第四章 結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)識(shí)別

試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析第四章引言第4章模態(tài)參數(shù)的獲取方法

（頻域識(shí)別法）4.1引言前面已經(jīng)討論了模態(tài)試驗(yàn)的第一階段——測得原始數(shù)據(jù)，并用以推導(dǎo)出所要求的數(shù)學(xué)模型。也就是說通過介紹模態(tài)分析理論，將頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系搞清了，下面我們就可以進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別了。

一般情況下工程中遇到的問題都不太可能是簡化為一個(gè)自由度的系統(tǒng)。其實(shí)，實(shí)際結(jié)構(gòu)一般都很復(fù)雜的。從數(shù)學(xué)上來講，其推出的運(yùn)動(dòng)方程為一組變量之間相互藕聯(lián)的方程組。學(xué)過振動(dòng)分析的同學(xué)知道：在一定條件下，我們總可以將這一組藕連的方程組解藕，也就是說，可以轉(zhuǎn)換為N個(gè)互不相關(guān)的單自由度方程來進(jìn)行研究。這是從理論上或從數(shù)學(xué)上來說。但實(shí)際測試問題是復(fù)雜的。從實(shí)際測量到的導(dǎo)納函數(shù)數(shù)據(jù)來看，我們可以將工程中結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納函數(shù)分成兩大類：一類是模態(tài)密集型的，如圖所示。另一類是模態(tài)稀疏型的，如圖所示。H(a)模態(tài)密集型H(b)模態(tài)稀疏型這兩種類型，從物理上來說，取決于被測系統(tǒng)的阻尼性質(zhì)（當(dāng)然與系統(tǒng)的固有頻率也有關(guān)）。對(duì)小阻尼或比例阻尼的被測系統(tǒng)就是（b）圖所示的形式。工程中這類結(jié)構(gòu)是較多的。從（b）圖中我們可以看出，其各階模態(tài)的相互影響較小。故我們由此可以聯(lián)想到，將各階模態(tài)作為單自由度系統(tǒng)來識(shí)別，那就簡單多了。也就是，如果我們將單自由度系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別方法了解了?？蓪⒋朔椒ㄓ糜诙嘧杂啥认到y(tǒng)的參數(shù)識(shí)別。4.2單自由度系統(tǒng)參數(shù)頻域識(shí)別方法和原理

單自由度系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有粘性阻尼與結(jié)構(gòu)阻尼兩種形式，其運(yùn)動(dòng)方程分別為（4—1）（4—2）式中：g——結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)；

——粘性阻尼系數(shù)。

由位移頻響函數(shù)（位移導(dǎo)納）我們可求得對(duì)粘性阻尼系統(tǒng)，其導(dǎo)納為：對(duì)于結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)，其導(dǎo)納為：式中——結(jié)構(gòu)阻尼比（損耗因子）

可以看出（4—3）式和（4—4）式都是的復(fù)函數(shù)。故我們可以將他改寫成復(fù)變函數(shù)的形式，即（4—5）前面一個(gè)是幅——相頻形式，即指數(shù)形式；而后面一個(gè)是則是虛、實(shí)部形式。形式的不同，實(shí)際上就預(yù)示著下面我們要討論各種不同的參數(shù)識(shí)別方法。在小阻尼情況下，結(jié)構(gòu)阻尼和粘性阻尼模型圖很相象（見圖）。這兩種阻尼的關(guān)系可由公式進(jìn)行近似換算。下面我們僅介紹結(jié)構(gòu)阻尼和粘性阻尼系統(tǒng)位移頻響函數(shù)（位移導(dǎo)納）的圖解識(shí)別方法。（Ⅰ）結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)1、幅頻圖法結(jié)構(gòu)阻尼幅——頻曲線公式為：（4—6）ωω1ω2ωnHm其圖形為：①由峰值位置，可得其共振頻率

，而固有頻率

（小阻尼）

②由共振峰值求出半功率點(diǎn)幅值，由半功率點(diǎn)幅值位置確定對(duì)應(yīng)的頻率

。然后確定半功率點(diǎn)頻帶寬，那么阻尼比的識(shí)別公式為（4—7）③由（4—6）式得共振峰值，故有：

（4—8）④由固有頻率的定義得：

所有參數(shù)都識(shí)別了

（4—9）2、相頻圖法相頻曲線公式為：（4—10）其圖形為：ωω1ω2ωn-π/4-π/2-3π/4-π0①由（10）式知

，可確定固有頻率

②由的值對(duì)應(yīng)的頻率來確定半功率點(diǎn)帶寬③由確定阻尼比為：

3、實(shí)頻圖法

對(duì)（4—4）式我們?nèi)?shí)部，則頻響函數(shù)實(shí)部對(duì)于頻率的表達(dá)式為：（4—11）ωω1ω2ωn0其圖形為①由圖中知

