（此題是 100）較接近的大數(shù)，再考慮用較小的數(shù)進(jìn)行調(diào)整、修正，使式子的得數(shù)逐漸接近目標(biāo)值，也就是使之轉(zhuǎn)化為較簡單的情況。（1）對此題可考慮先在 67前面放一個“ +”號，這樣比 100還小 33，也就是說，轉(zhuǎn)化成了較簡單的情況：12345=33再考慮在23前放個“ +”號，它比 33還小 10，這樣問題又轉(zhuǎn)化為：145=10這就很容易看出來了：1+4+5=10所以最后可以確定組成的算式是：1+23+4+5+67=100（2）此題還可以有另外的解法，邊看邊想可得出： 34+56=90剩下的三個數(shù)：1+2+7=10所以最后可以組成如下的算式：1+2+34+56+7=100。例4某公園里有三棵樹，它們的樹齡分別由1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中的不同的兩個數(shù)字組成，而且其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這三棵樹各是多少歲嗎？解：這道題的實質(zhì)就是：把 1、2、3、4、5、6六個數(shù)分成三組，每組兩個數(shù)，組成二位數(shù)，使其中的兩個二位數(shù)之和等于第三個二位數(shù)的2倍。順便說一下，把生活中的趣味問題轉(zhuǎn)化成為純數(shù)學(xué)型的題目是一種重要的本領(lǐng)，同學(xué)們要從小就注意增強(qiáng)這種能力，以便將來能夠運用數(shù)學(xué)知識解決實際工作中遇到的難題。仔細(xì)觀察、大膽嘗試，將這六個數(shù)分組、組合，可得出的三個數(shù)是：12，34，56，因為12+56=34X2即這三棵樹的樹齡是 12歲、34歲、56歲。這道題有幾種不同的答案，請你動動腦筋找出另外的答案。習(xí)題九1．用 10、11、12、13這四個數(shù)編兩道加減順序不同的混合算式，要求算式符合下面的形式。+□-□=□-□+□=□2．用 2、3、4、5、6、7、8、9這八個數(shù)，每個數(shù)只準(zhǔn)用一次，編兩道加減混合算式，要求算式符合下面的形式。+□-□=□-□+□=□3．公園里有三棵樹，它們的樹齡分別由 1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中的不同的兩個數(shù)字組成，而其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這三棵樹各是多少歲嗎？4．某公園里有三棵古樹，它們的樹齡分別由 1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字中的不同的三個數(shù)字所組成，而且其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這三棵樹各是多少歲嗎？5．見圖。有一天，電鐘從墻上掉下來，鐘面摔成了三塊。小明一看，三塊的形狀雖然不同，但三塊上的數(shù)相加之和卻相等。你知道鐘面碎成了什么樣子嗎？每塊鐘面上的數(shù)相加之和是多少？6．在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字中，不改變它們的順序，在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結(jié)果等于 100。你能組成下面這樣的算式嗎？123456789=1007．用1、2、3、4、5、6、7這七個數(shù)字組成五個數(shù)，使組成的兩個兩位數(shù)與三個一位數(shù)相加之和正好等于 100，你能夠辦得到嗎？8．把0、1、2、3、4、5、 6、 7、8、9這十個數(shù)字分別填到下面方框里，每個數(shù)只準(zhǔn)用一次，使下面的三個算式都成立?！?□=□□-□=□□X□二□□9．在 1至9的九個數(shù)字中，已填入方框的三個數(shù)字除外，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)字填入方框中，使下面的等式成立。10．見下圖。把 1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字分成三組。第一組一個數(shù)字，作為一位數(shù)當(dāng)乘數(shù)；第二組二個數(shù)字，組成一個二位數(shù)當(dāng)被乘數(shù)；第三組三個數(shù)字，組成一個三位數(shù)當(dāng)作積。最后用這三個數(shù)寫成下列乘法算式?！酢鮔D=□□□習(xí)題九解答1，解：在10、11、12、131，所以可以寫成一個等式：10+13=11+12對這個等式進(jìn)行變換，可以得到符合題目要求的兩個等式：解：根據(jù)這八個數(shù)之間的相互關(guān)系，首先可以寫出兩個等式：2+5=3+46+9=7+8再根據(jù)運算規(guī)律，對這兩個等式進(jìn)行變換，就可以得到符合要求的兩個算式：還可以變換出其他形式的算式，同學(xué)們還可以試著寫出一些。解：此題與例4相同，除在例4中求出的一個答案外還有以下各種答案也符合題意：21+65=43X2三棵樹的樹齡分別是 21歲、43歲、65歲。16+52=34X2三棵樹的樹齡分別是 16歲、 34歲、 52歲。25+61=43X2三棵樹的樹齡分別是 25歲、 43歲、 61歲。解：此題與例4類似。可以這樣考慮：用1、2、3組成最小的三位數(shù)，用7、8、9組成較大的三位數(shù)，將兩個數(shù)相加得數(shù)取其半就是中間數(shù)：123+789=912912+2=456所以三棵古樹的樹齡分別是 123歲、456歲、789歲。解：鐘面上的12個數(shù)是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。