函數(shù)的基本性質_第1頁
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第三節(jié)函數(shù)的基本性質一、有界性二、單調性三、奇偶性四、周期性一、有界性設函數(shù)y=f(x)的在集合Ｄ內有定義，如果存在正數(shù)M，使得對于任意的，都有成立，則稱f(x)在Ｄ內有界，或稱f(x)為Ｄ內的有界函數(shù)，如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在Ｄ內無界.如果M為f(x)的一個界，易知比M大的任何一個正數(shù)都是f(x)的界.如果f(x)在Ｄ內無界，那么對于任意一個給定的正數(shù)M，Ｄ中總有相應的點，使得.當函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界時，函數(shù)y=f(x)的圖形恰好位于直線y=M和y=–Ｍ之間.這里?。?1.函數(shù)y=sinx的圖形位于直線y=1與y=–1之間.例如，函數(shù)f(x)=sinx在內是有界的.

這是因為對于任意的，都有成立，應該注意，函數(shù)的有界性，不僅僅要注意函數(shù)的特點，還要注意自變量的變化范圍Ｄ.例如，函數(shù)在區(qū)間(1,2)內是有界的.事實上，若?。?1，則對于任何而在區(qū)間(0,1)內是無界的.二、單調性設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義(即Ｉ是函數(shù)y=f(x)的定義域或者是定義域的一部分).如果對于任意的，當時，均有則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上單調增加(或單調減少).則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上嚴格單調增加(或嚴格單調減少).如果對于區(qū)間I上任意兩點，當均有嚴格單調增加的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向上升的；嚴格單調減少的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向下降的；例如，函數(shù)內是嚴格單調增加的.函數(shù)內是嚴格單調減少的，在區(qū)間上是嚴格單調增加的,而在區(qū)間內則不是單調函數(shù).三、奇偶性設函數(shù)y=f(x)的定義域D是關于原點對稱的，即當時，有.則稱f(x)為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱；如果對于任意的，均有如果對任意的,均有就稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱.例1

討論下列函數(shù)的奇偶性:解設函數(shù)y=f(x)在Ｄ內有定義,如果存在正常數(shù)

T,使得對于Ｄ內的任何x，恒有

f(x+T)=f(x)四、周期性

顯然，若T是f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期(k=1,2,3)，通常我們說的周期就是指最小正周期.成立，則稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的周期.例如，函數(shù)y=sinx及y=cos

x

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