，確定固有頻率

②由的正負(fù)峰值所對(duì)應(yīng)的頻率，確定半功率點(diǎn)帶寬，得：

③由的峰值得（此式由（4—11）式求導(dǎo)數(shù)令等于零，得再代回（4—11）式即可得）。則（4—12）④同前有確定

所有參數(shù)都識(shí)別了4、虛頻圖法同理對(duì)（4－4）式取虛部，則有：（4—13）ωω1ω2ωn0其圖形可表示為：①由負(fù)峰值的位置（負(fù)峰值所對(duì)應(yīng)的頻率）確定

②由負(fù)峰值0.5倍所對(duì)應(yīng)的頻率，得半功率點(diǎn)帶寬

，從而得：阻尼比③由負(fù)峰值

確定為：

④同理

確定了

虛頻圖法基本與幅值法相同。5、矢量端圖法（奈奎斯特法Ngquist）

由（4—11）式與（4—13）式我們可以推得頻響函數(shù)（導(dǎo)納函數(shù)）的曲線方程為：(4—15)矢量端曲線方程圖可表示如下：HIHRω1ω20可以看出曲線為一半徑為的圓其圓心坐標(biāo)為，而在圓的右上方有一小缺口。注意這里縱坐標(biāo)為虛部，而橫坐標(biāo)為實(shí)部。①由圖圓弧與虛軸的交點(diǎn)確定（即處）。

②由（和確定）圖的最左端（如圖）確定頻帶寬，。從而得阻尼比③由圖的半徑得：

④同理確定了

以上五種識(shí)別方法中矢量端圖法有較高的精度，因?yàn)槭噶慷藞D將幅頻圖中狹窄的半功率帶寬區(qū)（共振區(qū)）擴(kuò)展為半個(gè)圓弧區(qū)，故識(shí)別的精度較高。（Ⅱ）粘性阻尼系統(tǒng)

前面討論的五種方法基本上都適用于粘性阻尼系統(tǒng)。我們就不一一重復(fù)討論了。在計(jì)算時(shí)原則上，只要將代替就行了。

但要注意，粘性阻尼系統(tǒng)的頻響函數(shù)的矢量端圖不是精確的圓形，而是桃形（如圖），但在圖形的下半部，基本上是圓形。隨便說一下，頻率所對(duì)應(yīng)的相位也可在圖上量出。（見圖）對(duì)于重阻尼，一般用速度頻響函數(shù)（速度導(dǎo)納）來識(shí)別參數(shù)。（也就是說，測試時(shí)用里與速度傳感器得到數(shù)據(jù)，再計(jì)算再繪出其圖形。）其圖形為。ωω2ω1ωn0ωnHIHRφ粘性阻尼系統(tǒng)的位移矢量端圖粘性阻尼系統(tǒng)的速度矢量端圖其公式為：（4—17）此時(shí)速度導(dǎo)納的矢量端圖為一精確的封閉圓，其方程為：

各參數(shù)的識(shí)別方法同前面所講的一樣。其它導(dǎo)納的情況見發(fā)給的圖4.3識(shí)別多自由度系統(tǒng)的單自由度法

對(duì)于多自由度系統(tǒng)其頻響函數(shù)表示為一個(gè)矩陣，其中矩陣的某個(gè)元素可表示為：粘性阻尼：（4—19）結(jié)構(gòu)阻尼：

（4—20）

這里我們僅討論實(shí)模態(tài)。從公式中可知，這兩個(gè)系統(tǒng)的曲線是很相似的，故下面我們只討論結(jié)構(gòu)阻尼的情況?！?ω1ω2ω3ω4ω0模態(tài)稀疏情況要用單自由度系統(tǒng)的識(shí)別方法來用于多自由度系統(tǒng)條件是該系統(tǒng)的各階模態(tài)不耦合或輕微耦合。所謂無耦合系統(tǒng)從圖上可以這樣說明：即某一階模態(tài)，在其固有頻率附近的幅值，主要反映本階的幅值，也就是說相鄰模態(tài)的相互影響可以忽略。（用圖說明）這是試驗(yàn)?zāi)B(tài)技術(shù)的一個(gè)重要假設(shè)。有了以上的假設(shè)，那么（4—20）式中的就可以不要了，即（4—20）式可以近似地寫成：（4—21）或（4—22）式中

————第階等效剛度

（4—23）

由（4—22）式與前面的單自由度系統(tǒng)比較，可知其形式上完全一樣。故我們可以用前面的方法來一階一階地識(shí)別固有頻率、阻尼比及剛度。只不過這時(shí)的剛度是等效剛度。

