一階動(dòng)態(tài)電路分析

第4章一階動(dòng)態(tài)電路分析4.1電容元件與電感元件4.2一階電路的零輸入響應(yīng)4.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)4.4一階電路的全響應(yīng)4.5一階電路的三要素分析法4.6一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)4-1電容元件與電感元件

4-1-1電容元件

一、電容的定義和符號(hào)一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻t，它所存儲(chǔ)的電荷q

(t)與其端電壓u(t)之間的關(guān)系可以用u(t)-q

(t)平面上的一條曲線(xiàn)來(lái)確定,則稱(chēng)該兩端元件為電容元件線(xiàn)性電容時(shí)變電容非線(xiàn)性電容非時(shí)變電容電容的分類(lèi)：電容符號(hào)線(xiàn)性電容u-q

特性線(xiàn)性電容存儲(chǔ)的電荷q(t)和端電壓u(t)有如下關(guān)系C為與電荷、電壓無(wú)關(guān)的常量，表示元件存儲(chǔ)電荷的能力，稱(chēng)為電容。二、電容的單位電容C的單位為法拉（F），但因法拉這個(gè)單位太大，所以通常采用微法（μF）或皮法（pF）

三、電容的伏安關(guān)系設(shè)電容上流過(guò)的電流與其兩端的電壓為關(guān)聯(lián)參考方向則根據(jù)電流的定義有對(duì)線(xiàn)性電容又有線(xiàn)性電容的伏安關(guān)系為四、電容的特點(diǎn)1．電容能隔直流通交流；電容的阻抗與頻率有關(guān)。由電容的伏安關(guān)系可知電容有如下基本性質(zhì)：2．在有限電容電流的前提下，電容上的電壓只能連續(xù)變化，不能發(fā)生跳變。電容電壓的連續(xù)性可表示為在動(dòng)態(tài)電路分析中常用這一結(jié)論，并稱(chēng)之為“換路定則”。3．電容是一種有記憶的元件。根據(jù)電容的伏安關(guān)系可得：任一時(shí)刻電容上的電壓不僅取決于該時(shí)刻的電流值，而是取決于從到所有時(shí)刻的電流值，即與電流的全部歷史有關(guān)，所以電容是一種“有記憶”元件。稱(chēng)為電容的初始電壓，反映時(shí)刻之前電流的全部作用。五、電容的儲(chǔ)能在電容的電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向下，其吸收的瞬時(shí)功率為由功率的定義，可得在t時(shí)刻電容吸收的電能為因?yàn)?，故有上式表明，任一時(shí)刻電容的儲(chǔ)能只與該時(shí)刻電容的電壓有關(guān)[例4-1]圖（a）所示電容中電流i的波形如圖（b）所示，已知，試分別求時(shí)電容上的電壓。解：由的波形可寫(xiě)出其數(shù)學(xué)表達(dá)式為因?yàn)?/p>

所以

[例4-2]電路如圖(a)所示，開(kāi)關(guān)打開(kāi)前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在時(shí)刻將開(kāi)關(guān)K打開(kāi)，求電容的初始值。解：因?yàn)樵跁r(shí)，電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以電容可看作開(kāi)路。這時(shí)其等效電路如圖（b）所示。又根據(jù)換路定則，可得根據(jù)圖（b）可算出

4-1-2電感元件

一、電感的定義一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻穿過(guò)電感線(xiàn)圈的磁鏈與其流過(guò)的電流的關(guān)系可以用平面上的一條曲線(xiàn)來(lái)確定，則稱(chēng)此二端元件為電感。

電感的符號(hào)

