計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) 第2章(第1次課 概念及Z變換)

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)余張yuzg@北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院智能機(jī)器人研究所控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)流程被控對(duì)象控制框圖建模被控對(duì)象控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)流程被控對(duì)象控制框圖建模被控對(duì)象確定被控參數(shù)確定控制目標(biāo)給定控制指標(biāo)建立對(duì)象/執(zhí)行機(jī)構(gòu)等的數(shù)學(xué)模型確定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)配置、選擇執(zhí)行機(jī)構(gòu)分析系統(tǒng)性能，優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)流程“數(shù)字”控制器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)連續(xù)控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)在“自動(dòng)控制原理”課程中有所涉及（傳遞函數(shù)，時(shí)域/頻域分析，系統(tǒng)校正）。本課程：數(shù)字控制器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)例如，得到超前控制器：電路實(shí)現(xiàn)電路+計(jì)算機(jī)+軟件第2章

數(shù)字控制器的直接設(shè)計(jì)方法內(nèi)容離散系統(tǒng)信號(hào)的變換(預(yù)備知識(shí))Z變換及Z反變換(預(yù)備知識(shí))數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)（D(s)→D(z)）數(shù)字控制器的離散化設(shè)計(jì)離散化設(shè)計(jì)的方法與步驟最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)大林算法數(shù)字控制器D(z)的實(shí)現(xiàn)

模擬設(shè)計(jì)法數(shù)字控制器設(shè)計(jì)方法離散設(shè)計(jì)法狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法模擬設(shè)計(jì)法

設(shè)計(jì)校正裝置傳遞函數(shù)D(s)數(shù)字控制器D(z)離散化離散設(shè)計(jì)法又稱直接數(shù)字控制設(shè)計(jì)法基礎(chǔ)：Z傳遞函數(shù)根據(jù)：采樣理論&離散方法利用：計(jì)算機(jī)控制優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于采樣周期長(zhǎng)的系統(tǒng)，其控制規(guī)律和算法更具有一般意義，可取得較高的控制指標(biāo)狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法

狀態(tài)反饋+計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)適用：多入多出(MIMO)控制系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)：控制性能更完善2.1離散系統(tǒng)的信號(hào)變換A/D采樣采樣周期的選擇，Shannon定理量化編碼D/A解碼保持零階保持器傳遞函數(shù)：教材p.12預(yù)備知識(shí)-3種重要的工程變換

變換的目的：在數(shù)學(xué)上，為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，常常采用一種變換手段。三種重要的工程變換及其貢獻(xiàn)（1）傅氏變換（FourierTransform）

把研究問題的方向從時(shí)間域

→頻率域（2）拉氏變換（LaplaceTransform）

把求解連續(xù)動(dòng)態(tài)過程的微分方程→代數(shù)方程（3）Z變換（ZTransform）把求解離散動(dòng)態(tài)過程的差分方程→代數(shù)方程若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件傅氏變換拉氏變換Z變換（離散拉氏變換）預(yù)備知識(shí)-3種重要的工程變換T為采樣周期預(yù)備知識(shí)--Z變換Z變換是一種運(yùn)算函數(shù)，在離散控制系統(tǒng)中所起的作用，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換Z變換是離散系統(tǒng)的重要方法之一，它可以分析線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)控制精度，還可以用來設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)和解差分方程。Z變換的求法Z變換的3種求法級(jí)數(shù)求和法（按定義求解，直接法）部分分式法首先求f(t)的拉氏變換F(s)將F(s)展開成部分分式之和的形式，使每一部分分式對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù)（查表）求出每一項(xiàng)的Z變換留數(shù)計(jì)算法Z變換——級(jí)數(shù)求和法將離散時(shí)間函數(shù)寫成展開形式Z變換后，

例2-1求單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)的Z變換解：因?yàn)閒(t)=1(t)在任何采樣時(shí)刻上的值均為

1，即f(kT)=1；k=0，1，2…..將上式代入級(jí)數(shù)展開式中，得

將上式兩端同時(shí)乘

上式兩邊同時(shí)相減得

即例2-2求下式衰減指數(shù)的Z變換

0，

解：指數(shù)函數(shù)在各采樣時(shí)刻上的采樣值為根據(jù)展開式得把上式可以看成等比級(jí)數(shù)，若滿足條件即成立，則可寫成下列閉式，即

Z變換——部分分式法引出：通過上兩例知，需要將無窮級(jí)數(shù)寫成閉式，很難做到。設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)為有理函數(shù)，具體形式如下：

式中M(s)和N(s)分別是關(guān)于復(fù)變量s的m次和n次多項(xiàng)式。

將F(s)展開成部分分式的形式為式中拉氏變換的極點(diǎn)常系數(shù)由拉氏變換知，與項(xiàng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為，而衰減指數(shù)函數(shù)的Z變換由上例子求出

Z變換——部分分式法

因此，連續(xù)函數(shù)的f(t)的Z變換可以由有理函數(shù)F(s)求出Z變換——部分分式法部分分式法首先求f(t)的拉氏變換F(s)將F(s)展開成部分分式之和的形式，使每一部分分式對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù)（查表）求出每一項(xiàng)的Z變換例2-3求下面?zhèn)鬟f函數(shù)的Z變換解：先將上式展開成部分分式，然后再分別求出對(duì)應(yīng)項(xiàng)的Z變換。即與對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)是1(t),對(duì)應(yīng)的Z變換是而對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)是，相應(yīng)的Z變換是

