理論力學(xué)-第十二章動量矩定理

第十二章動量矩定理1

§12–1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩

§12–2動量矩定理

§12–3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程

§12–4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量

§12–5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理

§12–6剛體的平面運動微分方程習(xí)題課第十二章動量矩定理2一．定義：剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，國際單位制中單位kg·m2。動力學(xué)§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量ωrivimizJZ稱為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則3

（１）均質(zhì)細直桿對z軸的轉(zhuǎn)動慣量動力學(xué)

設(shè)桿長為l,質(zhì)量為m，單位長度的質(zhì)量為ρl，取桿上一微段dx，其質(zhì)量為ρl

dx

：zxlxdxO1、簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算4動力學(xué)（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量ORmiz

設(shè)圓環(huán)半徑為R,質(zhì)量為m，每一微段的質(zhì)量為mi,到z軸的距離均為R:5動力學(xué)（3）均質(zhì)圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量ORdri

設(shè)圓板的半徑為R,質(zhì)量為m。將圓板分為無數(shù)個同心的圓環(huán)，任一圓環(huán)的半徑為ri,寬度為dri，則圓環(huán)的質(zhì)量為mi:單位面積的質(zhì)量z6對于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。2.慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑）稱為剛體對

z軸的回轉(zhuǎn)半徑。

在機械工程設(shè)計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標準化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。動力學(xué)對均質(zhì)物體，記其中：73.平行移軸定理同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的。

剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方的乘積。動力學(xué)zxll/2OzC[例:]剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值。8證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，9當(dāng)物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動慣量,然后再加起來就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負值來處理。動力學(xué)4．計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法解：[例13-9]

鐘擺：均質(zhì)直桿質(zhì)量m1,長為

l

；均質(zhì)圓盤質(zhì)量m2,半徑為R。求對水平軸O的轉(zhuǎn)動慣量JO

。10質(zhì)點對于點O的動量矩：質(zhì)點的動量相對于點O的矩

質(zhì)點的質(zhì)量為m,速度為v，質(zhì)點相對點O的矢徑為r，則

一．質(zhì)點的動量矩動力學(xué)§12-1

質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點動量對軸z的動量矩：Mo(mv)yzxmvABOabmvxyγ[Mo(mv)]xm質(zhì)點對點O的動量矩與對軸z的動量矩之間的關(guān)系：正負號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同從軸的正向看：順時針為負逆時針為正動力學(xué)動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(軸)轉(zhuǎn)動的強弱。12動力學(xué)剛體動量矩計算：1．平動剛體平動剛體對固定點（軸）的動量矩等于剛體質(zhì)心的動量對該點（軸）的動量矩。viCOrCvC二．質(zhì)點系的動量矩質(zhì)系對點O動量矩：質(zhì)系對軸z動量矩：132．定軸轉(zhuǎn)動剛體動力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩:等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量ωOωrimivimiz14動力學(xué)[例]ωvClOω15[例]已知：均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，均質(zhì)圓盤的質(zhì)量為2m，求物體對于O軸的轉(zhuǎn)動慣量和動量矩。解：ωlRO163．平面運動剛體動力學(xué)平面運動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。CvCωx

注意正負的規(guī)定17Cvωxh圓盤：18動力學(xué)解：滑輪A：m1，R1，R1=2R2，

滑輪B：m2，R2，；物體C：m3

求系統(tǒng)對O軸的動量矩。[例1]∵∴191．質(zhì)點的動量矩定理動力學(xué)§12-2動量矩定理設(shè)質(zhì)點對定點O的動量矩為MO(mv)，作用力F對同一點的矩為MO(F)，如圖。質(zhì)點對任一固定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一點之矩。這就是質(zhì)點對固定點的動量矩定理。

21將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影，得上式稱質(zhì)點對固定軸的動量矩定理，也稱為質(zhì)點動量矩定理的投影形式。即質(zhì)點對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一軸之矩。動力學(xué)22稱為質(zhì)點動量矩守恒定律。則常矢量若則若2．質(zhì)點動量矩守恒定律23運動分析：動力學(xué)由動量矩定理：解：將小球視為質(zhì)點。受力分析；受力圖如圖示。單擺，已知m，l，t=0時=0，從靜止開始釋放。求單擺的運動規(guī)律。[例2]即：24注：計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正）質(zhì)點動量矩定理的應(yīng)用：