對(duì)于模態(tài)稀疏情況等效剛度的識(shí)別一般用虛頻圖來識(shí)別。其方法如下：對(duì)（4—22）式寫出其虛部，則有：當(dāng)時(shí)，故

以上是用單自由度的方法來識(shí)別稀疏情況的多自由度系統(tǒng)，而多自由度系統(tǒng)還有一個(gè)識(shí)別主振型的問題，即主模態(tài)振型矢量的識(shí)別。為識(shí)別主振型（主模態(tài)）矢量，需要頻響函數(shù)矩陣中的一列，也就是說，從不同測點(diǎn)測得頻響函數(shù)

可得到各點(diǎn)的等效柔度組成的矢量，

然后經(jīng)規(guī)格化后得模態(tài)矢量

即等效柔度矢量為：（4—25）4.4頻域識(shí)別的多自由度方法

對(duì)于模態(tài)耦合輕微的系統(tǒng)，利用單自由度曲線擬合方法已有足夠的精度，一般工程中的多數(shù)問題都可以利用單自由度方法處理。但工程中也有不少模態(tài)密集、阻尼較大的系統(tǒng)，即模態(tài)耦合嚴(yán)重的問題，這時(shí)利用單自由度方法就不易將相鄰模態(tài)區(qū)分開，必須用多自由度曲線擬合方法。頻域識(shí)別的基本公式可分為實(shí)模態(tài)理論與復(fù)模態(tài)理論兩大類。在一般輕阻尼系統(tǒng)中，采用實(shí)模態(tài)理論并不會(huì)帶來顯著誤差。下面介紹幾個(gè)基本方法。一、頻域最小二乘迭代法

在代數(shù)方程中的最小二乘法大家都知道的，他是將誤差的平方，再求對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)，且令偏導(dǎo)數(shù)為零，則可得誤差最小的未知量得解。但我們這里是矢量或矩陣計(jì)算中的最小二乘法有些不同，故我們補(bǔ)充一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)，即矢量（矩陣）最小二乘法我們先給出定理，再進(jìn)行說明（證明）定理：如果（a）則的最小二乘解為：證：設(shè)這里是方程（a）解的誤差向量，故其方向與大小是任意的。要使方程（a）的解的誤差最小，我們?nèi)∨c正交，即有(b)這相當(dāng)于代數(shù)方程中最小二乘法的求偏導(dǎo)數(shù)為零。將對(duì)（b）式左乘則有

故有

解出則定理得證#

頻域最小最小二乘迭代法可分為總體迭代和局部迭代兩種方法。下面我們僅討論實(shí)模態(tài)理論中的局部迭代方法。①我們知道對(duì)于N個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)，其頻響函數(shù)的虛部公式為（1）注意：這里是表示橫坐標(biāo)的變量，原來理論上是連續(xù)變量現(xiàn)已離散化是具體數(shù)值了，又這里是不能去掉的，因?yàn)檫@里是耦合系統(tǒng)。令等效柔度為：（2）那么（1）可寫為:（3）②前面我們已說過了，是橫坐標(biāo)變量（離散的），如果我們?nèi)。瑒t我們有個(gè)采樣值?，F(xiàn)記為，即為了要識(shí)別我們給出的初始值。

說明：是直接由單自由度識(shí)別方法來獲得的，這時(shí)由于系統(tǒng)是耦合的，不是精確的值，但可以作為迭代的初始值。從（3）式中我們可以看出（都是已知了），是的線性函數(shù)。那么可將寫成矩陣形式，即：

（4）（5）（6）式中：的元素為：由向量最小二乘法定理，方程（4）式的最小二乘解為：③先將在及附近展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，并略去高階項(xiàng)，則有：由（7）式寫成矩陣形式（上式是元素，共有M個(gè)（7）式,因）(8)(7)式中:(9)的元素為及組成。（是個(gè)階矩陣）而方程（8）的最小二乘解為：（10）那么我們所求參數(shù)為:（11）④檢查所求參數(shù)的精度

,；如不滿足，則將和作為初始值進(jìn)行迭代，直到滿足精度。有了和，就可求得即，從而由（6）式得，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化，則可得主模態(tài)。全部參數(shù)識(shí)別完成。（二）克羅斯特曼法

我們先寫出N個(gè)自由度的粘性阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)的實(shí)部、虛部公式為（12）（13）式中

設(shè)將要識(shí)別的參數(shù)為:（14）那么（12）式與（13）式可寫成（15）（16）式中系數(shù)：（17）（18）說明：①此方法中固有頻率不是待識(shí)別量，是從圖解法中得到（即單自由度識(shí)別方法得到）②阻尼比取上一次迭代值；初始值由圖解識(shí)別方法給出。故所以都可看作已知量。同前面一樣，針對(duì)的采樣值，可將