非時(shí)變線(xiàn)性電感二、電感的符號(hào)和單位電感的單位：亨利（H）三、電感的伏安關(guān)系對(duì)非時(shí)變線(xiàn)性電感有非時(shí)變線(xiàn)性電感L是與無(wú)關(guān)的常量，表示元件產(chǎn)生磁鏈的能力，稱(chēng)為該元件的電感量。在電感上電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，由電磁感應(yīng)定律可得四、電感的特點(diǎn)1.電感具有通直流隔交流的作用,其阻抗也隨信號(hào)的頻率而變化.2．在有限電感電壓的前提下，電感上的電流只能連續(xù)變化，不能發(fā)生跳變。電感電流的連續(xù)性可表示為上式也稱(chēng)為換路定則，在動(dòng)態(tài)電路初始值確定時(shí)，該式也是非常重要的依據(jù)3．電感也是一種有記憶的元件。根據(jù)電感的伏安關(guān)系有任一時(shí)刻電感上的電留不僅取決于該時(shí)刻的電壓值，而是取決于從到所有時(shí)刻的電壓值，即與電壓的全部歷史有關(guān)，所以電感是一種“有記憶”元件。稱(chēng)為電感的初始電流，反映時(shí)刻之前電壓的全部作用。五、電感的儲(chǔ)能由功率的定義，可得在t時(shí)刻電干吸收的電能為上式表明，任一時(shí)刻電感的儲(chǔ)能只與該時(shí)刻電感的電流有關(guān)[例4-3]圖(a)所示電路，電感上的電流波形如圖(b)所示，求電壓，電感吸收的功率，電感上的儲(chǔ)能，并繪出它們的波形。解：根據(jù)圖(b)，寫(xiě)出的數(shù)學(xué)表達(dá)式：由電感的伏安關(guān)系可得

電感上吸收的功率為

電感上的儲(chǔ)能為[例4-4]圖(a)所示電路,時(shí)開(kāi)關(guān)K閉合，電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)。在時(shí)刻，打開(kāi)開(kāi)關(guān)K，求初始值。解：時(shí)K閉合，電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，此時(shí)電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路，故可求得t=0時(shí),K打開(kāi),根據(jù)換路定則有t=0+時(shí)的等效電路見(jiàn)圖(b)4-2一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路就是包含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的電路。分為一階RC電路和一階RL電路。所謂零輸入響應(yīng)即是由動(dòng)態(tài)元件的初始態(tài)在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。4-2-1一階RC電路的零輸入響應(yīng)

因?yàn)樵趽Q路前，電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以換路后，根據(jù)KVL可得因?yàn)樗钥傻贸跏紬l件為其特征方程為特征根為故得該微分方程的通解為：系數(shù)K可由初始條件確定電容電壓的零輸入響應(yīng)為稱(chēng)為電路的時(shí)間常數(shù),單位為秒（S）由電容的伏安關(guān)系可求得電路中流過(guò)的電流為的波形圖從以上的分析,可以得到如下結(jié)論：1．一階RC電路的和均是隨時(shí)間呈指數(shù)衰減的。2．與隨時(shí)間衰減的快慢由決定與的關(guān)系t

0τ2τ3τ4τ5τ0.006US從上表中可以看出，時(shí),已下降為初始值的1.8%，在工程中一般認(rèn)為此時(shí)零輸入響應(yīng)已基本結(jié)束。4-2-2一階RL電路的零輸入響應(yīng)

在換路前電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，根據(jù)換路定則知:換路后，根據(jù)KVL可得將電阻、電感的伏安關(guān)系代入上式，得初始條件為其特征方程為特征根為故得該微分方程的通解為：系數(shù)K可由初始條件確定所以是一階RL電路的時(shí)間常數(shù)由電感伏安關(guān)系可以得到電感上的電壓為一階電路零輸入響應(yīng)的一般公式對(duì)RC電路有對(duì)RL電路有對(duì)任何一階電路，求其零輸入響應(yīng)，關(guān)健就是求解其時(shí)間常數(shù)和初始值，這兩個(gè)參數(shù)一旦被確定，其響應(yīng)就確定了。[例4-5]如圖所示電路，開(kāi)關(guān)K在位置“1”時(shí)，電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)K由位置“1”切換到位置“2”，試求i(t)和u（t）。解：因?yàn)镵在位置“1”時(shí)，電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以電感相當(dāng)于短路，由此可求得電感電流的初始值為時(shí)間常數(shù)為4-3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)電路的初始狀態(tài)為零，僅由外加激勵(lì)產(chǎn)生響應(yīng)稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng)。由KVL可得將電阻、電容的伏安關(guān)系代入上式，得上式為非齊次微分方程，根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)知，其通解由齊次解和特解兩部分組成，即由前面的分析可知，該微分方程對(duì)應(yīng)的齊次解為其對(duì)應(yīng)的特解是由外激勵(lì)強(qiáng)制建立的，應(yīng)與外激勵(lì)具有相同的函數(shù)形式，當(dāng)激勵(lì)為直流時(shí),其特解為一常量。設(shè)該特解為，代入微分方程中可得故得代入初始值，確定系數(shù)K由上式知,電容兩端的電壓隨時(shí)間按始指數(shù)的規(guī)律增長(zhǎng),增長(zhǎng)的快慢由時(shí)間常數(shù)決定所以的波形圖電容上的電流可根據(jù)電容的伏安關(guān)系求得其波形如圖(b)所示是隨時(shí)間逐漸衰減的。對(duì)于如圖所示的RL電路，同樣可求得其零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)KCL可得電感兩端的電壓為一階RL電路與一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)具有相同的形式，iL(t)與uC(t)