因此，Z變換求法—留數(shù)法若已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的拉氏變換式F(s)及其全部極點(diǎn)(i=1,2,…,n),則f(t)的Z變換：ResZ變換求法—留數(shù)法求x(t)=t的Z變換，或{s2[1/s2]z/(z-esT)}|s=0[z/(z-esT)]|s=0先以s為變量求微分，最后才令s=0Z變換求法—留數(shù)法s=-as=-bZ變換表Z變換的基本定理（1）線性定理設(shè)a,b為任意常數(shù)，和的Z變換分別為和，則有

（2）滯后定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)在t<0時(shí)，f(t)=0,且具有Z變換則滯后定理表示如下：代表延遲環(huán)節(jié)Z變換的基本定理

（3）超前定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則f(t+nT)的Z變換為滯后定理和超前定理統(tǒng)稱為平移定理。當(dāng)n=1時(shí)，有Z變換的基本定理

（4）初值定理如果連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的Z變換為F(z),并且極限值

存在，則f(t)的初值f(0)為

f(0)=

式中，當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0Z變換的基本定理

（5）終值定理若f(t)的Z變換為F(z),并且F(z)所表示的離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即（z-1)F(z)的全部極點(diǎn)都位于Z平面單位元之內(nèi)，則f(t)的終值定理為Z變換的基本定理Z反變換將脈沖序列通過變量代換，變換成F(z)稱為Z變換。反之，從Z變換F(z)求出相對(duì)應(yīng)的脈沖序列

或數(shù)值序列f(kT),稱之為Z反變換，或Z逆變換。表示為：

Z變換脈沖序列數(shù)值序列f(kT)時(shí)間函數(shù)f(t)不唯一對(duì)應(yīng)唯一對(duì)應(yīng)唯一Z反變換Z反變換—部分分式法適用條件：有理分式設(shè)假設(shè)上式中的所有極點(diǎn)互異，即分母多項(xiàng)式中無重根時(shí)，可將F(z)式中的分母分解因式，并求出F(z)的極點(diǎn)

式中，系數(shù)由下式?jīng)Q定：例2-4已知求及當(dāng)k=0,1,2,3,4時(shí)的f(kT)值。解：用部分分式展開法，有其中待定系數(shù)決定如下：

由此解出由Z變換表差得脈沖數(shù)值序列為脈沖序列

根據(jù)數(shù)值序列f(Kt)可求出各采樣時(shí)刻k上的數(shù)值：

f(0)=0;f(T)=10;f(2T)=30;f(3T)=70;f(4T)=150Z反變換—長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)展開法）適用：當(dāng)Z變換式不能寫成簡(jiǎn)單形式，或者要求以數(shù)值序列f(kT)表示時(shí)具體方法：如F(z)是有理函數(shù)的形式給出，則可以通過用分母去除分子，得到冪級(jí)數(shù)的展開式，然后再逐項(xiàng)求Z反變換式。如果F(z)被展開成的收斂?jī)缂?jí)數(shù)，即

則f(kT)的值可以通過比較系數(shù)的方法確定。如Z變換函數(shù)F(z)可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，可寫成一般式一般情況下，，用分母除分子，并將商按的升冪排列，得

由z變換定義知道，上式中的系數(shù)就是連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)在采樣時(shí)刻的數(shù)值序列f(kT)。例2-5設(shè)：求F(z)的Z反變換，并得出k=0,1,2,3時(shí)的f(kT)值。解：首先按的升冪排出F(z)的分子與分母

應(yīng)用長(zhǎng)除法

該級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)可以寫成如下形式:上式的Z反變換為可以求得Z反變換—留數(shù)計(jì)算法式中zi，i=1,2,…,n為F(z)彼此不相等的極點(diǎn)，彼此不相等的極點(diǎn)數(shù)為n，ri為重極點(diǎn)zi的重復(fù)個(gè)數(shù)注：部分分式法和留數(shù)計(jì)算法能得到Z反變換的閉式解用Z變換解差分方程

差分方程以Z為變量的代數(shù)方程F(Z)Z反變換求得f(kT)查表

若f(k)的Z變換為F(z)，根據(jù)超前定理f(k+1)的Z變換為同理式中，m為正整數(shù)。任何給定的差分方程總可以轉(zhuǎn)化為Z的代數(shù)方程。例2-6用Z變換解下面的差分方程f(k+2)+3f(k+1)+2f(k)=0初始條件為：f(0)=0;f(1)=1解：用超前理論對(duì)上述差分方程進(jìn)行Z變換，得代入初始條件，并進(jìn)行整理

利用部分分式法，則上式可化為查Z變換表知Z反變換為所以差分方程的解為利用Matlab進(jìn)行Z變換和Z反變換1.對(duì)進(jìn)行Z變換>>symszn>>ztrans(1/4^n)ans=z/(z-1/4)2.對(duì)進(jìn)行Z反變換>>symszn>>iztrans(2*z/(2*z-1))ans=(1/2)^n3.對(duì)下式用長(zhǎng)除法求Z反變換，求前5項(xiàng)系數(shù)>>b=[121];>>a=[1-24];>>n=5;>>b=[bzeros(1,n-1)]>>[x,r]=deconv(b,a);>>disp(x)b=12

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