（1）在質(zhì)點受有心力的作用時。（2）質(zhì)點繞某心（軸）轉(zhuǎn)動的問題。動力學(xué)擺動周期：微幅擺動時，并令，則解微分方程：則運動方程為：代入初始條件A=0，B=025動力學(xué)共有n個方程，相加后得：設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，作用于每個質(zhì)點的力分為內(nèi)力和外力，由質(zhì)點動量矩定理：3．質(zhì)點系的動量矩定理26將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影，得

質(zhì)點系對任一固定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一點之矩的矢量和（外力系的主矩）。

質(zhì)點系對固定點的動量矩定理:27上式稱為質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理。即質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。（1）當(dāng)時，常矢量。（2）當(dāng)時，常量。動力學(xué)定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點系的動量矩，只有外力才能改變質(zhì)點系的動量矩。4．質(zhì)點系動量矩守恒定律28α解:

取整個系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖示。動力學(xué)由動量矩定理：已知:

[例3]運動分析：

v=r如何求支座O的反力？α29OθM[例13-1]

(P75)

卷揚機，鼓輪半徑為R，質(zhì)量m1，轉(zhuǎn)動慣量J，作用力偶M，小車質(zhì)量m2，不計繩重和摩擦，求小車的加速度a。解：運動分析和受力分析ωPnvPrFNP1P2FxFy30解：系統(tǒng)的動量矩守恒。A猴與B猴向上的絕對速度是一樣的,均為。動力學(xué)已知：猴子A和猴子B的重量相等，猴B以相對繩子的速度上爬，A猴不動，問當(dāng)B猴向上爬時，A猴將如何動？運動的速度多大？（輪重不計）[例4]31

對于一個定軸轉(zhuǎn)動剛體:——剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程動力學(xué)§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程代入質(zhì)點系動量矩定理，有zFnωF2F2FN1FN232

特殊情況：1）若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止。2）若常量，則α=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。將與比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。動力學(xué)解決兩類問題：（1）已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。（2）已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運動定理求解。33[例]lAB34[例12-5]

(P80)amgCOφ物理擺，質(zhì)量m，C為質(zhì)心，對O點的轉(zhuǎn)動慣量為JO，求微小擺動的周期。解：工程中常用上式，通過測定零件的擺動周期，以計算其轉(zhuǎn)動慣量。35提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求：物體C上升的加速度。取輪B連同物體C為研究對象補充運動學(xué)條件化簡(1)

得：化簡(2)

得：動力學(xué)解:取輪A為研究對象[例3]α2α136[題12-15]

(P118)lAkl/3BD均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為m1,小球質(zhì)量為m2，彈簧剛度系數(shù)k,桿在水平位置保持平衡。初始靜止，求給小球一個向下的微小初位移δ0后桿的運動規(guī)律和周期。解：運動分析和受力分析。37m2gφ[題12-15]

(P118)lAkl/3BD均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為m1,小球質(zhì)量為m2，彈簧剛度系數(shù)k,桿在水平位置保持平衡。初始靜止，求給小球一個向下的微小初位移δ0后桿的運動規(guī)律和周期。解：運動分析和受力分析。m1gF39§12-5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理動力學(xué)此動量矩定理只適用于相對慣性參考系為固定的點或固定的軸，對于一般的動點或動軸，動量矩定理具有更復(fù)雜的形式。但是，相對于質(zhì)點系的質(zhì)心或隨同質(zhì)心平動的動軸，動量矩定理的形式不變。40CFxOA41動力學(xué)一．質(zhì)點系相對于定點的動量矩mixyzz′y′x′rir′irCCOvi42動力學(xué)二．質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩mixyzz′y′x′rir′irCCOvi43動力學(xué)三．質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理mixyzz′y′x′rir′irCCOvi由質(zhì)點系動量矩定理44動力學(xué)mixyzz′y′x′rir′irCCOvi45