不難看出這些數(shù)有個特點：最小的1和最大的12相加得 13，次小的 2和次大的11相加得13……中間的6和7相加得13,即可見，三塊鐘面上的數(shù)若按下面的方式組合，它們的和將會相等：（1，2，11，12），（ 3，4，9，10），（ 5，6，7，8）。每塊鐘面上的數(shù)之和是：1+2+11+12=3+4+9+10=5+6+7+8=2。6解：為了減少嘗試的次數(shù)，可以先考慮接近 100的較大的數(shù)，用加上或減去較小的數(shù)進(jìn)行逐步調(diào)正，最后得到目標(biāo)值 100。經(jīng)嘗試知可組成以下算式：①123+45-67+8-9=100可以這樣想 123-100=23，所以要想辦法再減去 23。加45減67等于減去 22；再加8減9等于減1，恰好滿足要求。②123-45-67+89=100可以這樣想：從 123中減去45和67后得 11，然后和 89相加，得數(shù)正好是 100③123+4-5+67-89=100這個算式與①的解法思路相似。123比100大23，要減去它才能達(dá)到目標(biāo)值 100加4減5等于減1，加67減89等于減 22，結(jié)果正好滿足要求。以下還有：④123-4-5-6-7+8-9=100⑤12+3+4+5-6-7+89=100⑥12-3-4+5-6+7+89=100⑦1+2+3-4+5+6+78+9=100⑧1+2+34-5+67-8+9=100⑨12+3-4+5+67+8+9=100⑩1+23-4+56+7+8+9=100解：在1至7這七個數(shù)里，能使五個數(shù)的和的個位數(shù)是 0的有以下三組：2、4、6、7；1、3、4、5、7；2、3、4、5、6把這三組數(shù)分別作為算式中的個位數(shù)字，每組中剩下的兩個數(shù)就可以作為十位數(shù)字，因而所組成的三個得數(shù)均勻100的豎式如下圖解：題目要求用0到9這十個數(shù)字組成一道加法算式、一道減法算式，一道乘法算式，而且乘法算式里的積是兩位數(shù)，其余算式中的各個數(shù)都是一位數(shù)。由于乘法算式受限制最強(qiáng)，所以抓住它入手分析?！鮔□二□□又因為“ 0”是較特殊的數(shù)，按題目要求每個數(shù)只許用一次，這就定了“ 0”只能在乘法算式的乘積的個位數(shù)的方框中出現(xiàn)。這是因為0加減任何數(shù)都得原來的數(shù)；0與任何數(shù)相乘都得 0，都會破壞每個數(shù)字只使用一次的要求，個位數(shù)是 0的乘法算式有2X5=10,4X5=20,6X5=30,8X5=40。究竟選用哪個乘法算式呢？就要看剩下的數(shù)能不能組成加法算式和減法算式。經(jīng)試驗可知選4X5=20后剩下的是1、3、6、7、8、9六個數(shù)，用它們可組成1+7=8,3+6=9兩個等式。經(jīng)變換可得符合題目要求的一組算式（同學(xué)們還可以變換出其他形式的答案）。解：先根據(jù)只有9X6=54和8X7=56再用 把剩下的數(shù)字進(jìn)行檢驗，可得出兩種符合要求的答案：解：經(jīng)多次嘗試，可得出符合題目要求的答案如下．第十講自然數(shù)串趣題從1開始，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12……連起來成一串，像一串糖葫蘆，我們把這樣的一串?dāng)?shù)叫作自然數(shù)串（也叫自然數(shù)列），其中的每一個數(shù)都叫作自然數(shù)。自然數(shù)串的特點是：①從1開始，1是頭；②在相鄰的兩個數(shù)中，后一個數(shù)比前一個數(shù)大 1;③后面的數(shù)要多大有多大，也就是說，自然數(shù)申是有頭無尾的。在自然數(shù)串中，如果寫到某一個數(shù)為止，就叫做有限自然數(shù)串，也簡稱自然數(shù)串。這一講的題目，都是與（有限）自然數(shù)串有關(guān)的。例1如下頁圖所示。一份學(xué)習(xí)材料放在桌上，一陣風(fēng)把材料吹落了一地。小軍揀起來一看，糟糕，少了兩張。根據(jù)下面揀到的材料的頁碼，你能說出少了哪幾頁嗎？解：一張材料的正反兩面用兩個自然數(shù)作頁碼，這兩個自然數(shù)是相鄰的。仔細(xì)觀察找到的材料的頁碼，根據(jù)自然數(shù)串的特點，可知少了的兩張紙的頁碼是（7、8）和（ 13、14）。例2從1連續(xù)地寫到100，“ 0”出現(xiàn)了多少次？解： “0”出現(xiàn)了 11次。因為從 1到100含有“ 0”的自然數(shù)是： 10、20、30、40、50、70、80、90、100。數(shù)一數(shù)，這些自然數(shù)中共有 11個“0”。例3把1,2,3,4,5,……28,29,30這三十個數(shù)，從左往右依次排列起來，成為一個數(shù)，你知道這個數(shù)共有多少個數(shù)字嗎？解：把這個數(shù)寫出一部分來看看：1234567891……282930下面，分段計算這個數(shù)共包含有多少個數(shù)字：至9共有9個數(shù)字；10至19共有10個自然數(shù)，每個都由兩個數(shù)字組成，這一段共有 2X10=20個數(shù)字。20至29這一段也有 10個自然數(shù)，共有 20個數(shù)字。30這個數(shù)由兩個數(shù)字組成。所以這個數(shù)所包含的數(shù)字總數(shù)是：9+20+20+2=51（個）。例4小青每年都和家長一起參加植樹節(jié)勞動。七歲那年，他種了第一棵樹，以后每年都比前一年多種一棵?，F(xiàn)在他已經(jīng)長到15歲了，連續(xù)地種了九年樹。請你算一算，這九年中小青一共種了多少棵樹？解：先把小青每年種幾棵樹寫出來再把每年種樹的棵樹加起來1+2+3+4+5+6+7+8+9=4（棵）。5例5如下圖所示。商店的貨架上堆放著一堆火腿腸。你能很快地算出它的總數(shù)有多少根嗎？解：從上向下數(shù)，每層的火腿腸的根數(shù)組成一個自然數(shù)串，1，2，3，4，5，6，7，8，9方法1：利用湊十法求和方法2：用兩串?dāng)?shù)“頭尾相加