的一般式為[例4-6]在圖(a)所示電路中,設(shè)開(kāi)關(guān)閉合前電容無(wú)初始儲(chǔ)能。t=0時(shí)，開(kāi)關(guān)K閉合，求時(shí)的。解：因?yàn)殡娙轃o(wú)初始儲(chǔ)能，所求為零狀態(tài)響應(yīng)，有（1）求穩(wěn)態(tài)值由換路后的穩(wěn)態(tài)電路(電容相當(dāng)于開(kāi)路)知（2）求時(shí)間常數(shù)，R為從電容兩端看進(jìn)去的戴維南等效電阻

于是所求響應(yīng)為4-4一階電路的全響應(yīng)當(dāng)電路的初始狀態(tài)與外加激勵(lì)均不為零時(shí)，電路產(chǎn)生的響應(yīng)稱(chēng)為全響應(yīng)根據(jù)疊加定理，可將初始狀態(tài)和外加激勵(lì)作為兩個(gè)獨(dú)立源，則全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，即全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)一階電路，全響應(yīng)的一般公式可表示為[例4-7]如圖所示一階電路，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，已知,試求t>0時(shí)的解：設(shè)零輸入響應(yīng)為uC1，零狀態(tài)響應(yīng)為uC2

，則4-5一階電路的三要素分析法如前所述，在恒定激勵(lì)下，一階電路中的電壓和電流都是按指數(shù)規(guī)律變化的。圖（a）按指數(shù)規(guī)律增加圖（b）按指數(shù)規(guī)律減小并且在同一電路中，各支路電壓、電流具有相同的時(shí)間常數(shù)。由圖（a）可寫(xiě)出f(t)的表達(dá)式為圖（a）按指數(shù)規(guī)律增加將后一項(xiàng)相乘展開(kāi)并整理得由圖（b）可寫(xiě)出f(t)的表達(dá)式為圖（b）按指數(shù)規(guī)律減小所以無(wú)論f(t)是按指數(shù)規(guī)律增加還是減小均可統(tǒng)一用上式表示。，稱(chēng)為一階電路的三要素。在分析電路時(shí)，只要求出這三個(gè)要素，就能直接寫(xiě)出響應(yīng)的表達(dá)式，將這種求解一階電路響應(yīng)的方法稱(chēng)為三要素法。三要素法將一階RC電路、RL電路、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng)的表達(dá)式統(tǒng)一起來(lái)，這樣就使得一階電路的分析大為簡(jiǎn)化