質(zhì)點系相對于質(zhì)心和固定點的動量矩定理，具有完全相似的數(shù)學(xué)形式，而對于質(zhì)心以外的其它動點，一般并不存在這種簡單的關(guān)系。動力學(xué)質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心之矩的矢量和。46設(shè)有一平面運動剛體具有質(zhì)量對稱平面，力系可以簡化為該平面內(nèi)的一個力系。取質(zhì)量對稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于S內(nèi)。動力學(xué)取質(zhì)心C為動系原點，則此平面運動可分解為（1）隨質(zhì)心C的平動(xC,yC)（2）繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動（）剛體對質(zhì)心C的動量矩為：§12–6剛體的平面運動微分方程47寫成投影形式：或：上式稱為平面運動微分方程。動力學(xué)應(yīng)用質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理：48[例12-11]

（P97~98）rxCMαaCFNmgF均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為m，沿水平直線滾動，輪的慣性半徑為ρC，作用于圓輪的力偶矩為M。（1）求輪心的加速度。（2）如果圓輪對地面的靜滑動摩擦系數(shù)為fs，問M應(yīng)滿足什么條件使圓輪只滾不滑。解：（1）運動分析和受力分析。（1）（2）（3）α和M均以順時針為正。49（1）（2）（3）（2）只滾不滑的條件：50質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為θ

的斜面上，在重力作用下由靜止開始運動。設(shè)輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數(shù)為f和f′，不計滾動摩阻，試分析輪的運動。動力學(xué)解：取輪為研究對象。受力分析如圖示。運動分析：取直角坐標系Oxy

aCy

=0，aCx

=aC，

一般情況下輪作平面運動。根據(jù)平面運動微分方程，有（1）（2）（3）三式中含有四個未知數(shù)（N、aC

、F、），需補充附加條件。[例4]（1）（3）（2）aCθ511．設(shè)接觸面絕對光滑。2．設(shè)接觸面足夠粗糙，輪作純滾動。動力學(xué)3．設(shè)輪與斜面間有滑動，輪又滾又滑。F=f′N，可解得4.

輪作純滾動的條件：表明：當(dāng)時，解答3適用；當(dāng)時，解答2適用；f=0時解答1適用。因為輪由靜止開始運動，故＝0，輪沿斜面平動下滑。所以可解得52一．基本概念1．動量矩：物體某瞬時機械運動強弱的一種度量。2．質(zhì)點的動量矩：3．質(zhì)點系的動量矩：4．轉(zhuǎn)動慣量：物體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。對于均勻直桿，細圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對過質(zhì)心垂直于質(zhì)量對稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量要熟記。動力學(xué)動量矩定理習(xí)題課535．剛體動量矩計算平動：定軸轉(zhuǎn)動：平面運動：二．質(zhì)點的動量矩定理及守恒

1．質(zhì)點的動量矩定理2．質(zhì)點的動量矩守恒(1)若，則常矢量。(2)若，則常量。動力學(xué)54三．質(zhì)點系的動量矩定理及守恒

1．質(zhì)點系的動量矩定理動力學(xué)2．質(zhì)點系的動量矩守恒(1)若，則常矢量(2)若，則常量四．質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理55五．剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運動微分方程

1．剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程2．剛體平面運動微分方程或動力學(xué)56六．動量矩定理的應(yīng)用應(yīng)用動量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對單軸傳動系統(tǒng)尤為方便）動力學(xué)1．已知質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動運動，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2．已知質(zhì)點系所受的外力矩是常力矩或時間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。3．已知質(zhì)點所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)和等于零，應(yīng)用動量矩守恒定理求角速度或角位移。57均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均為f

'，滾阻不計，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需要的時間。解：選取圓柱為研究對象。(注意只是一個剛體)受力分析如圖示。運動分析：質(zhì)心C不動，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。動力學(xué)根據(jù)剛體平面運動微分方程(1)(2)(3)補充方程：(4)[例1]58將(4)式代入(1)、(2)兩式，有將上述結(jié)果代入(3)式，有解得：動力學(xué)(1