武漢大學20192020第一學期線性代數(shù)B試題及解答

武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院2019－2020第一學期《線性代數(shù)B》（A卷）a1xa2a3ana1a2xa3an一、（10分）計算以下隊列式；Dna1a2a3xan;a1a2a3anx2x1x2a13x3a14x4b1二、（10分分）設非齊次線性方程組x12x2a23x3a24x4b2有三個解向量：a31x1a32x22x33x4b311T2TT121,2111,33242求此方程組系數(shù)矩陣的秩，并求其通解（此中aij,bi,i1,2,3;j1,2,3,4為已知常數(shù)）。三、（10分）設m維向量組1,2,,m和向量組1,2,,m相關系123m213mm12m1問m維向量組1,2,,m和向量組1,2,,m能否同秩？證明你的結(jié)論。001四、（10分）已知矩陣X知足XA1XA*A1此中A020，求矩陣X.101ax1x2x34五、（10分）討論a,b取何值時，方程組x1bx2x33有解。.x12bx2x34200六（10分）設3階方陣A121，試求：101（1）A的特點值和特點向量；（2）Ak（k為正整數(shù)）及其特點值和特點向量。七、（8分）設A和B為n階矩陣，且知足A2A，B2B，r(ABE)n，證明：r(A)r(B).八、（10分）已知1(1,0,1)T,2(2,2,0)T,3(0,1,1)T（1）求向量組1,2,3的一個極大線性沒關組；（2）求生成的子空間L(1,2,3)的一個標準正交基。XTAX經(jīng)過正交變換XPY化為y122y22九、（12分）已知實二次型f(x1,x2,x3).（1）判斷二次型f(x1,x2,x3)XTAX能否正定？（2）計算隊列式|A|的值；100（3）若P0112，求矩陣A.201122十、（10分）在四維實向量組成的線性空間R4中,已知：1(1,0,0,0)T，2(1,1,0,0)T，3(1,1,1,0)T，4(1,1,1,1)T；1(1,1,a,1)T，2(1,1,2a,1)T，3(1,1,0,0)T，4(1,0,0,0)T.（1）求a使1,2,3,4為R4的基；（2）求由基1,2,3,4到1,2,3,4的過渡矩陣P.武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院2019－2020第一學期《線性代數(shù)B》（A卷答案）a1xa2a3ana1a2xa3an一、（10分）計算以下隊列式；Dna1a2a3xan;a1a2a3anx解各列加到第一列，提出公因子，得a1xa2a3an1a2a3ana1a2xa3ann1a2xa3anDna1a2a3xan(aix)1a2a3xani1a1a2a3anx1a2a3anx1a2a3ann0x00n(aix)00x0(1)n1xn1(aix).i1i1000x2x1x2a13x3a14x4b1二、（10分）設非齊次線性方程組x12x2a23x3a24x4b2有三個解向量：a31x1a32x22x33x4b311T2TT121,2111,33242求此方程組系數(shù)矩陣的秩，并求其通解（此中aij,bi,i1,2,3;j1,2,3,4為已知常數(shù)）。解由題設條件知1,2,3是非齊次方程組Axb的三個解向量，所以31(2,1,6,1)T,32(1,3,3,1)T是齊次線性方程組Ax0的線性沒關解向量，所以齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩r(A)2又系數(shù)矩陣有二階子式2150，所以r(A)2所以有r(A)212所以31(2,1,6,1)T,32(1,3,3,1)T為齊次線性方程組的基礎解系。所以非齊次線性方程組的通解為：k(31)k2(32)3k(2,1,6,1)Tk(1,3,3,1)T(3,2,4,2)T112此中k,k為隨意常數(shù)。12三、（10分）設m維向量組1,2,,m和向量組1,2,,m相關系123m213mm12m1問m維向量組1,2,,m和向量組1,2,,m能否同秩？證明你的結(jié)論。解m維向量組1,2,,m和向量組1,2,,m秩相等。下邊證之:由條件知(12m)(1,2m)P01111011111011110111此中P11011|P|11011(n1)(1)n101110111101111111011110所以m維向量組1,2,,m和向量組1,2,,m等價，故秩同樣。001四、（10分）已知矩陣X知足XA1XA*A1此中A020，求矩陣X.101解方程兩邊左乘A得AXXAA*I，即(AI)X(|A|1)I，又|A|2201所以有(AI)XI，即X(AI)10103101ax1x2x34五、（10分）討論a,b取何值時，方程組x1bx2x33有解。.x12bx2x34a11解:因為系數(shù)隊列式1b1b(1a)，所以當b0且a1時，由克萊姆法例可知方程12b1組有解。a114a114當b0時，增廣矩陣為10131013，方程組無解。10140001111410121時方程組有當a1時，增廣矩陣為1b130102故當a1,b12b1400012b2解，當a1,b1時方程組無解。2200六（10分）設3階方陣A121，試求：101（1）A的特點值和特點向量；（2）Ak（k為正整數(shù)）及其特點值和特點向量。200解（1）AE12112211,232。，故A的特點值為101100100當11時，解線性方程組AEx=o，由AE111011，100000可得基礎解系p10,1,1，故A對應于11的所有特點向量為k1p1（k10）；當232時，解A2Ex=o，可得基礎解系p20,1,0，p31,0,1，故A對應于2,32的所有特點向量為k2p2k3p3(k2,k3不全為零）；100（2）令Pp1,p2,p3，則有P1APdiag1,2,2，即有AP020P1，進而002k0011001012k00100AkP020P111002k01112k12k2k1002101002k1002k101Ak的特點值為11,232k。且Ak的特點值對應的特點向量與A相應特點值對應的特點向量同樣。七、（8分）設A和B為n階矩陣，且知足A2A，B2B，r(ABE)n，證明：r(A)r(B)。證明因為22AABE)A＋ABAAB，(ABE)BABBBAB，(由(ABE)為可逆矩陣，可得：r(A(ABE))r(A)r(AB)，r((ABE)B)r(B)r(AB)，所以，r(A)r(B).八、（10分）已知1(1,0,1)T,2(2,2,0)T,3(0,1,1)T（1）求向量組1,2,3的一個極大線性沒關組；（2）求生成的子空間L(1,2,3)的一個標準正交基。解（1）將1,2,3作為列結(jié)構(gòu)矩陣，再作初等行變換化矩陣為階梯形：120120A(1,2,3)021021101000故r(1,2,3)2，所以1,2,3中隨意兩個都可為1,2,3的一個極大沒關組，不如取1,2（2）由（1）知，1,2為L(1,2,3)的一個基，于是只要正交單位化即可。正交化：令11(1,0,1)T，22(2,1)121(1,2,1)T(1,1)單位化：e1||1=(2,0,2),e2||2(6,26,6)T1||222||666e1,e2就是生成的子空間L(1,2,3)的一個標準正交基。九、（12分）已知實二次型f(x1,x2,x3)XTAX經(jīng)過正交變換XPY化為y122y22.（1）判斷二次型f(x1,x2,x3)XTAX能否正定？（2）計算隊列式|A|的值；100（3）若P011A.2，求矩陣201122解（1）由已知條件知矩陣A的特點值為：1,2,0，所以二次型為半正定。（2）|A|1200（3）由已知QTAQdiag(1,2,0)10011001111于是AQdiag(1,2,0)QT020220221111002222100011011十、（10分）在四維實向量組成的線性空間R4中,已知：1(1,0,0,0)T，2(1,1,0,0)T，3(1,1,1,0)T，4(1,1,1,1)T；1(1,1,a,1)T，2(1,1,2a,1)T，3(1,1,0,0)T，4(1,