[例4-9]電路如圖(a)所示，當(dāng)時(shí)開(kāi)關(guān)K是斷開(kāi)的，電路已處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)時(shí)開(kāi)關(guān)K閉合,求時(shí)的電流解：此電路因包含兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件,并非一階電路，但當(dāng)開(kāi)關(guān)K閉合后，電路可分解為兩個(gè)一階電路，如圖(b)、（c）所示。先利用三要素法分別求出兩個(gè)一階電路的電流，然后用KCL可得。2Ω（c）1Ω+12V-2H2ΩiLi2在t<0時(shí)，K是斷開(kāi)的，電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路。由換路定則有換路后的(0+)等效電路如圖(d)所示。由圖可求得(2)求時(shí)間常數(shù)由圖（b）可知由圖（c）可知2Ω（c）1Ω+12V-2H2ΩiLi2利用三要素公式可得[例4-10]電路如圖(a)所示，N為線(xiàn)性電阻網(wǎng)絡(luò)，其零狀態(tài)響應(yīng)為,如果用L=2H的電感代替電容，如圖(b)所示。試求該情況下的零狀態(tài)響應(yīng)。解：圖(a)為一階RC電路，由其響應(yīng)可求出電路的三要素為因?yàn)槌齃、C外，兩電路的結(jié)構(gòu)參數(shù)完全相同，所以對(duì)RC電路，uC(0+)=0在求u0(0+)時(shí)，電容相當(dāng)于短路；在求u0(∞)時(shí)，電容視為開(kāi)路。對(duì)RL電路，iL(0+)=0在求u1(0+)時(shí)，電感相當(dāng)于開(kāi)路；在求u1(∞)時(shí)，電感視為短路。求u1(0+)時(shí)求u0(∞)等同于求u1(∞)時(shí)求u0(0+)等同于故有：對(duì)RC電路，可得對(duì)RL電路根據(jù)三要素法可得RL電路的響應(yīng)為：4-6一階電路的階躍與沖激響應(yīng)4-6-1單位階躍信號(hào)

一、單位階躍信號(hào)的定義二、單位階躍信號(hào)的電路實(shí)現(xiàn)三、單位延遲階躍信號(hào)四、用單位階躍信號(hào)表示各種脈沖信號(hào)單位階躍信號(hào)(電壓或電流)在零狀態(tài)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)，稱(chēng)為單位階躍響應(yīng)。4-6-2階躍響應(yīng)

階躍響應(yīng)實(shí)際上是恒定激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，一般常采用三要素法求解。[例4-11]電路如圖(a)所示，已知,求階躍響應(yīng)。解：（1）求初始值因?yàn)殡A躍響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，所以當(dāng)電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，L可視為短路,等效電路如圖(b)所以（2）求穩(wěn)態(tài)值

（3）求時(shí)間常數(shù)等效電阻R為時(shí)間常數(shù)為故階躍響應(yīng)為或表示為

[例4-12]電路如圖(a)所示，激勵(lì)如圖(b)所示。已知uC(0-)=2V,求t＞0時(shí)，電路的響應(yīng)u(t)。

解：該電路的響應(yīng)為全響應(yīng),可將其分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),分別進(jìn)行求解。1．求解零輸入響應(yīng)uZi

因?yàn)闀r(shí)間常數(shù)零輸入響應(yīng)2．求零狀態(tài)響應(yīng)uZS（1）求單位階躍響應(yīng)對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為u0(t)根據(jù)三要素法可得（2）將給定uS

(t)的用階躍函數(shù)表示（3）根據(jù)線(xiàn)性定常電路的性質(zhì)和疊加定理求uZS

線(xiàn)性定常電路有如下性質(zhì)：

若激勵(lì)為，電路的響應(yīng)為S（t），則當(dāng)激勵(lì)為時(shí)，其響應(yīng)為。對(duì)應(yīng)的響應(yīng)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)所以根據(jù)疊加定理可得:3．求電路的全響應(yīng)u(t)4-6-3單位沖激信號(hào)

一、單位沖激信號(hào)的定義

且

單位沖激信號(hào)可理解為一個(gè)寬度為τ，高度為1/τ的矩形脈沖函數(shù)在τ0時(shí)的極限所以沖激強(qiáng)度實(shí)際表示的是δ(t)的圖形面積為1。沖激信號(hào)還可以推廣為對(duì)于任意一個(gè)在處連續(xù)的函數(shù)，將有因此有有把一個(gè)函數(shù)在某一瞬間的值抽取出來(lái)的特性，這一特性稱(chēng)為單位沖激函數(shù)的采樣。

單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù)有如下關(guān)系：的上述關(guān)系可證明如下：實(shí)際上波形是不能躍變的，所以是上升速率很高的一種波形抽象化的結(jié)果。同樣也是矩形脈沖在時(shí)的近似對(duì)求導(dǎo)，結(jié)果恰好為是即當(dāng)時(shí)，上式即可表示為4-6-4沖激響應(yīng)

將單位沖激信號(hào)在零狀態(tài)電